1、第八章 虛擬變量,第一節(jié) 虛擬變量,回顧：前面各章討論的變量都是可以直接用數(shù)字計量的，即可以獲得其實際觀測值（如收入、支出、產(chǎn)量物價水平等等）。這些變量稱作數(shù)量變量。 然而，影響被解釋變量的不僅有量的因素，還有質(zhì)的因素（如性別、民族、職業(yè)、季節(jié)、政策等等）,虛擬變量是用以反映質(zhì)的屬性的一個人工變量，取值為 0 或 1，通常記為 D（Dummy Variable）,又可稱之為屬性變量、雙值變量、類型變量、定性變量、或二元型變量。 注意：虛擬變量D只能取0或1兩個值，即屬性之間不能運算！ 對基礎類型或否定類型設 D=0 對比較類型或肯定類型設 D=1,一、虛擬變量的概念,例 如,1 男性 D =

2、0 女性 1 “文革”時期 D = 0 非“文革”時期,說 明,虛擬變量主要是用來代表質(zhì)的因素，但有些情況下也可以用來代表數(shù)量因素。 例如：在建立儲蓄函數(shù)時，“年齡”是一個重要的解釋變量。雖然“年齡”是一個數(shù)量因素，但為了方便也可以用虛擬變量表示。例如：可以把居民分為兩個年齡組： 第一組：2035歲的居民 第二組：3560歲的居民 用“1”表示第一年齡組；“0”表示第二年齡組，就可以估計年齡對儲蓄的影響。,二、虛擬變量的設置規(guī)則,1.兩個屬性的表示法 如性別有兩個屬性：用 Di 表示,即：兩個屬性引入一個變量即可！,2.多個屬性的表示法 假設學歷有四個屬性：博士、碩士、本科、本科以下等，則：,

3、為什么四個屬性只引入3個變量呢？,即:m個屬性引入(m-1)個變量即可。,3.多個因素各兩個屬性的表示法 如需要同時表示城鄉(xiāng)差別和性別差別,一般地，若有m個因素，而每個因素都只有兩個不同的屬性類型，則引入m個虛擬變量。 思考：現(xiàn)有三個定性因素，有兩個因素各有4個不同的屬性，一個因素有2個不同的屬性，應設多少個虛擬變量？ （應設3+3+1=7個虛擬變量）,三、虛擬變量的作用,1.可以描述和測量定性因素的影響 2.分離異常因素的影響 例如分析我國GDP的時間序列，必須考慮“文革”因素對國民經(jīng)濟的破壞性影響，剔除不可比的“文革”因素。 3.檢驗不同屬性類型對因變量的作用 例如工資模型中的文化程度、季

4、節(jié)對銷售額的影響。 4.提高模型的精度,四、虛擬變量模型,在計量經(jīng)濟模型中，把包含有虛擬變量的模型稱為 虛擬變量模型。 常用的有三種類型： （1）解釋變量中只包含虛擬變量； （2）解釋變量中既含有定量變量，又含有虛擬變 量； （3）被解釋變量本身為虛擬變量。,一、加法類型(截距變動模型),第二節(jié) 虛擬解釋變量的回歸,1、解釋變量中只有虛擬變量 如：調(diào)查某地區(qū)性別與收入之間的關系，可以用模型表示如下： Yi =+Di + ui Yi代表收入，Di為虛擬變量：,代表女性收入,代表男性與女性收入之間的差額,如研究消費水平與居民收入的關系時，還要考慮城鄉(xiāng)居民消費水平的差異，消費函數(shù)可設為： Yi=0+

5、1Di+Xi+ ui Yi 為消費水平，Xi 為居民收入，Di為虛擬變量。,2、解釋變量中既有定量變量又有虛擬變量,表示農(nóng)村居民的消費水平,表示城市居民的消費水平,假設10，可得到下圖：,Xi,Yi,0,0+1,單變量變截距模型,對模型 Yi=0+1Di+Xi+ ui 使用OLS法，可得：,對1 進行 t 檢驗，若1 0 ，則說明城市居民與農(nóng)村居民的消費水平有明顯差異。,假如還要考慮男女消費水平的差異，消費函數(shù)為： Yi =0+1D1i+2D2i+Xi+ui Yi 為消費水平，Xi 為家庭收入，D1i和D2i為虛擬變量。,表示城市男性的消費水平,表示城市女性的消費水平,表示農(nóng)村男性的消費水平,

6、表示農(nóng)村女性的消費水平,Xi,Yi,0,雙變量變截距模型,1,2,2,虛擬變量陷阱 如某些商品的銷售量有季節(jié)性，假設銷售函數(shù)為：,=1(第一季) =0(其他季),=1(第二季) =0(其他季),=1(第三季) =0(其他季),=1(第四季) =0(其他季),如果引入4個虛擬變量會出現(xiàn)什么問題呢？,可視為截距項的解釋變量，即0= 01,所以引入4個虛擬變量出現(xiàn)了完全多重共線性的問題! OLS法不能使用! 這就是虛擬變量陷阱問題!,克服虛擬變量陷阱的方法 改為引入虛擬變量:,引入虛擬變量的規(guī)則補充說明 對于具有m個屬性的虛擬變量： 若模型中含有截距項，引入 m-1個虛擬變量； 若模型中不含有截距項

7、，引入 m 個虛擬變量。,二、乘法類型(斜率變動模型),以乘法形式引入虛擬變量，是在所設定的模型中，將虛擬解釋變量與其他解釋變量相乘作為新的解釋變量，以達到調(diào)整斜率系數(shù)的目的。主要作用在于： (1)比較兩個回歸模型； (2)分析因素間的交互影響； (3)提高模型的描述精度。,1、回歸模型的比較,例如，研究改革開放前后儲蓄、收入的總量關系，分別設定模型如下：,（1）改革開放前,（2）改革開放后,其中Yt為儲蓄總額，Xt為收入總額。,分別在各自的時間區(qū)間內(nèi)作回歸，可能有如下四種結(jié)果：,表明兩個回歸模型是相同的，稱為重合回歸；,表明僅在截距上存在差異，稱為平行回歸；,表明截距相同而變化速率不同，稱為

8、共點回歸；,表明兩個回歸模型完全不同。,Xi,Yi,重合回歸,1,Xi,Yi,平行回歸,1,1,Xi,Yi,共點回歸,1,1,Xi,Yi,不同的回歸,1,1,問題：當我們分別運用樣本數(shù)據(jù)對兩個模型進行回歸后，如何界定所得結(jié)果在統(tǒng)計意義上屬于那種類型呢？ 可采用乘法形式引入虛擬變量，可設定為：,其中,上式等價于模型：,（1）改革開放前,（2）改革開放后,（1）改革開放前,（2）改革開放后,分別是等價模型的截距和斜率差異，分,別稱為截距差異系數(shù)和斜率差異系數(shù)。,顯然，用1950-2004年數(shù)據(jù)估計（*）式，比分別用 1950-1977年和1978-2004年的數(shù)據(jù)估計(1)和(2)式更好。 估計結(jié)

9、果為：,（0.3319）,（0.4704）,（0.0163）,（0.0332）,t =,（-5.2733）,（3.1545）,（9.2270）,（-3.1144）,結(jié)果表明，截距和斜率差異系數(shù)在統(tǒng)計意義下 均是顯著的，說明改革開放前后不同。,從上面可以看出，以乘法形式引入虛擬變量做回歸模型的比較的優(yōu)點： （1）用一個回歸代替多個回歸，簡化過程； （2）可以對模型結(jié)構(gòu)差異做假設檢驗； （3）合并的模型增加了自由度，提高了參數(shù) 估計的精確性。 當然，也應注意合并后模型的隨機擾動項應服從基 本假定，特別是所比較的方程的方差應相同，否則 會出現(xiàn)異方差。,在多元線性回歸模型中，通過F檢驗，可以判斷各解釋

10、變量聯(lián)合對被解釋變量是否有顯著影響。那么在包含兩個定性變量的虛擬變量模型中，兩個定性變量對被解釋變量的影響也可能存在一定的交互作用，如何描述呢？ 例如，研究農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益與農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)投入的關系時，設定模型為,2、交互效應分析,虛擬變量以加法形式引入暗含著假設：油菜籽生產(chǎn)和養(yǎng)蜂生產(chǎn)是分別獨立地影響著農(nóng)副產(chǎn)品總收益。但實際是在發(fā)展油菜籽生產(chǎn)的同時發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)，所取得的農(nóng)副產(chǎn)品總收益會高于不發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)的情況。即它們之間存在交互作用。,其中Yi 農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益，Xi為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總投 入，而,為了描述交互作用對被解釋變量的影響，在模型中引入虛擬變量的乘積，即,稱為交互效應系數(shù)。,其中,交互

11、效應是否存在，可借助于交互效應系數(shù)的 顯著性檢驗加以判斷。,在經(jīng)濟關系中常有這樣的情況： 當解釋變量X的值達到某一水平X*之前，與被解釋變量Y之間存在某種線性關系；當解釋變量X的值達到或超過X*之后，與被解釋變量Y的關系就會發(fā)生變化。此時，如果已知X 的轉(zhuǎn)折點X*，就可以用虛擬變量來估計每一段的斜率。這就是分段線性回歸。,3、分段線性回歸,例如：1979年以前，我國居民的消費支出呈緩慢上升的趨勢。從1979年開始，居民消費支出為快速上升趨勢。 顯然，1979年是一個轉(zhuǎn)折點，即： X*=1979 所以,可用模型描述我國居民在1955年至2009年消費支出的變動趨勢：,Yt=0 +1t +2(t-

12、 X*)Dt + ut 其中 Yt 為消費支出； t 為年份（t=1955,1956,2009）；,上面模型等價于： （1）1979年以前：Yt=0 +1t +ut （2）1979年以后： Yt=0 - 2 X*+(1+2) t + ut,t (年份),E(Yi),分段回歸模型,1955,x*(1979),E(Yt)=0 +1 t,E(Yt)=0- 2X*+(1+2) t,只要檢驗2的統(tǒng)計顯著性，就可以判斷在所設定的臨界水平X*處是否存在“突變”。 可以推廣到 k 段回歸的情況，只需用 k-1個虛擬變量即可。,第三節(jié) 虛擬被解釋變量,在計量經(jīng)濟模型中，虛擬變量還可以作為被解釋變量，其作用是對某

13、一經(jīng)濟現(xiàn)象或經(jīng)濟活動作“是”與“否”的判斷與決策。在計量經(jīng)濟學中稱為“二元響應”現(xiàn)象。處理二元型響應的模型常用有線性概率模型和非線性概率模型。,一、線性概率模型,1、什么是線性概率模型 例如，假設住戶是否購買商品房主要取決于 其收入水平?？紤]下列模型:,其中Xi為住戶收入，Yi為虛擬變量，表示住 戶購買商品房的情況：,(1),則Yi 是取值0或1的隨機變量，由（1）式得：,從而,假設則 P (Yi=1Xi )= pi ,則P (Yi=0Xi )= 1-pi 于是,這表明購買商品房的概率是收入的線性函數(shù)， 故模型（1）稱為線性概率模型(LPM)。,由于0pi 1，所以（1）式必須滿足約束條件,2

14、、線性概率模型的估計 線性概率模型雖然在形式上與普通線性回歸 模型很相似，但由于Yi 是虛擬變量，會出現(xiàn) 與普通回歸模型不同的新問題，不能直接運 用OLS對其進行估計： （1）隨機擾動項不服從正態(tài)分布； （2）隨機擾動項具有異方差性； （3）條件0E(YiXi)1不一定成立。,因為OLS估計的無偏性、有效性與擾動項的分布無關，所以第一個問題對參數(shù)的估計不會產(chǎn)生影響。但進行參數(shù)檢驗和區(qū)間估計時，要求服從正態(tài)分布，根據(jù)中心極限定理，二項分布趨近于正態(tài)分布，所以在大樣本情況下，仍然可以進行統(tǒng)計推斷，即直接運用OLS對LPM模型進行估計，隨機擾動項的非正態(tài)性對參數(shù)的估計不會產(chǎn)生太大的影響。 對于異方差

15、性的問題，可利用第五章的方法解決：1、加權(quán)最小二乘法；2、模型的對數(shù)變換。,對于第三個問題，有兩種處理辦法：,一是當,時，認為,當,時，認為,二是選擇其他能夠滿足約束 0E(YiXi)1 的非線性模型。,二、非線性概率模型,雖然可以通過增大樣本容量忽略非正態(tài)性問題，運用WLS解決異方差問題，采取約束使事件Y發(fā)生的概率落入0-1之間，但LPM模型往往與實際經(jīng)濟意義不相符。 例如，在住戶購買商品房的例子中：,設當Xi有增量Xi時，pi有增量pi，于是,從而,上式表明Xi每增加一個單位，購買住房的概率恒等地增加2，這就是說，無論住戶的收入水平是1萬元，還是10萬元，購買住房的概率都以相同的增量增加。

16、這與現(xiàn)實情況不符，顯然低收入購買住房的概率增大。因此有必要選擇表現(xiàn)概率平均變化比較理想的模型。 主要有兩種：Logit模型和Probit模型。 這里只介紹Logit模型,1、Logit模型 Logit模型也成Logistic模型或單位對數(shù)模型，由Verhulst于1945年提出，最早被用來描述生物的生長規(guī)律（邏輯成長率），現(xiàn)已廣泛用來描述耐用消費品的銷售規(guī)律。 選擇如下的Logistic分布函數(shù)去設定二元響應計量經(jīng)濟模型：,它的圖像是一條S型曲線，有下列特征： （1）概率0pi=E(YiXi)1, 解決了條件概率有可能大于1或小于0的問題； （2）當Xi+時，pi 1，當Xi-時， pi 0，

17、 pi隨Xi變化而變化，且變化速率不是常數(shù)，更加符合實際情況；,Xi,pi,0,1,1、Logit模型的估計 由于pi不僅對Xi是非線性關系，而且對1和2也是非 線性關系，不能直接用OLS估計參數(shù)，必須設法轉(zhuǎn)化 為線性形式。由于,所以,比率,稱為機會比率或機會差異化，而,稱為對數(shù)單位。,從計量經(jīng)濟的角度引入隨機擾動項，記為：,如何得到1和2的估計量呢？對上式直接估計會 遇到如下困難：,（1）當 pi=0或1時，,都無意義；,（2）Li 的數(shù)據(jù)無法觀測；,（3）隨機擾動項ui 的為異方差，可以證明：,這里的Ni 是對應于Xi 的樣本數(shù)。,解決第一個困難可采用極大似然法（ML)估計參數(shù)，當樣本容量

18、較大時，可采用加權(quán)最小二乘法估計； 解決第二個困難是對應于每個Xi，樣本觀測值個數(shù)Ni 較大時，利用匯總數(shù)據(jù)，用相對頻率作為對pi 的估計，并用此估計對數(shù)單位Li; 解決第三個困難是通過相對頻率代替pi 去估計ui 的方差，即,再用加權(quán)最小二乘法估計參數(shù)，權(quán)數(shù)wi為：,例 根據(jù)美國1961年第一季度至1977年第二季度的季度數(shù)據(jù)，得到如下的咖啡需求函數(shù)的回歸方程：,t=,(-2.14),(1.23),(-3.36),(0.55),(-3.74),(-6.03),(-0.37),R2=0.80,其中：,Q人均咖啡消費量（磅） P咖啡的價格（以1967年價格為不變價格） P茶的價格（1/4磅，以1967年價格為不變價格） T時間趨勢變量（1961年第一季度為1，1977年第二季度為66） D11：第一季度；D21：第二季度；D31：第三季度。,回