1、復(fù)習(xí)課(三)平面向量平面向量的概念及線性運(yùn)算1題型為選擇題和填空題主要考查向量的線性運(yùn)算及對(duì)向量有關(guān)概念的理解，常與向量共線和平面向量基本定理及數(shù)量積運(yùn)算交匯命題2向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算，向量的加減法滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律、分配律實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形方向在向量的線性運(yùn)算中都可以使用典例(北京高考)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.解析2，.，()，().又xy，x，y.答案類題通法向量線性運(yùn)算的基本原則向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，因此，對(duì)它們

2、的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個(gè)方面1若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y()A13B13C9 D9解析：選D(8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.2設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外， |216，|，則|()A8 B4C2 D1解析：選C由|216，得|4.|4，|2|，|2.3已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且，則()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上C點(diǎn)P在線段AB的延長線上D點(diǎn)P不在直線AB上解析：選B由于23，22，即2，則點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上平面向量的數(shù)量積1題型既有選擇題、填

3、空題，又有解答題，主要考查數(shù)量積運(yùn)算、向量的垂直等問題，常與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題2解決此類問題要掌握平面向量數(shù)量積的兩種求法：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，即ab|a|b|cos ，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，即abx1x2y1y2；同時(shí)還要掌握利用數(shù)量積求向量的夾角、求向量的長度和判斷兩個(gè)向量垂直的方法典例(1)(福建高考)設(shè)a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，則實(shí)數(shù)k的值等于()A BC. D.(2)(四川高考)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4.若點(diǎn)M，N滿足3，2，則()A20 B15C9 D6解析(1)cakb(1k,2k), 又bc，所以1(1k)1(2k)0，

4、解得k.(2)如圖所示，由題設(shè)知： ，|2|236169.答案(1)A(2)C類題通法(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知向量的模和夾角進(jìn)行計(jì)算1已知abc0，|a|2，|b|3，|c|，則向量a與b的夾角為()A30 B45C60 D以上都不對(duì)解析：選Cabc0，c(ab)，c2(ab)2，即|c|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b，194912cosa，b，cosa，b.又0a，b180，a，b60.2在ABC中，AB4，ABC30，D是邊BC上的一點(diǎn)，且，則的值為()A0 B4C8

5、D4解析：選D由，得()0，即0，所以，即ADCB.又AB4，ABC30，所以ADABsin 302，BAD60，所以ADABcos BAD244.3已知向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60，則b在a方向上的投影是_解析：|a|b|2，a與b的夾角為60，b在a方向上的投影是|b|cos 601.答案：14在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)若1，則AB的長為_解析：設(shè)|x，x0，則x.又()1x2x1，解得x，即AB的長為.答案：平面向量與三角函數(shù)的綜合問題1題目以解答題為主主要包括向量與三角函數(shù)化簡、求值與證明的結(jié)合，向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的結(jié)合等幾個(gè)方

6、面此類題目所涉及向量的知識(shí)往往是數(shù)量積的運(yùn)算，所研究的問題主要是討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)2解決此類問題，首先要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后利用三角公式進(jìn)行恒等變換，轉(zhuǎn)化為題目中所要求的問題典例(廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)若mn，則mn0.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m與n的夾角為，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.類題通法在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用

7、平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識(shí)解決問題1設(shè)a(sin x,1)，b，且ab，則銳角x為()A. B.C. D.解析：選B因?yàn)閍b，所以sin xcos x0，所以sin 2x1，又x為銳角，所以02x，所以2x，x，故選B.2設(shè)向量a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，xR，函數(shù)(x)a(ab)(1)求函數(shù)(x)的最大值與

8、最小正周期；(2)求使不等式(x)成立的x的取值范圍解：(1)(x)a(ab)aaabsin2xcos2xsin xcos xcos2x1sin 2x(cos 2x1)sin，(x)的最大值為，最小正周期T.(2)由(1)知(x)sinsin02k2x2kkxk(kZ)使(x)成立的x的取值范圍是.1設(shè)P，Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若a，b，則()AabBabC2(ab) D.(ab)解析：選A如圖，ab.2已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|ab|()A0 B1C2 D.解析：選D因?yàn)閨ab|2a22abb210225，所以|ab|，故選D.3若平面向量a(1,2)與b的夾角是1

9、80，且|b|3，則b的坐標(biāo)為()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：選A由題意設(shè)ba(，2)(0)，而|b|3，則3，所以3，b(3，6)4已知|a|1，|b|，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為()A. B.C. D.解析：選Ba(ab)，a(ab)a2ab0，aba2，|a|1，|b|，cosa，b，向量a與向量b的夾角為，故選B.5在ABC中，()|2，則ABC的形狀一定是()A等邊三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：選C由()|2，得()0，即()0，20，A90.故選C.6已知平面向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，|c|3，且a，b

10、，c兩兩所成的角相等，則|abc|等于()A6或 B6或C. D6解析：選Aa，b，c兩兩所成的角相等，這個(gè)角為0或120.當(dāng)夾角為0時(shí)，|abc|a|b|c|1236，排除C；當(dāng)夾角為120時(shí)，ab|a|b|cos 120121，bc|b|c|cos 120233，ca|c|a|cos 12031，|abc|2a2b2c22(abbcca)12223223，|abc|.|abc|6或.7已知向量a(1,3)，b(1，t)，若(a2b)a，則|b|_.解析：a(1,3)，b(1，t)，a2b(3,32t)(a2b)a，(a2b)a0，即(1)(3)3(32t)0，即t2，b(1,2)，|b|.

11、答案：8已知平面向量a與b的夾角等于，如果|a|2，|b|3，那么|2a3b|_.解析：|2a3b|2(2a3b)24a212ab9b24221223cos932133，|2a3b|.答案：9已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是_解析：由于|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則|a|24ab0.設(shè)向量a與b的夾角為，則cos ，.答案：10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|.解：(1)(2a3b)(2ab)61，4a24ab3b261， 即644ab2761.ab6

12、.cos ，120.(2)|ab|.11已知向量a(3,2)，b(2,1)，c(3，1)，tR.(1)求|atb|的最小值及相應(yīng)的t值；(2)若atb與c共線，求實(shí)數(shù)t.解：(1)a(3,2)，b(2,1)，atb(3,2)t(2,1)(32t,2t)，|atb|，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)，即|atb|的最小值為，此時(shí)t.(2)atb(3,2)t(2,1)(32t,2t)，又atb與c共線，c(3，1)，(32t)(1)(2t)30.解得t.12已知向量m(1,1)，向量n與向量m的夾角為，且mn1.(1)求向量n；(2)設(shè)向量a(1,0)，向量b(cos x，sin x)，其中xR，若na0，試求

13、|nb|的取值范圍解：(1)令n(x，y)，則或n(1,0)或n(0，1)(2)a(1,0)，na0，n(0，1)nb(cos x，sin x1)|nb|.1sin x1，0|nb|2.(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1tan 的值為()A.BC. D解析：選Dtan tantan .2下列函數(shù)中最值是，周期是6的三角函數(shù)的解析式是()Aysin BysinCy2sin Dysin解析：選A由題意得，A，6，故選A.3.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一

14、點(diǎn)，則 等于 ( ) A B2C3 D4解析：選D依題意知，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，也是線段BD的中點(diǎn)，所以2，2，所以4，故選D.4若點(diǎn)(sin ，sin 2)在第四象限，則角在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B點(diǎn)(sin ，sin 2)在第四象限， 即在第二象限5已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b等于()A(5，10) B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：選Ba(1,2)，b(2，m)，1m2(2)0，m4.2a3b(2,4)(6，12)(4，8)6若，且sin ，則sincos()的值為()A. BC. D解析：選Bsincos()s

15、in cos cos sin cos .sin ，cos .sin cos .7已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，則a與c的夾角為()A30 B60C120 D150解析：選Cab10，則(cb)acabaca10，所以ca，設(shè)a與c的夾角為，則cos ，又0，則sin sin ；若函數(shù)y2cos的最小正周期是4，則a；函數(shù)y是奇函數(shù)；函數(shù)ysin在0，上是增函數(shù)其中正確命題的序號(hào)為_解析：39030，但sin sin ，所以不正確；函數(shù)y2cos的最小正周期為T4，所以|a|，a，因此不正確；中函數(shù)定義域是，顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不正確；由于函數(shù)ysinsincos

16、 x，它在(0，)上單調(diào)遞增，因此正確答案：三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知|a|1，|b|，a與b的夾角為.(1)若ab，求ab；(2)若ab與a垂直，求.解：(1)ab，0或180，ab|a|b|cos .(2)ab與a垂直，(ab)a0，即|a|2ab1cos 0，cos .又0180，45.18(本小題滿分12分)已知tan ，求的值解：原式，又tan ，原式3.19(本小題滿分12分)已知a(cos 2，sin )，b(1,2sin 1)，ab，求.解：abcos 2sin (2sin 1)cos 22

17、sin2sin 1sin ，sin .，cos ，sin 22sin cos ，10.20(本小題滿分12分)已知函數(shù)(x)2cos xsinsin2xsin xcos x.(1)當(dāng)x時(shí)，求(x)的值域；(2)用五點(diǎn)法在下圖中作出y(x)在閉區(qū)間上的簡圖；解：(x)2cos xsinsin2xsin xcos x2cos xsin2xsin xcos xsin 2xcos 2x2sin.(1)x，2x，sin1，當(dāng)x時(shí)，(x)的值域?yàn)椋?(2)由T，得T，列表：x2x022sin02020圖象如圖所示21(本小題滿分12分)已知f(x)sin x2sincos.(1)若f()，求的值；(2)若sin，x，求f(x)的值解：f(x)sin x2sincossin xsinsin xcos xsin.(1)由f()，得sin，sin.，.，.(2)x，.又sin，cos.sin x2sincos，cos x.f(x)sin xcos x.22(本小題滿分12分)已知函數(shù)(x)Asin(x)0,0的部分圖象如圖所示(1)求(x)的解析式；(2)將函數(shù)y(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單