1、1,第4篇 波動與光學(xué),2,機械振動： 物體位置在某一值附近來回往復(fù)的變化,等等,1 簡諧振動的描述,廣義振動： 一個物理量在某一定值附近往復(fù)變化 該物理量的運動形式稱振動,物理量：,3,(簡諧振動）,振動的形式:,4,重要的振動形式是 簡諧振動(SHV) simple harmonic vibration,物理上：一般運動是多個簡諧振動的合成 數(shù)學(xué)上： 付氏級數(shù) 付氏積分 也可以說， SHV是振動的基本模型 或說，振動的理論建立在SHV的基礎(chǔ)上 注意：以機械振動為例說明振動的一般性質(zhì),5,一.簡諧振動的判據(jù),表征了系統(tǒng)的能量,位移,振幅,最大位移,由初始條件決定,1.運動學(xué)表達式,廣義：振動

2、的物理量,彈簧諧振子,特征量：,6,位相 周相,系統(tǒng)的周期性 固有的性質(zhì) 稱固有頻率,圓頻率,相位,初相位,角頻率,取決于時間零點的選擇,初位相,7,2. 動力學(xué)方程 以彈簧諧振子為例,設(shè)彈簧原長為坐標(biāo)原點,由牛頓第二定律,令,簡諧振動,整理得,8,例1 復(fù)擺（物理擺）的振動,對比諧振動方程知：,但若做小幅度擺動 即當(dāng),由轉(zhuǎn)動定律,得,一般情況不是簡諧振動,時,滿足的方程：,9,振動的物理量,固有圓頻率,角位移,振動表達式,10,思考: 1)證明單擺小幅度擺動時的運動是簡諧振動， 并求出振動的頻率。 2）若令一單擺的頻率與本例中的復(fù)擺的頻率 相等，單擺的擺長l應(yīng)為多少？ （此擺長l叫復(fù)擺的等值

3、單擺長）,11,例2 電磁震蕩電路,振動的物理量是電量,電流也是諧振物理量,對比,12,1）諧振動表達式,從對象的運動規(guī)律出發(fā) （電學(xué)規(guī)律 力學(xué)規(guī)律等）,SHV的標(biāo)準(zhǔn)形式,2）動力學(xué)方程,S H V 的判據(jù),13,二. 簡諧振動的描述,1.解析描述,14,均是作諧振動的物理量,頻率相同,振幅的關(guān)系,相位差,超前 落后,15,2.曲線描述,16,3.旋轉(zhuǎn)矢量描述,用勻速圓周運動 幾何地描述 S H V,規(guī)定,端點在x軸上的投影式,逆時針轉(zhuǎn),以角速度,17,1） 直觀地表達振動狀態(tài),當(dāng)振動系統(tǒng)確定了振幅以后， 表述振動的關(guān)鍵就是相位，即 表達式中的余弦函數(shù)的綜量,而旋轉(zhuǎn)矢量圖 可直觀地顯示該綜量,

4、分析解析式,可知,用圖代替了文學(xué)的敘述,18,如 文學(xué)敘述說，t 時刻彈簧振子質(zhì)點 在正的端點,旋矢與軸夾角為零, 質(zhì)點經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運動,意味,意味,19,質(zhì)點過平衡位置向負(fù)方向運動,同樣,注意到：,20,向正方向運動,或,或,21,由圖看出：速度超前位移,加速度超前速度,稱兩振動同相,2） 方便地比較振動步調(diào),位移與加速度,稱兩振動反相,若,22,3）方便計算 用熟悉的圓周運動代替三角函數(shù)的運算 例：質(zhì)量為m的質(zhì)點和勁度系數(shù)為k的彈簧 組成的彈簧諧振子。 t = 0時，質(zhì)點過平衡位置且向正方向運動。 求：物體運動到負(fù)的二分之一振幅處時 所用的最短時間。,23,解：設(shè) t 時刻到達

5、末態(tài) 由已知畫出t = 0 時刻的旋矢圖,再畫出末態(tài)的旋矢圖,由題意選藍實線所示的位矢 設(shè)始末態(tài)位矢夾角為 因為,得,繁復(fù)的三角函數(shù)的運算用勻速圓周運動的一個運動關(guān)系求得,24,2 簡諧振動的能量 如，彈簧諧振子,系統(tǒng)機械能守恒 以彈簧原長為勢能零點,25,1) 普適,2) 時間平均值,3) 由簡諧振動能量求振動,26,例 勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質(zhì)量為m， 半徑為R的勻質(zhì)圓柱體的對稱軸上， 使之作無滑動的滾動。,證明：圓柱體的質(zhì)心作諧振動 并求出諧振動的角頻率,有時由諧振動能量求諧振動的特征量會更方便,27,彈簧原長處為坐標(biāo)原點 設(shè)原點處為勢能零點 質(zhì)心在xc時系統(tǒng)的機械能為,解：分析振動系

6、統(tǒng)機械能守恒 建坐標(biāo)如圖,（注意上式中的是剛體轉(zhuǎn)動的角速度）,28,兩邊對t求導(dǎo)數(shù) 得,將,代入上式,得,29,與動力學(xué)方程比較知，物理量xc的 運動形式是諧振動,方便,圓頻率,周期,30,3 阻尼振動與阻尼受迫振動 一. 阻尼振動 二 .受迫振動 三.共振,31,一. 阻尼振動 1.阻尼振動 系統(tǒng)在振動過程中 受到粘性阻力作用后 能量將隨時間逐漸衰減 系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比 比例系數(shù) 叫阻力系數(shù) 關(guān)系式為:,32,令,稱阻尼因子,系統(tǒng)固有頻率,2.阻尼振動的動力學(xué)方程,由牛頓第二定律有,整理得,式中,33,如果無阻尼,是諧振動的形式,存在阻尼,仍振動但能量會衰減,如果能振動起來（欠阻尼

7、情況）， 上述方程的解是什么形式呢？ 從物理上考慮：,阻尼振動方程為,3.振動表達式,34,所以，解的形式必定是 在諧振動的基礎(chǔ)上乘上一衰減因子， 即形式為：,可以證明：,35,36,二 .受迫振動 1.受迫振動 振動系統(tǒng)在外界驅(qū)動力的作用下維持等幅振動 2.受迫振動的動力學(xué)方程 設(shè)驅(qū)動力按余弦規(guī)律變化 即,由牛頓第二定律有,37,整理得,其中,固有頻率,阻尼因子,38,3.穩(wěn)定狀態(tài)的振動表達式 受迫振動系統(tǒng)達到穩(wěn)定時 應(yīng)做與驅(qū)動力頻率相同的諧振動 其表達式為：,用旋矢法可求出上式的A和,39,40,畫任意時刻旋矢圖,由旋矢圖可知：,得,位移與驅(qū)動力的相位差,41,在弱阻尼即 0的情況下，,系

8、統(tǒng)的振動速度和振幅都達到最大值 共振。,當(dāng) = 0時，,三.共振,共振現(xiàn)象 普遍 有利有弊,160年前，拿破侖入侵西班牙 橋塌 幾十年后，圣彼德堡卡坦卡河 1940年，美國，橋，大風(fēng)，流速,演示共振,42,小號發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎,43,1940年華盛頓的塔科曼大橋建成,同年7月的一場大風(fēng)引起橋的共振,橋被摧毀。,(視頻再現(xiàn)橋塌過程),44,4 簡諧振動的合成 一.振動方向相同 振動頻率相同的 兩個SHV的合成 二.振動方向相同 振動頻率相同 振幅相同 相鄰相位差相同 的N個SHV的合成 三. 振動方向相同 頻率略有差別的 振幅相等的 兩個SHV的合成 四. 兩個垂直方向諧振動的合成 五.

9、諧振分析,45,當(dāng)一個物體同時參與幾個諧振動時 就需考慮振動的合成問題 本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況 本節(jié)所討論的同頻率的諧振動合成結(jié)果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基礎(chǔ) 本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動合成結(jié)果 可以給出重要的實際應(yīng)用,46,一.振動方向相同 振動頻率相同的 兩個SHV的合成,結(jié)果： 仍是諧振動 振動頻率仍是,振動的振幅,（雙光束干涉的理論基礎(chǔ)）,47,若,反相，合振動減弱,同相，合振動加強,特殊結(jié)果：,若,若,兩振動同相 兩振動反相,可能的最強振動 “振動加振動”不振動,48,二. 振動方向相同 振動頻率相同 振幅相同 相鄰相位差相同 的N個SHV的合成,49,線性相加,用旋矢

10、法求解,由圖得,50,一般情況,特例 1）,主極大,2）,的倍數(shù)的整數(shù),極小,51,3）,次極大,（多光束干涉的理論基礎(chǔ)）,52,例：三個同頻率 同振幅A0 同方向的SHV 相鄰相位差為 /2 求：合振幅A,解：畫旋矢圖,/3,由圖很容易得到 A = 2A0,或?qū)⒁阎獥l件代入公式,得出結(jié)果（請自解）,53,三. 振動方向相同 頻率略有差別的 振幅相等的 兩個SHV的合成 拍 分振動：,線性相加：,結(jié)論： 合成已不再是諧振動 但考慮到 1 2 可以用 諧振動表達式等效，加深認(rèn)識。,54,分析：,則,較,隨時間變化緩慢,將合成式寫成諧振動形式,55,合振動可看做是振幅緩變的諧振動 合成振動如圖示,

11、表達式為,56,拍 合振動的周期性的強弱變化叫做拍 拍頻 單位時間內(nèi)合振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻,測未知頻率的一種方法,由式,得,演示 兩音叉拍,57,四. 兩個垂直方向諧振動的合成 1. 同頻率的諧振動合成,線性相加：,軌跡方程是橢圓,即，合成的一般結(jié)果是橢圓,58,不同，橢圓形狀、旋向也不同。,59,例1 用旋矢法作圖,60,a),SHV,b),振動方向旋轉(zhuǎn),c),正橢圓 若,（偏振光干涉的理論基礎(chǔ)）,例2 特殊結(jié)果,圓,61,2.頻率比是簡單的正整數(shù),合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線李薩如圖,例如左圖：,應(yīng)用：測定未知頻率,演示垂直合成,62,五.諧振分析,利用付里葉分解，可將任意振動分解成若干SHV的疊加(合成的逆運算）。,對周期性振動：,T 周期，,k = 1 基頻（）,k = 2 二次諧頻（2）,k = 3 三次