1、極坐標(biāo)系,第一講 坐標(biāo)系,問(wèn)題探究,下圖是某校園的平面示意圖.假設(shè)某 同學(xué)在教學(xué)樓處，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1)他向東偏北60o方向走120m后到達(dá) 什么位置？該位置惟一確定嗎？ (2)如果有人打聽(tīng) 體育館和辦公樓的位 置，他應(yīng)如何描述？,A,E,B,C,D,60o,45o,辦公樓,實(shí)驗(yàn)樓,圖書館,體育館,120m,60m,教學(xué)樓,50m,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)； 自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再 選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位（通 常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針 方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.,講授新課,1. 極坐標(biāo)系的概念,講授新課,1. 極坐標(biāo)系的概念,設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)

2、，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的 距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極 軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM 叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序?qū)崝?shù)對(duì)(,) 叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(, ).,設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的 距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極 軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM 叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序?qū)崝?shù)對(duì)(,) 叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(, ).,講授新課,1. 極坐標(biāo)系的概念,一般地，不作特殊 說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0， 可取任意實(shí)數(shù).,例1. 如圖，在極坐標(biāo)系中，寫出點(diǎn)A， B，C的極坐標(biāo)，并標(biāo)出點(diǎn),所在的位置？,例1. 如圖，在極坐標(biāo)系中，寫出點(diǎn)A， B，C的極坐標(biāo)，并標(biāo)出點(diǎn),所

3、在的位置？,例1. 如圖，在極坐標(biāo)系中，寫出點(diǎn)A， B，C的極坐標(biāo)，并標(biāo)出點(diǎn),所在的位置？,例1. 如圖，在極坐標(biāo)系中，寫出點(diǎn)A， B，C的極坐標(biāo)，并標(biāo)出點(diǎn),所在的位置？,例2. 在圖中，用點(diǎn)A，B，C，D，E 分別表示教學(xué)樓，體育館，圖書館， 實(shí)驗(yàn)樓，辦公樓的位置.建立適當(dāng)?shù)?極坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo).,A,E,B,C,D,60o,45o,120m,60m,50m,例2. 在圖中，用點(diǎn)A，B，C，D，E 分別表示教學(xué)樓，體育館，圖書館， 實(shí)驗(yàn)樓，辦公樓的位置.建立適當(dāng)?shù)?極坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo).,A(O),E,B,C,D,60o,45o,120m,60m,50m,x,小結(jié),極坐標(biāo)(,)

4、與(,2k)(kZ)表示 同一個(gè)點(diǎn).特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,) ( R).和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè) 點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.,如果規(guī)定0，02，那么除 極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用惟一的極坐標(biāo) (,)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)(,) 也是惟一確定的.,問(wèn)題探究1,平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)既可以用直角坐標(biāo) 表示，也可以用極坐標(biāo)表示.那么，這 兩種坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢？,把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸 的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中 取相同的長(zhǎng)度單位. 設(shè)M是平面內(nèi)任意一 點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y)極坐標(biāo)是(,). 從下圖可以得出它們之間的關(guān)系：,N,x,x,M,O,y,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

5、,y,把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸 的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中 取相同的長(zhǎng)度單位. 設(shè)M是平面內(nèi)任意一 點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y)極坐標(biāo)是(,). 從下圖可以得出它們之間的關(guān)系：,N,x,x,y,M,O,y,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,由又可得到下面的關(guān)系式：,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,N,x,x,y,M,O,y,由又可得到下面的關(guān)系式：,這就是極坐標(biāo)與 直角坐標(biāo)的互化公式.,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,N,x,x,y,M,O,y,例3.,例4.,1. 寫出圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)，G各 點(diǎn)的極坐標(biāo)（ 0，0 2 ）； 2.將上面7個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)。,課堂練習(xí),

6、.,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)； 自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再 選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位（通 常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針 方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.,復(fù)習(xí)回顧,1. 極坐標(biāo)系的概念,設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的 距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極 軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM 叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序?qū)崝?shù)對(duì)(,) 叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(, ).,1. 極坐標(biāo)系的概念,一般地，不作特殊 說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0， 可取任意實(shí)數(shù).,復(fù)習(xí)回顧,N,x,x,y,M,O,y,2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,復(fù)習(xí)回顧,問(wèn)題探究1,如圖

7、，半徑為a的圓的 圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a0). 你能用一個(gè)等式表示圓上 任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,) 滿足的條件嗎？,M(,),C(a,0),x,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,如圖，半徑為a的圓的 圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a0). 你能用一個(gè)等式表示圓上 任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,) 滿足的條件嗎？,圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O. 設(shè)圓和極軸的另一個(gè)交點(diǎn) 是A，那么|OA|2a. 設(shè)M(,)為圓上除點(diǎn) O，A以外的任意一點(diǎn)，則OMAM.,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O.設(shè)圓和 極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是A， 那么|OA|2a.設(shè)M(,) 為圓上除點(diǎn)O，A以外

8、 的任意一點(diǎn)，則OMAM. 在RtAMO中，,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,|OM|OA|cosMOA,2acos ,即,一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面 曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一 個(gè)滿足方程f(,)0，并且坐標(biāo)適合方 程f(,)0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程 f(,)0叫做曲線C的 極坐標(biāo)方程.,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,A,x,M(,),C(a,0),O,1. 圓的極坐標(biāo)方程,2acos ,就是圓心在C(a,0)(a0)， 半徑為a的極坐標(biāo)方程.,例1.已知圓O的半徑為r，建立怎樣的 極坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更 簡(jiǎn)單？

9、,r,例1.已知圓O的半徑為r，建立怎樣的 極坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更 簡(jiǎn)單？,r,x,O,M,讓圓心在極坐標(biāo)原點(diǎn)。, =r,問(wèn)題探究2,如圖，直線l經(jīng)過(guò)極點(diǎn)， 從極軸到直線l的角是 ， 求直線l的極坐標(biāo)方程.,M,O,x,2. 直線的極坐標(biāo)方程,M,O,x,M,射線OM的極坐標(biāo)方程是,射線OM的極坐標(biāo)方程是,因此，直線l的方程可以用,表示.,例2. 求過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直于極軸 的直線l的極坐標(biāo)方程.,O,x,A(a,0),M(, ),OM= ,AOM= ,OM cosAOM OA, cos a,OA=a,課堂練習(xí),1.說(shuō)明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線， 并畫圖.,課堂練習(xí),

10、2.在坐標(biāo)系中，求適合下列條件的直線 或圓的極坐標(biāo)方程.,例3. 把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo) 方程，并判斷圖形的形狀.,例3. 把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo) 方程，并判斷圖形的形狀.,課堂練習(xí),1.把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.,2.把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.,課時(shí)小結(jié)：總結(jié)下列幾種曲線的極坐標(biāo)方程：,1.過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為 的直線： 2.過(guò)A（a，0）點(diǎn)垂直于極軸的直線： 3.以極點(diǎn)為圓心，半徑為 a 的圓： 4.若 ,以O(shè)A為直徑的圓： 5.過(guò)極點(diǎn)，圓心為 的圓:,課后作業(yè)： 特刊 2 ，P41 試題匯編31 2010年：3,4 0809年：4,問(wèn)題探究,右圖是一個(gè)圓形體育場(chǎng)，

11、自正東方向 起，按逆時(shí)針?lè)较虻确譃槭€(gè)扇形區(qū)域， 順次記為一區(qū)，二區(qū)十二區(qū).我們?cè)O(shè)圓 形體育場(chǎng)第一排與體育中心O的距離為300m， 每相鄰兩排的間距為1m，每層看臺(tái)的高度 為0.6m.現(xiàn)在需要確 定第九區(qū)第三排正 中的位置A，如何描 述這個(gè)位置？,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點(diǎn).它在Oxy平面上的 射影為Q，用(,)(0,02)表示 點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的 位置可用有序?qū)崝?shù)組(,z)(zR)表示.,柱坐標(biāo)系,z,O,這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序 實(shí)數(shù)組(,z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.把建 立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系， 有序數(shù)組(,z)叫做點(diǎn)P的

12、柱坐標(biāo)，記作 P(,z)，其中0，02， z.,柱坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系又稱 半極坐標(biāo)系.,z,O,空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo) (,z)之間的變換公式為,柱坐標(biāo)系,O,在航空領(lǐng)域，人們?cè)鯓哟_定航天器 的準(zhǔn)確位置呢？,問(wèn)題探究,如何建立坐標(biāo)系，才能方便地的得 出r,的值，并由有序?qū)崝?shù)組(r,)找 到航天器的具體位置呢？,問(wèn)題探究,如何建立坐標(biāo)系，才能方便地的得 出r,的值，并由有序?qū)崝?shù)組(r,)找 到航天器的具體位置呢？,選取地球球心O 為極點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn) 且與零子午線相交的 射線Ox為極軸，建 立平面極坐標(biāo)系.,問(wèn)題探究,球坐標(biāo)系,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一

13、點(diǎn)，連接OP，記|OP| r.,x,y,z,P,O,球坐標(biāo)系,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP| r.,x,y,z,r,O,P,球坐標(biāo)系,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.,x,y,z,r,O,P,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.設(shè)P在Oxy 平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较?旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為.,球坐標(biāo)系,x,y,z,r,O,P,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.設(shè)P在Oxy 平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较?旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為.,球坐標(biāo)系,x,y,z,r,Q,O,P,一般地，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP| r.OP與Oz正向所夾的角為.設(shè)P在Oxy 平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较?旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為.這樣 點(diǎn)P的位置就可以用 有序數(shù)組(r,)表示. 這樣，空間的點(diǎn)與 有序數(shù)組(r,)之 間建立了一種對(duì)應(yīng) 關(guān)系.,球坐標(biāo)系,x,y,z,r,Q,O,P,把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的