1、第七講 MATLAB的符號計(jì)算,所謂符號計(jì)算是指在運(yùn)算時,無須事先對變量賦值,而將所得到結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式來表示。 MathWorks公司以Maple的內(nèi)核作為符號計(jì)算引擎（Engine），依賴Maple已有的函數(shù)庫，開發(fā)了實(shí)現(xiàn)符號計(jì)算的兩個工具箱：基本符號工具箱和擴(kuò)展符號工具箱。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量 參與符號運(yùn)算的對象可以是符號變量、符號表達(dá)式或符號矩陣。符號變量要先定義，后引用。可以用sym函數(shù)、syms函數(shù)將運(yùn)算量定義為符號型數(shù)據(jù)。引用符號運(yùn)算函數(shù)時，用戶可以指定函數(shù)執(zhí)行過程中的變量參數(shù)；若用戶沒有指定變量參數(shù)，則使用findsym函數(shù)默認(rèn)的變量作

2、為函數(shù)的變量參數(shù)。,1、sym函數(shù) sym函數(shù)的主要功能是創(chuàng)建符號變量，以便進(jìn)行符號運(yùn)算，也可以用于創(chuàng)建符號表達(dá)式或符號矩陣。用sym函數(shù)創(chuàng)建符號變量的一般格式為： x = sym(x) 其目的是將x創(chuàng)建為符號變量，以x作為輸出變量名。每次調(diào)用該函數(shù),可以定義一個符號變量。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,【例1】作符號計(jì)算： a,b,x,y均為符號運(yùn)算量。在符號運(yùn)算前，應(yīng)先將a,b,x,y定義為符號運(yùn)算量,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,a=sym(a); %定義a為符號運(yùn)算量，輸出變量名為a b=sym(b); x=sym(x); y=sym(y”); x,y=solve(

3、a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y) %以a,b為符號常數(shù)，x,y為符號變量 即可得到方程組的解： x =3/a y =2/b,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,【例2】已知一復(fù)數(shù)表達(dá)式 z=x+i*y, 試求其共軛復(fù)數(shù),并求該表達(dá)式與其共軛復(fù)數(shù)乘積的多項(xiàng)式。 為了使乘積表達(dá)式x2+y2非負(fù)，這里，把變量x和y定義為實(shí)數(shù)。 x=sym(x,real); y=sym(y,real);,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,z=x+i*y; %定義復(fù)數(shù)表達(dá)式 conj(z); %求共軛復(fù)數(shù) expand(z*conj(z) %求表達(dá)式與其共軛復(fù)數(shù)乘積的多項(xiàng)式 ans = x2+

4、y2 若要去掉x的屬性,可以使用下面語句 x = sym(x,unreal) 將x創(chuàng)建為純格式的符號變量。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,2、syms函數(shù) syms函數(shù)的功能與sym函數(shù)類似。syms函數(shù)可以在一個語句中同時定義多個符號變量，其一般格式為： syms arg1 arg2 argN 用于將rg1, arg2,argN等符號創(chuàng)建為符號型數(shù)據(jù)。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（一） 定義符號變量,（二）默認(rèn)符號變量 在數(shù)學(xué)表達(dá)式中，一般習(xí)慣于使用排在字母表中前面的字母作為變量的系數(shù)，而用排在后面的字母表示變量。例如： f=ax2+bx+c 表達(dá)式中的a,b,c通常被認(rèn)為是常數(shù)，用作變量

5、的系數(shù)；而將x看作自變量。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),例如，數(shù)學(xué)表達(dá)式 f=xn g=sin(at+b) 根據(jù)數(shù)學(xué)式中表示自變量的習(xí)慣，默認(rèn)a,b,c為符號常數(shù)，x為符號變量。 若在MATLAB中表示上述表達(dá)式，首先用syms 函數(shù)定義a，b，n，t，x為符號對象。在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時，由于沒有指定符號變量，則系統(tǒng)采用數(shù)學(xué)習(xí)慣來確定表達(dá)式中的自變量，默認(rèn)a,b,c為符號常數(shù)，x，t為符號變量。 即 ： 對函數(shù)f求導(dǎo)為：df/dx 對函數(shù)g求導(dǎo)為：dg/dt,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（二）默認(rèn)符號變量,為了了解函數(shù)引用過程中使用的符號變量個數(shù)及變量名，可以用findsym函數(shù)查詢默認(rèn)的變量。該函數(shù)的引用格式為：

6、findsym（f,n） 說明：f為用戶定義的符號函數(shù)， n為正整數(shù)，表示查詢變量的個數(shù)。 n=i,表示查詢i個系統(tǒng)默認(rèn)變量。n值省略時表示查詢符號函數(shù)中全部系統(tǒng)默認(rèn)變量。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（二）默認(rèn)符號變量,【例3 】查詢符號函數(shù) f=xn g=sin(at+b) 中的系統(tǒng)默認(rèn)變量。 syms a b n t x %定義符號變量 f=xn; %給定符號函數(shù) g=sin(a*t+b); findsym(f,1) %在f函數(shù)中查詢1個系統(tǒng)默認(rèn)變量 ans= x 表示f函數(shù)中查詢的1個系統(tǒng)默認(rèn)變量為x。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（二）默認(rèn)符號變量,（三） 符號表達(dá)式 符號表達(dá)式由符號變量、函數(shù)、算術(shù)運(yùn)

7、算符等組成。符號表達(dá)式的書寫格式與數(shù)值表達(dá)式相同。例如,數(shù)學(xué)表達(dá)式 其符號表達(dá)式為： (1+sqr(5*x)/2 注意，在定義表達(dá)式前應(yīng)先將表達(dá)式中的字符x定義為符號變量。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（四） 生成符號函數(shù) 將表達(dá)式中的自變量定義為符號變量后，賦值給符號函數(shù)名，即可生成符號函數(shù)。例如有一數(shù)學(xué)表達(dá)式：,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),其用符號表達(dá)式生成符號函數(shù)fxy的過程為： syms a b c x y %定義符號運(yùn)算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 %生成符號函數(shù) 生成符號函數(shù)fxy后，即可用于微積分等符號計(jì)算。,一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（四） 生成符號函數(shù),【例4】定義一個符號函數(shù) fxy=(a

8、*x2+b*y2)/c2 ，分別求該函數(shù)對x、y的導(dǎo)數(shù)和對x的積分。 syms a b c x y %定義符號變量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2；%生成符號函數(shù) diff(fxy，x) %符號函數(shù)fxy對x求導(dǎo)數(shù) ans =2*a*x/c2 diff(fxy， y) %符號函數(shù)fxy對y求導(dǎo)數(shù) ans =2*b*y/c2 int(fxy， x) %符號函數(shù)fxy對x求積分 ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),一、符號計(jì)算基礎(chǔ),（四） 生成符號函數(shù),二、微積分,（一） 微積分函數(shù) 1.求極限 函數(shù)limit用于求符號函數(shù)f的極限。系統(tǒng)可以根據(jù)用戶要求，計(jì)算變量從不同方

9、向趨近于指定值的極限值。該函數(shù)的格式及功能：,二、微積分,limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時，f（x）函數(shù)的極限值。 limit(f,a)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f（x）的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f（x）的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，既變量x趨近于a。 limit(f)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。符號函數(shù)f（x）的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo)值時，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。 limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right

10、表示變量x從右邊趨近于a。 limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。,二、微積分,【例5】求極限 syms x； %定義符號變量 f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； %確定符號表達(dá)式 w=limit(f) %求函數(shù)的極限 w = -1/2,二、微積分,2. 微分函數(shù) diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式s求微分。該函數(shù)的一般引用格式為： diff(s,v,n),二、微積分,說明： 應(yīng)用diff（s）沒有指定微分變量和微分階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對符號表達(dá)式s求一階微分。 應(yīng)

11、用diff（s，v）或diff（s，sym（v） 格式，表示以v為自變量，對符號表達(dá)式s求一階微分。 應(yīng)用diff（s，n）格式，表示對符號表達(dá)式s求n階微分，n為正整數(shù)。 應(yīng)用diff（s，v，n）diff（s，n，v） 格式，表示以v為自變量，對符號表達(dá)式s求n階微分。,【例6】求導(dǎo)數(shù)： x = sym(x); %定義符號變量 t = sym(t); diff(sin(x2) %求導(dǎo)運(yùn)算 ans = 2*cos(x2)*x,二、微積分,3積分函數(shù) 積分函數(shù)int（s ，v，a，b)可以對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求積分。其引用格式為： int（s ，v，a，b) 說明： 應(yīng)用int（s）格式，

12、表示沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求一階積分。 應(yīng)用int（s，v）格式，表示以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求一階不定積分。 應(yīng)用積分函數(shù)時，如果給定 a、b兩項(xiàng)，表示是進(jìn)行定積分運(yùn)算。a、b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和上限表示求不定積分。,二、微積分,【例7】求下述積分。 求積分： syms x int(1/(1+x2) ans = atan(x),二、微積分,4. 級數(shù)(級數(shù)求和) 級數(shù)求和運(yùn)算是數(shù)學(xué)中常見的一種運(yùn)算。例如： f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn 函數(shù)symsum可以用于

13、此類對符號函數(shù)f的求和運(yùn)算。該函數(shù)的引用時，應(yīng)確定級數(shù)的通項(xiàng)式s，變量的變化范圍a和b。該函數(shù)的引用格式為： symsum(s, a,b),二、微積分,【例8】求級數(shù)的和:鍵入：1/12+1/22+1/32+1/42+ syms k symsum(1/k2,1,Inf) %k值為1到無窮大 ans = 1/6*pi2 其結(jié)果為：1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/6,二、微積分,三、簡化方程表達(dá)式,1.因式分解 factor函數(shù)的功能為：把多項(xiàng)式S分解為多個因式，各多項(xiàng)式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為： factor(s),三、簡化方程表達(dá)式,【例9】將表達(dá)式(x9-1)分解為多個因式。

14、 syms x factor(x9-1) ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),2.嵌套 將符號多項(xiàng)式s用嵌套形式表示，即用多層括號的形式表示。Horner函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)此功能。該函數(shù)的格式為： horner(s),三、簡化方程表達(dá)式,【例10】將表達(dá)式x3-6*x2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x3-6*x2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x,四、解方程,解方程函數(shù)的格式為： solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN) 或 solve(expr1,expr2,.,exprN) 其功能為：求解代數(shù)方程組expr1,expr2,.,exprN的根，未知數(shù)為var1,var2,.varN。 說明： 若不指明符號表達(dá)式expr1,expr2,.,exprN的值，系統(tǒng)默認(rèn)為0。例如給出一個表達(dá)式x2-3*x-8,則系統(tǒng)將按x2-3*x-8=0進(jìn)行運(yùn)算；