1、七年級下冊北師大版初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié) 第一章第一章 整式的運(yùn)算整式的運(yùn)算 一一. . 整式整式 1. 單項式 由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式。單獨(dú)一個數(shù)或字母也是單項式。 單項式的系數(shù)是這個單項式的數(shù)字因數(shù)， 作為單項式的系數(shù)， 必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符 號,如果一個單項式只是字母的積,并非沒有系數(shù). 一個單項式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù). 2.多項式 幾個單項式的和叫做多項式.在多項式中,每個單項式叫做多項式的項.其中,不含字母的 項叫做常數(shù)項.一個多項式中,次數(shù)最高項的次數(shù),叫做這個多項式的次數(shù). 單項式和多項式都有次數(shù),含有字母的單項式有系數(shù),多項式?jīng)]有系數(shù).多項式的

2、每一項都 是單項式,一個多項式的項數(shù)就是這個多項式作為加數(shù)的單項式的個數(shù).多項式中每一項 都有它們各自的次數(shù),但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個多項式的次數(shù),一個多項式的 次數(shù)只有一個,它是所含各項的次數(shù)中最高的那一項次數(shù). 3.整式單項式和多項式統(tǒng)稱為整式. 其他代數(shù)式 多項式 單項式 整式 代數(shù)式 二二. . 整式的加減整式的加減 1. 整式的加減實質(zhì)上就是去括號后,合并同類項,運(yùn)算結(jié)果是一個多項式或是單項式. 2. 括號前面是“”號,去括號時,括號內(nèi)各項要變號,一個數(shù)與多項式相乘時,這個數(shù)與 括號內(nèi)各項都要相乘. 三三. . 同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法 同底數(shù)冪的乘法法則: nmnm a

3、aa (m,n都是正數(shù))是冪的運(yùn)算中最基本的法則,在應(yīng) 用法則運(yùn)算時,要注意以下幾點(diǎn): 法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時，底數(shù)a可以是一個具體的數(shù)字式字 母，也可以是一個單項或多項式； 指數(shù)是1時，不要誤以為沒有指數(shù)； 不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而 對于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加； 當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，法則可推廣為 pnmpnm aaaa （其中m、n、p 均為正數(shù)）； 公式還可以逆用： nmnm aaa （m、n均為正整數(shù)） 四冪的乘方與積的乘方四冪的乘方與積的乘方 1. 冪的乘方法則： mnnm a

4、a)( (m,n都是正數(shù))是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的,但兩 者不能混淆. 2. ),()()(都為正數(shù)nmaaa mnmnnm . 3. 底數(shù)有負(fù)號時,運(yùn)算時要注意,底數(shù)是a與(-a)時不是同底， 但可以利用乘方法則化成同 底， 如將（-a） 3化成-a3 ).( ),( )( , 為奇數(shù)時當(dāng) 為偶數(shù)時當(dāng) 一般地 na na a n n n 4底數(shù)有時形式不同，但可以化成相同。 5要注意區(qū)別（ab） n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn（a、b均不為 零）。 6積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即 nnn baab)( （n為

5、正整數(shù)）。 7冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。 五五. . 同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法 1. 同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即 nmnm aaa (a 0,m、n都是正數(shù),且mn). 2. 在應(yīng)用時需要注意以下幾點(diǎn): 法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a0. 任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即 )0( 1 0 aa ,如 1100 ,(-2.5 0=1),則00無意 義. 任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即 p p a a 1 ( a 0,p是正整數(shù)), 而0 -1,0-3都是無意義的;當(dāng)a0時,a

6、-p的值一定是正的; 當(dāng)a0時,a-p的值可 能是正也可能是負(fù)的,如 4 1 (-2) 2- , 8 1 )2( 3 運(yùn)算要注意運(yùn)算順序. 六六. . 整式的乘法整式的乘法 1. 單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項 式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式。 單項式乘法法則在運(yùn)用時要注意以下幾點(diǎn)： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現(xiàn)的錯誤的是，將 系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆； 相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則； 只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式； 單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；

7、 單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。 2單項式與多項式相乘 單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式 與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 單項式與多項式相乘時要注意以下幾點(diǎn)： 單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同； 運(yùn)算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號； 在混合運(yùn)算時，要注意運(yùn)算順序。 3多項式與多項式相乘 多項式與多項式相乘， 先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項， 再把所得的 積相加。 多項式與多項式相乘時要注意以下幾點(diǎn)： 多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法

8、是：在沒有合并同類項之前，積的項 數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積； 多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項； 對含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘 abxbaxbxax)()( 2 ，其二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中 常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積。對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項 式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到 abxmambmnxbnxamx)()( 2 七平方差公式七平方差公式 1平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差， 即 22 )(bababa 。 其結(jié)構(gòu)特征是： 公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數(shù)；

9、 公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。 八完全平方公式八完全平方公式 1 完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的 積的2倍， 即 222 2)(bababa ； 口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央； 2結(jié)構(gòu)特征： 公式左邊是二項式的完全平方； 公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。 3在運(yùn)用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現(xiàn) 222 )(baba 這樣的錯誤。 九整式的除法九整式的除法 1單項式除法單項式 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的

10、 字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式； 2多項式除以單項式 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特 點(diǎn)是把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式， 所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù) 相同，另外還要特別注意符號。 第二章第二章 平行線與相交線平行線與相交線 一臺球桌面上的角一臺球桌面上的角 1互為余角和互為補(bǔ)角的有關(guān)概念與性質(zhì) 如果兩個角的和為90（或直角），那么這兩個角互為余角； 如果兩個角的和為180（或平角），那么這兩個角互為補(bǔ)角； 注意：這兩個概念都是對于兩個角而言的，而且兩個概念強(qiáng)調(diào)的是兩個角的數(shù) 量關(guān)系，與兩個角的相互位置沒有關(guān)系。 它們的主要性質(zhì)：

11、同角或等角的余角相等； 同角或等角的補(bǔ)角相等。 二探索直線平行的條件二探索直線平行的條件 兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的判定定理，共有三條： 同位角相等，兩直線平行； 內(nèi)錯角相等，兩直線平行； 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。 三平行線的特征三平行線的特征 平行線的特征即平行線的性質(zhì)定理，共有三條： 兩直線平行，同位角相等； 兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 四用尺規(guī)作線段和角四用尺規(guī)作線段和角 1關(guān)于尺規(guī)作圖 尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作圖。 2關(guān)于尺規(guī)的功能 直尺的功能是：在兩點(diǎn)間連接一條線段；將線段向兩方向延長。 圓規(guī)的功能是：以任意一點(diǎn)為圓心，任意

12、長度為半徑作一個圓；以任 意一點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑畫一段弧。 第三章第三章 生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù) 1科學(xué)記數(shù)法：對任意一個正數(shù)可能寫成a10 n的形式，其中1a10，n是整數(shù)，這種 記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。 2利用四舍五入法取一個數(shù)的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪 一位；對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都 叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。 3統(tǒng)計工作包括： 設(shè)定目標(biāo)；收集數(shù)據(jù)；整理數(shù)據(jù)；表達(dá)與描述數(shù)據(jù)；分析結(jié)果。 第四章第四章 概率概率 1隨機(jī)事件發(fā)生與不發(fā)生的可能性不總是各占一半，都為50%。 2現(xiàn)實生活中存在著大量的不確定事件，而

13、概率正是研究不確定事件的一門學(xué)科。 3了解必然事件和不可能事件發(fā)生的概率。 必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可 能事件）=0；如果A為不確定事件，那么0P(A)1 4.了解幾何概率這類問題的計算方法 事件發(fā)生概率= 圖形面積所有可能結(jié)果所組成的 成的圖形面積事件所有可能結(jié)果所組 第五章第五章 三角形三角形 一認(rèn)識三角形一認(rèn)識三角形 1關(guān)于三角形的概念及其按角的分類 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 這里要注意兩點(diǎn)： 組成三角形的三條線段要“不在同一直線上”；如果在同一直線上，三角形就不存 在； 三條線段“首尾是順次相

14、接”，是指三條線段兩兩之間有一個公共端點(diǎn)，這個公共 端點(diǎn)就是三角形的頂點(diǎn)。 三角形按內(nèi)角的大小可以分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。 2關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系 根據(jù)公理“連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”可得三角形三邊關(guān)系的一個性質(zhì)定理，即三 角形任意兩邊之和大于第三邊。 三角形三邊關(guān)系的另一個性質(zhì)：三角形任意兩邊之差小于第三邊。 對于這兩個性質(zhì)，要全面理解，掌握其實質(zhì)，應(yīng)用時才不會出錯。 設(shè)三角形三邊的長分別為a、b、c則： 一般地， 對于三角形的某一條邊a來說， 一定有|b-c|ab+c成立； 反之， 只有|b-c| ab+c成立，a、b、c三條線段才能構(gòu)成三角形； 特殊地，如果已知線

15、段a最大，只要滿足b+ca，那么a、b、c三條線段就能構(gòu)成三 角形；如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|a，那么這三條線段就能構(gòu)成三角形。 3關(guān)于三角形的內(nèi)角和 三角形三個內(nèi)角的和為180 直角三角形的兩個銳角互余； 一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角； 一個三角中至少有兩個內(nèi)角是銳角。 4關(guān)于三角形的中線、高和中線 三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線； 任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高； 1 2 必然發(fā)生不可能發(fā)生 10 任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有 不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，如圖1；

16、直角三角形有一條高在 三角形的內(nèi)部， 另兩條高恰好是它兩條邊， 如圖2； 鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部， 另兩條高在三角形的外部，如圖3。 一個三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交 于一點(diǎn)。 二圖形的全等二圖形的全等 能夠完全重合的圖形稱為全等形。 全等圖形的形狀和大小都相同。 只是形狀相同而大小不 同，或者說只是滿足面積相同但形狀不同的兩個圖形都不是全等的圖形。 三全等三角形三全等三角形 1關(guān)于全等三角形的概念 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。 互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)， 互相重合的邊叫 做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角 所謂“完全重合”，就是各條邊

17、對應(yīng)相等，各個角也對應(yīng)相等。因此也可以這樣說，各條邊 對應(yīng)相等，各個角也對應(yīng)相等的兩個三角形叫做全等三角形。 2全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。 3全等三角形的性質(zhì)經(jīng)常用來證明兩條線段相等和兩個角相等。 四探三角形全等的條件四探三角形全等的條件 1三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS” 2有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS” 3兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA” 4兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS” 五作三角形五作三角形 1已知兩個角及其夾邊，求作三角形，是

18、利用三角形全等條件“角邊角”即（“ASA”）來 作圖的。 2已知兩條邊及其夾角，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊角邊”即（“SAS”）來 作圖的。 3已知三條邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊邊邊”即（“SSS”）來作圖的。 六探索直三角形全等的條件六探索直三角形全等的條件 1 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。 簡稱為“斜邊、 直角邊”或“HL”。 這只對直角三角形成立。 2 直角三角形是三角形中的一類， 它具有一般三角形的性質(zhì)， 因而也可用“SAS”、 “ASA”、 “AAS”、“SSS”來判定。 直角三角形的其他判定方法可以歸納如下： 兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； 有一個銳角和一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。 三條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。 第七章第七章 生活中的軸對稱生活中的軸對稱 1如果一個圖形沿某條