1、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配,第三章 幾何空間, 引言,幾何與代數(shù)間最早的橋梁是由17世紀(jì)笛卡爾和費(fèi)馬建立的平面解析幾何.,解析幾何利用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì).,解析幾何為微積分的出現(xiàn)創(chuàng)造了條件.,幾何向量是研究空間解析幾何的工具；也是研究數(shù)學(xué)中其它一些分支、力學(xué)及三維計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、三維游戲設(shè)計(jì)等學(xué)科的工具.,1715年，瑞士伯努力將平面解析幾何推廣到空間解析幾何.,一. 空間向量的線性運(yùn)算,二. 共線、共面向量的判定,3.1-2 空間向量及空間坐標(biāo)系,第三章 幾何空間,三. 空間坐標(biāo)系,四. 空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,五. 空間向量的數(shù)量積,1. 向量的概念及其表示,1). 向量：,2). 向

2、量的長度或模：,3). 自由向量：,4). 相等向量：,5). 負(fù)向量：,6). 零向量：,既有大小又有方向的量,只考慮向量的大小和方向不計(jì)較起點(diǎn)位置,長度相等且方向相同,長度相等且方向相反,方向相同或相反,8). 平行(共線)向量：,7). 單位向量：,長度為1,一. 空間向量的線性運(yùn)算,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,2. 向量的加法,1). 平行四邊形法則,2). 三角形法則,3). 運(yùn)算性質(zhì):, 結(jié)合律, 交換律,首尾相接, 多邊形法則,向量的減法,運(yùn)算性質(zhì):,三角不等式,（減數(shù)指向被減數(shù) ）,（后項(xiàng)減去前項(xiàng) ）,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,3.

3、 向量與數(shù)量的乘法（數(shù)乘）,1). 定義： m,注: m = m = 0 或 = .,2). 運(yùn)算性質(zhì), (1) = ., 單位向量：長度為1的向量,模：,方向：,非零向量的單位化：, 分配律, 結(jié)合律, 向量的伸縮,/,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,例1. 設(shè)P, Q分別是ABC的BC, AC邊的中點(diǎn), AP與BQ交于點(diǎn)M. 證明:,A,B,C,M,P,Q,往證點(diǎn)S與點(diǎn)T重合, 即,證明：可知,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,1. 向量的概念及其表示：方向和大小,2. 向量的加法,向量的減法,平行四邊形、三角形、多邊形法則,3. 數(shù)乘,向量的伸縮,向量的

4、單位化：,一. 空間向量的線性運(yùn)算,3.1-2 空間向量及空間坐標(biāo)系,二. 共線、共面向量的判定,三. 空間坐標(biāo)系,四. 空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,五. 空間向量的數(shù)量積,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,二. 共線、共面向量的判定,1. 共線、共面向量的定義,二. 共線、共面向量的判定,2. 共線的判定,定理3.1 設(shè)向量1, 向量2與1共線 存在唯一的實(shí)數(shù)k使得 2 = k1.,推論3.1 向量1, 2共線 存在不全為零的實(shí)數(shù)k1, k2使得 k11+k22 = .,注：向量1,2不共線 k11+k22 = 只有零解，即 k1=k2=0.,注：設(shè)向量1, 向量2與1共線

5、2可由1唯一的線性表示.,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,二. 共線、共面向量的判定,推論3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全為零 的實(shí)數(shù)k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = .,注：若向量1,2 不平行, 則向量3與1,2共面 3可由1,2 唯一的線性表示.,1,3,2,3. 共面的判定,定理3.2 若向量1,2不平行, 則向量3與1,2共面 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(k, l), 使得,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,3 = k1+l2.,定理3.2 若向量1,2不平行, 則向量3與1,2共面 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(k, l),

6、使得3 = k1+l2.,推論3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全為零 的實(shí)數(shù)k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = .,注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0, 3可由 1,2唯一的線性表示.,推論3.2 向量1, 2 , 3共面 1,2 ,3 線性相關(guān)., 1,2 ,3 線性無關(guān),3. 共面的判定,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,例2.,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,二. 共線、共面向量的判定,2與1 ()共線 唯一實(shí)數(shù)k使得2 =k1 2可由1唯一線性表示 2與1 共線 不全為零的

7、k1,k2使得k1 1+k22= 2與1 線性相關(guān),3與1,2共面3 可由1,2唯一線性表示 3與1,2 線性相關(guān),重點(diǎn)和難點(diǎn),在直線上任意一個(gè)向量都可以由直線上一個(gè)非零向量唯一的線性表示.,在平面上任意一個(gè)向量都可以由平面上兩個(gè)不共線向量唯一的線性表示.,在空間上任意一個(gè)向量都可以由空間上三個(gè)不共面向量唯一的線性表示.,1. 線性表示,(1) 在直線上任意一個(gè)向量都可以由直線上一個(gè) 非零向量唯一的線性表示.,(2) 在平面上任意一個(gè)向量都可以由平面上兩個(gè) 不共線向量唯一的線性表示.,定理3.3 在空間中取定三個(gè)不共面的1, 2, 3, 則 對空間中任一向量 都存在唯一的有序 實(shí)數(shù)組(x, y

8、, z), 使得 = x1+y2+z3.,實(shí)數(shù)k1, k2 , k3, 使得=k11+k22+k33.,3與1,2共面3 可由1,2唯一線性表示 3與1,2 線性相關(guān),第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,定理3.3 在空間中取定三個(gè)不共面的1, 2, 3, 則 對空間中任一向量都存在唯一的有序 實(shí)數(shù)組(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.,唯一性：,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,右(左)手仿射坐標(biāo)系., = x1+y2+z3= (x, y, z),1.仿射坐標(biāo)系O; 1, 2, 3 ,坐標(biāo)原點(diǎn);,坐標(biāo)向量(基);,坐標(biāo)軸;,坐標(biāo)(分量) ;,三.

9、空間坐標(biāo)系,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),坐標(biāo)面,卦限(八個(gè)),zox面,2. 空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)分解式:,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,設(shè) = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 則 k1+k2,= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1),= (x2x1, y2y1, z2z1).,=(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2, k1z1+k2z2).,后項(xiàng)減前項(xiàng),四. 空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,第三章

10、 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,2. 向量的加法,平行四邊形、三角形、多邊形法則,3. 數(shù)乘,向量的伸縮,向量的單位化：,一. 空間向量的線性運(yùn)算,3.1-2 空間向量及空間坐標(biāo)系,二. 共線、共面向量的判定,三. 空間坐標(biāo)系,四. 空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,五. 空間向量的數(shù)量積,1. 直線上任一向量都可由一個(gè)非零向量唯一的線性表示.,2. 平面上任一向量都可由兩個(gè)不共線向量唯一的線性表示.,3.空間中任一向量都可由三個(gè)不共面向量唯一的線性表示.,3與1,2共面3 可由1,2唯一線性表示 3與1,2 線性相關(guān),1. 兩個(gè)非零向量之間的夾角,2. 投影的概念,(注意投影是一個(gè)有正

11、負(fù)的數(shù)),五. 空間向量的數(shù)量積,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,u,投影的性質(zhì),當(dāng)| =| |=1,= k1 + k2,= + ,與,共面唯一實(shí)數(shù)k1,k2使,思考題：當(dāng),不是單位向量時(shí)k1,k2與 ,的關(guān)系如何？,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,物理背景：一物體在常力 的作用下，沿直線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移為 時(shí)，則力 所做的功是:,抽去物理意義，就是兩個(gè)向量確定一 個(gè)數(shù)的運(yùn)算.,稱為數(shù)量積,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,3. 兩個(gè)向量的數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積),1). 物理背景,2). 兩個(gè)非零向量之間的夾角,3). 數(shù)量積的定義,注: = 0

12、 = 或 = 或( , , ), ,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,4). 內(nèi)積的性質(zhì),(1)正定性: 2= =|20且2= 0 = ,(2)對稱性: = ,(3) (m) = m( ) = (m),(4) 分配律：(+) = + ,(5) 線性性：(k+l) = k + l ,(6) Schwartz不等式：| | | |,(7) 三角不等式:|- | | | |+|,(8) | + |2 + |-|2 = 2 (|2 + |2),注: 數(shù)量積不滿足消去律, 即 = , =.,應(yīng)為 (- )=0 (- ).,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,(2)設(shè) = (

13、x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 則,5). 直角坐標(biāo)系 下向量內(nèi)積的計(jì)算,例5.已知|=3, |=6, (,)=/3, (3 ) (+2), 求.,解： (3 ) (+2)=0, 3 2 + (6) 2 2=0, 39+(6)| |cos/3 236=0, 8181=0 =1., = 2 = x12 +y12+z12,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系, = x1x2+y1y2+z1z2,6). 模、夾角、距離公式,(2)設(shè)非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之間的夾角為, 則,x1x2+y1y2+z1z2,(3)點(diǎn)P

14、1(x1, y1, z1)與P2(x2, y2, z2)之間的距離為, = x1x2+y1y2+z1z2,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,7). 方向角、方向余弦和方向數(shù),(1)非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸所成的夾角稱為 此向量的方向角;,方向余弦: cos, cos, cos,方向角的余弦稱為此向量的方向余弦.,第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,(3)方向數(shù)c1,c2,c3:,注2：cos2 + cos2 + cos2 = 1.,(2)向量 的方向余弦,注1：方向余弦唯一，但方向數(shù)不唯一.,與方向余弦成比例的一組數(shù),第三章 幾何空間,3.1-2空間向量及空間坐標(biāo)系,例6.向量1=(1,2,3), 2=(1,0,0), 3=(1,1,3), =1+2 +3, 求|, 的方向余弦、方向數(shù), =(,3).,解：=1+2 +3=(3,3,6),的方向數(shù): 3,3,6; 或者1,1,2; 通式為k,k,2k (k0),第三章 幾何