1、2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,了解拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.,1.拋物線的定義 平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. 【做一做1】 拋物線定義中的定點是其,定直線是其. 答案:焦點準(zhǔn)線,名師點撥拋物線定義中的定點F不在定直線l上,否則動點的軌跡不是拋物線,而是過點F與l垂直的一條直線.,2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 方程y2=2px(p0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,名師點撥(1)拋物線中焦參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離. (2)由于建立的坐標(biāo)系不同,所得拋物線的方程也不同.本節(jié)中所建坐標(biāo)系得到的是焦點在x軸的正半軸上的

2、標(biāo)準(zhǔn)方程,下一節(jié)課還要學(xué)習(xí)其他形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【做一做2】 拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是. 答案:(1,0)x=-1,1.如何理解拋物線的定義? 剖析:(1)拋物線的定義用集合語言表示:P=M|MF|=d(d為M到定直線l的距離). (2)定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定”:一個動點,設(shè)為點M;一個定點F(拋物線的焦點);一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線);一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1). (3)拋物線定義中的定點F不在定直線l上,否則動點M的軌跡不是拋物線,而是過點F與l垂直的一條直線. (4)拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價

3、性,故二者可相互轉(zhuǎn)化,這也是利用拋物線定義解題的實質(zhì).,2.拋物線的圖象是雙曲線的一支嗎? 剖析:雖然拋物線的形狀與雙曲線一支的形狀看起來相似,但絕不能把拋物線當(dāng)成是雙曲線的一支. 當(dāng)拋物線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時,點的切線接近于和x軸平行;而雙曲線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時,點的切線接近于與漸近線平行.拋物線沒有漸近線;從方程上看,拋物線的方程與雙曲線的方程有很大差別.,題型一,題型二,題型三,拋物線的定義及應(yīng)用 【例1】 若點A的坐標(biāo)為(3,2),F為拋物線y2=2x的焦點,點P在該拋物線上移動,為使得|PA|+|PF|取得最小值,求點P的坐標(biāo). 分析:顯然點A在拋物線的內(nèi)部,聯(lián)想到平面上“到兩定點

4、距離之和最短的點在兩定點連線所成的線段上”這一幾何性質(zhì),欲使拋物線上一點到兩定點A,F的距離之和最短,需將A,F中的一個點轉(zhuǎn)移到拋物線的外部,使其與另一點的連線與拋物線相交,則交點即為所求.,題型一,題型二,題型三,解:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),由拋物線的定義,|PF|等于點P到拋物線準(zhǔn)線的距離|PP|,如圖所示. 因此,當(dāng)且僅當(dāng)P,A,P在同一條直線上時,有|PF|+|PA|=|PP|+|PA|最小,此時點P的縱坐標(biāo)等于點A的縱坐標(biāo),即y=2,將y=2代入y2=2x,求得此時點P的坐標(biāo)為(2,2).,題型一,題型二,題型三,反思求圓錐曲線上到兩定點的距離之和最小的點的位置時,通常有兩種情況:

5、當(dāng)兩定點在曲線兩側(cè)時,連接兩定點的線段與曲線的交點即為所求點;當(dāng)兩定點在曲線同側(cè)時,由圓錐曲線定義作線段的等量轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換為的情形即可.,題型一,題型二,題型三,求拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 【例2】已知拋物線的方程如下,分別求它們的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. (1)y2=ax(a0);(2)3x=2y2. 分析:先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出p,然后寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.,反思根據(jù)拋物線方程求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,一定要將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,求出 的值,即可寫出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.,題型一,題型二,題型三,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例3】 (1)已知拋物線的焦點在x軸的正半軸上,焦點到準(zhǔn)線的距離是4,則該

6、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 解析:因為焦點到準(zhǔn)線的距離是4,所以p=4,所以2p=8.又焦點在x軸正半軸上,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x. 答案:y2=8x,題型一,題型二,題型三,(2)已知拋物線的頂點在原點,焦點在x軸的正半軸上,拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于5,求拋物線的方程和m的值. 分析:解第(2)題的基本思路有兩個,其一設(shè)拋物線方程,利用點M在拋物線上和點M到焦點的距離等于5,列出關(guān)于m,p的方程組,解關(guān)于m,p的方程組;其二利用拋物線的定義,可得點M到準(zhǔn)線的距離為5,直接得到p的關(guān)系式,求出p值.,題型一,題型二,題型三,反思涉及拋物線上一點與焦點距離的問題時,要注意利用定義轉(zhuǎn)化為該點到準(zhǔn)線的距離,可簡化計算.,1拋物線x-4y2=0的準(zhǔn)線方程是. 答案:x= 2若點A的坐標(biāo)為(2,2),F為拋物線y2=4x的焦點,點P在該拋物線上移動,為使得|PA|+|PF|取得最小值,則點P的坐標(biāo)為. 答案:(1,2) 3若拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程為x=-3,則拋物線方程是 . 答案:y2=12x 4若拋物線的焦點在x軸的正半軸上,其上一點M