1、第二章 場(chǎng)論,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),3 矢量場(chǎng)的通量及散度,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,5 幾種重要的矢量場(chǎng),第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),一、概念,如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。如果這物理量是數(shù)量,就稱這個(gè)場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng);如果是矢量,就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為穩(wěn)定場(chǎng)(靜態(tài)場(chǎng))； 若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為不穩(wěn)定場(chǎng)(時(shí)變場(chǎng))。,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),二、數(shù)量場(chǎng)的等值面,如果數(shù)量場(chǎng)確定了,則場(chǎng)中各點(diǎn)處的場(chǎng)點(diǎn)值

2、就確定了,對(duì)于靜態(tài)場(chǎng),它是只是空間坐標(biāo)的函數(shù).,例如,在直角坐標(biāo)系下,如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等.,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),等值面 數(shù)量場(chǎng)中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面.,等值面研究的意義:數(shù)量場(chǎng)中所發(fā)生的物理過(guò)程在不同的等值面上是不同的.,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),例1 求數(shù)量場(chǎng) 通過(guò)點(diǎn) 的等值面方程。,解: 點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ,則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為,.其等值面方程為:,或,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),三、矢量場(chǎng)的矢量線,如果矢量場(chǎng)確定了,則場(chǎng)中各點(diǎn)處的矢量 就確定了,對(duì)于靜態(tài)場(chǎng),它是只是空間坐標(biāo)的函數(shù).,或,例如,在直角坐標(biāo)系下,如力場(chǎng),速度場(chǎng)等.,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),矢量線 在曲線上每一點(diǎn)處,曲線都和對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的

3、矢量 相切.,矢量線研究的意義: 能夠了解矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量方向以及整個(gè)矢量場(chǎng)的分布.,如:靜電場(chǎng)中的電力線、磁場(chǎng)中的磁力線等等。,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),討論,（在M處與矢量線相切的矢量）,矢量線的方程,設(shè) 為矢量線上任意一點(diǎn)，其矢徑為,則微分,與在M處的場(chǎng)矢量 共線。,因此有：,矢量線的微分方程,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),例2 求矢量場(chǎng) 的矢量線方程。,解: 矢量場(chǎng)滿足的微分方程為,從而有,解之即得矢量方程,C1和C2是積分常數(shù)。,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),例3 求矢量場(chǎng),解: 矢量場(chǎng)滿足的微分方程為,通過(guò)點(diǎn) 的矢量線方程。,由,由,第二章 場(chǎng)論,1 場(chǎng),所以過(guò)點(diǎn) 的矢量線方程為:,第二章 場(chǎng)論,2

4、數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,一、方向?qū)?shù),考慮標(biāo)量場(chǎng)中兩個(gè)等值面,定義數(shù)量函數(shù) 沿給定方向 的變化率,為數(shù)量場(chǎng)函數(shù) 在點(diǎn) 處沿 方向的方向?qū)?shù).其大小與方向 有關(guān),第二章 場(chǎng)論,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,在直角坐標(biāo)系中,方向?qū)?shù)有如下計(jì)算公式:,如果函數(shù) 在點(diǎn) 處可微; 為 方向的方向余弦,則函數(shù) 在點(diǎn) 處沿 方向的方向?qū)?shù)為:,其中 是在點(diǎn) 處的 偏導(dǎo)數(shù).,第二章 場(chǎng)論,例4 求函數(shù) 在點(diǎn) 處沿 方向的方向?qū)?shù).,解:,的方向余弦為:,則,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,第二章 場(chǎng)論,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,二、梯度,當(dāng) ,即 方向與 方向一致.,結(jié)論: 矢量 的方向就是數(shù)量函數(shù) 變化率最大的

5、方向., 矢量 的模正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值.,第二章 場(chǎng)論,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,定義梯度,數(shù)量場(chǎng) 在M點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量,大小:最大方向?qū)?shù),方向:最大方向?qū)?shù)所在的方向(即 的方向),在直角坐標(biāo)系里有:,引進(jìn)哈密頓矢量微分算子:,第二章 場(chǎng)論,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,梯度的性質(zhì),(1) 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影.,(2) 梯度的方向是沿等值面法線的方向,且指向函數(shù) 增大的 一方.,第二章 場(chǎng)論,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,梯度運(yùn)算的基本公式,第二章 場(chǎng)論,例5 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn) 處的梯度及在矢量 方向的方向?qū)?shù).,解:,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,第二章 場(chǎng)論,例6 設(shè)

6、有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 ,由電學(xué)知道,在其周圍空間的任一點(diǎn) 處所產(chǎn)生的電位為:,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,其中 試求電位 的梯度.,第二章 場(chǎng)論,2 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,由于電場(chǎng)強(qiáng)度,所以,結(jié)論:電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度等于電位的負(fù)梯度.,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,在描繪矢量場(chǎng)的特性時(shí), 矢量場(chǎng)穿過(guò)一個(gè)曲面的通量是一個(gè)很有用的概念。 在矢量分析中, 將曲面的一個(gè)面元用矢量 來(lái)表示, 其方向取為面元的法線方向, 其大小為 , 即,是面元的法線方向單位矢量。 (1)開曲面上的面元:右手螺旋法則。 (2)封閉曲面上的面元: 封閉面的外法線方向。,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,如果

7、是一個(gè)封閉面, 則,一、通量,可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):,定義矢量 沿有向曲面 的面積分,為矢量 穿過(guò)有向曲面 的通量。,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,例7 在點(diǎn)電荷 所產(chǎn)生的電場(chǎng)中,任何一點(diǎn) 處的電位移矢量為,其中 是點(diǎn)電荷 到點(diǎn) 的距離, 是從點(diǎn)電荷 指向點(diǎn) 的單位矢量.設(shè) 為以點(diǎn)電荷為中心, 為半徑的球面,求從內(nèi)穿出 的電通量 .,解,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,二、散度,如果包圍點(diǎn)P的閉合面 所圍區(qū)域 以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí)，通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場(chǎng) 在P點(diǎn)的散度。即,矢量 的散度是標(biāo)量, 它是 通過(guò)某點(diǎn)處單位體積的通量(即通量體密

8、度)。它反映 在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度。,直角坐標(biāo)系,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,則：, 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù).,散度的物理意義:, 散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性.,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,在矢量場(chǎng)中,若 ,稱之為有源場(chǎng), 稱為(通量) 源密度;若矢量場(chǎng)中處處 ,稱之為無(wú)源場(chǎng).,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,例8 點(diǎn)電荷 在離其 處產(chǎn)生的電通量密度為,求任意點(diǎn)處電通量密度的散度 。,解,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。,第二章 場(chǎng)論,

9、3 矢量場(chǎng)的通量及散度,散度運(yùn)算的基本公式:,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,例9 已知 求,解 因?yàn)?由于,則,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,三、散度定理 既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, 因此直觀地可知, 矢量場(chǎng)散度的體積分等于該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉面的總通量, 即,高斯定理,該公式表明了區(qū)域 中場(chǎng) 與邊界 上的場(chǎng) 之間的關(guān)系。,矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。,第二章 場(chǎng)論,3 矢量場(chǎng)的通量及散度,例10 球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為,試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算,解 由散度定理得,由于,所以,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,一、環(huán)量,矢量 沿某封閉有向曲線 的線積分,

10、 定義為 沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量), 記為,環(huán)量的計(jì)算,環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng) =0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng),流體做渦旋運(yùn)動(dòng) 0，有產(chǎn)生渦旋的源,例：流速場(chǎng),流速場(chǎng),第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,二、環(huán)量面密度,若 沿著自身縮向 點(diǎn)時(shí),若,極限存在,則稱矢量場(chǎng) 在點(diǎn) 處沿方向 的環(huán)量面密度.,這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度, 或稱環(huán)量強(qiáng)度。 由于面元是有方向的, 它與封閉曲線 的繞行方向成右手螺旋關(guān)系, 因此在給定點(diǎn)處, 上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。 為此, 引入如下定義, 稱為旋度(curl或rotation):,

11、第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,三、旋度,可見, 矢量A的旋度是一個(gè)矢量, 其大小是矢量 在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度, 其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí), 該面元矢量的方向 。 它描述 在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。,直角坐標(biāo)系,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,矢量 的旋度可表示為哈密頓算子與 的矢量積, 即,計(jì)算 時(shí), 先按矢量積規(guī)則展開, 然后再作微分運(yùn)算,得,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,即,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,旋度,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,某點(diǎn)的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量面密度的最大

12、值。,在矢量場(chǎng)中，若 ,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))， 稱為旋度源(或渦旋源)；,某點(diǎn)的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量面密度面元的方向。,若矢量場(chǎng)處處 ，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,例 11 求矢量場(chǎng) 的旋度.,解:,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,例12 自由空間中的點(diǎn)電荷 所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為,求任意點(diǎn)處( )電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度 。,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,解:,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,可見, 向分量為零; 同樣, 向和 向分量也都為零。 故,這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。,因,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,例 13 設(shè)矢量場(chǎng) ,證明,所以:,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,旋度運(yùn)算的基本公式:,梯度的旋度恒等于零,旋度的散度恒等于零,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,例 14 證明矢量場(chǎng) 是無(wú)旋場(chǎng).,證:,0,0,則:,所以: 為無(wú)旋場(chǎng).,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,例 15 證明 ( 即標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度等于零) .,證:,其中,因?yàn)?第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,所以,第二章 場(chǎng)論,4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度,例 16 證明 ( 即矢量函數(shù)旋度的散度等于零)