1、(Rotation of Rigid Body about Affixed Axis),第 五 章,剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng),主講：左武魁,第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),5.1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué),5.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,5.5 力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理,5.6 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律,#5.7 進(jìn)動(dòng),5.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用,5.5 力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理,1. 外力（矩）的元功 dA,條件:,力F 作用在P 點(diǎn)，,P點(diǎn)對應(yīng)半徑為r，,剛體可繞oz軸轉(zhuǎn)動(dòng)且在力 作用下角位移為 。,證明:,一、 力矩的功 ( woke done by a torque ),。,(woke done by

2、a torque, rotational kinetic energy of rigid body),1. 外力（矩）的元功,3. 恒力矩的功,4. 單位,J 或 Nm,2. 變力矩的功,則,一、 力矩的功 ( woke done by a torque ),二、功率 (power),引入：,單位： w 即 Nms-1,證：,(由 P = F v 猜想),J,引入：,證明：,將剛體分為質(zhì)元系 m1 、 m2 、 mi mn ，,說明：,三、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,剛體的動(dòng)能不是一種新的動(dòng)能，它只是剛體內(nèi)各質(zhì)元作線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能的總和。,( rotational kinetic energy of rigi

3、d body ),J,引入：,證明：,表式：,表述：,合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。,四、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理,( theorem of kinetic energy about affixed axis ),式中hc 為剛體質(zhì)心的高度。,當(dāng)合外力矩和非保守內(nèi)力（矩）作功之和為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。,一個(gè)不太大的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心所具有重力勢能一樣。,五、剛體的重力勢能,六、剛體的機(jī)械能 ( mechanical energy of rigid body ),七、機(jī)械能守恒定律,若 A外+A非保內(nèi)= 0，則 E = EK+ EP= 恒量 。,( law

4、 of conservation of mechanical energy),例5.8 (P268),沖床可利用飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能通過曲柄連桿機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)帶動(dòng)沖頭在鐵板上穿孔。已知飛輪半徑r = 0.4 m , 質(zhì)量m = 600 kg（可以看成均勻圓盤）。飛輪的正常轉(zhuǎn)速是n1= 240r/min ,沖一次孔轉(zhuǎn)速減低20%。求沖一次孔，沖頭所作的功A。,解：,因 1= 2 n1 /60,2 = (1-0.2) 1 =0.8 1,所以,= - 5.45103(J),式中負(fù)號(hào)表示沖頭對外所作的功。,例5.9 (P269),一質(zhì)量為M 、半徑為R 的定滑輪上繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量

5、為m 的物體而下垂。忽略軸處磨擦，求物體m 由靜止下落高度 h 時(shí)的速度v 和此時(shí)滑輪的角速度 。,( 用機(jī)械能守恒定律解例5.6 ),解：,取m 初始位置為勢能零點(diǎn)，則,解得：,方法1用機(jī)械能守恒定律,取初始位置為勢能零點(diǎn)，則,例5. 10 (P270),一均勻細(xì)棒（ ，m），可繞過其一端的光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)棒靜止于水平位置，求其下擺角為 時(shí)的角速度 。,（用機(jī)械能守恒定律（或轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理）解例5.7）,解：,5.6 剛體的角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律,1. 定義,標(biāo)量式：,引入：,又稱動(dòng)量矩。,J,角動(dòng)量,對比質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量(猜想）,對質(zhì)點(diǎn)：,2. 單位,L= r m v sin ,標(biāo)量式：,(an

6、gular momentum of rigid body, angular momentum conservation law),一、剛體（繞固定軸）的角動(dòng)量,一、剛體（繞固定軸）的角動(dòng)量,推證：,由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,故質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量,剛體的角動(dòng)量,因?yàn)閷傮w來說,又因,知：,三、剛體（繞固定軸）的角動(dòng)量定理,1. 微分式,2. 積分式,證：,3. 表述,相對于給定的轉(zhuǎn)軸，作用在剛體上的角沖量等于剛體的角動(dòng)量的增量。,二、角沖量( angular impulse )（沖量矩( moment of impulse ) ）,1. 定義,2. 單位,由 轉(zhuǎn)動(dòng)定律,( angular momentum t

7、heorem of rigid body about affixed axis ),四、 對定軸的角動(dòng)量守恒定律,當(dāng)作用在剛體上的合外力矩為零時(shí)，剛體的角動(dòng)量保持不變。,表述：,1. 普適。自然界中三大守恒定律之一。,說明：,3. 由角動(dòng)量守恒定律可知,當(dāng) M = 0 時(shí)，若 J 不變，則 不變。,當(dāng) M = 0 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,( angular momentum conservation law about affixed axis ),角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用實(shí)例,應(yīng)用實(shí)例（1）人站在轉(zhuǎn)臺(tái)上的角動(dòng)量守恒演示,角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用實(shí)例,應(yīng)用實(shí)例（3） 直升機(jī)的螺旋漿,直升機(jī)的螺旋漿旋轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)角動(dòng)

8、量守恒定律可知，機(jī)身將會(huì)產(chǎn)生反向旋轉(zhuǎn)。為此，直升機(jī)一般均采用加裝尾漿或雙螺旋漿結(jié)構(gòu)。,角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用實(shí)例直升機(jī)的雙漿,用于輪船導(dǎo)航、 控制導(dǎo)彈飛行。,角動(dòng)量守恒定律應(yīng)用實(shí)例,應(yīng)用實(shí)例（3）懸在常平架上的回轉(zhuǎn)儀,長為L 、質(zhì)量為M 的均勻桿，一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止在豎直位置。一質(zhì)量為m 的子彈以水平速度v0 ，射入桿的下端并嵌于其中。求桿和子彈開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度。,例 5.11 (P273),L,解：,因子彈射入桿并和桿一起運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間極短，故桿的位置基本不變。,選子彈和桿為系統(tǒng)，則碰撞過程中,解得,因子彈嵌入桿中和桿一起運(yùn)動(dòng)的速度v = l，故有,系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)

9、角動(dòng)量守恒。,（系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量是否守恒？為什么？）,*5.7 陀螺的進(jìn)動(dòng) ( precession of a top ),陀螺在繞自身對稱高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，在重力矩作用下，其對稱軸還將繞豎直軸OZ 回轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)。,一、進(jìn)動(dòng) ( precession ),2. 進(jìn)動(dòng)角速度,1. 定義,( precession angular velocity ),二、進(jìn)動(dòng)應(yīng)用實(shí)例,2. 彈筒的來復(fù)線的作用,炮彈的引爆需要彈頭擊中目標(biāo)，炮彈前進(jìn)過程所受空氣阻力一般不通過質(zhì)心，所以炮彈有可能翻轉(zhuǎn)。,1. 炮彈的運(yùn)動(dòng),使炮彈繞自己的對稱軸迅速旋轉(zhuǎn)，空氣阻力對炮彈產(chǎn)生一個(gè)阻力矩，使炮彈的自轉(zhuǎn)軸繞阻力的作用線即彈道產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，從而使自轉(zhuǎn)軸與前進(jìn)方向不會(huì)有太大的偏離。,三、回轉(zhuǎn)儀的進(jìn)動(dòng),回轉(zhuǎn)儀繞其自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量為L0 ，當(dāng)平衡重物在杠桿上左、右移動(dòng)時(shí)，回轉(zhuǎn)儀將受到外力矩的作用，方向垂直與L0 ，回轉(zhuǎn)儀的角動(dòng)量將改變L ，方向與外力矩相同，也垂直與L0 ，因而桿將在水平面內(nèi)繞豎,直軸轉(zhuǎn)動(dòng)起來。,小 結(jié),一、 力矩的功,3. 恒力矩的功,2. 變力矩的功,4. 功率,2. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,1. 剛體的重力勢能,二、剛體的機(jī)械能,3. 機(jī)械能守恒定