1、1.4.2 正、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì),1.正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),y=sinx (xR),y=cosx (xR),定義域,值域,周期性,xR,y - 1, 1 ,T = 2,2.周期函數(shù)的定義,一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T ，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f( x+T )=f(x) , 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。,對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x) ,如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。,可知： 函數(shù)y=sinx和y=cosx都是周期函數(shù)，2k(kZ且 k0)都是它的周期，最小正周期是

2、2。,由sin(x+2k)=sinx ; cos(x+2k)=cosx (kZ),注意：（1）周期T為非零常數(shù)。 （2）等式f(x+T)=f(x)對(duì)于定義域M內(nèi)任意一個(gè)x都成立。 （3）周期函數(shù)f(x)的定義域必為無界數(shù)集（至少一端是無界的） （4）周期函數(shù)不一定有最小正周期。,舉例：f(x)=1(xR),任一非零實(shí)數(shù)都是函數(shù)f(x)=1的周期，但在正實(shí)數(shù)中無最小值，故不存在最小正周期。,的最小正周期,例1 求下列函數(shù)的周期：,（1）y=3cosx; xR （2）y=sin2x，xR；,3.例題講解,例1、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？,

3、4.周期函數(shù)應(yīng)用,結(jié)論：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xa)f(x)=0或f(xa) =-f(x) 則f(x)是周期為2a的周期函數(shù).,例2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 f(x1)=f(x1)，且當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)=x4，求f(10)的值.,結(jié)論：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xa)-f(x-b)=0或f(xa) =f(x-b) 則f(x)是周期為a+b的周期函數(shù).,奇偶性,一般的，如果對(duì)于一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。,一般的，如果對(duì)于一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

4、函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。,1.正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,sin(-x)= - sinx (xR),y=sinx (xR),是奇函數(shù),cos(-x)= cosx (xR),y=cosx (xR),是偶函數(shù),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,正弦、余弦函數(shù)的奇偶性,正弦函數(shù)的單調(diào)性,y=sinx (xR),-1,0,1,0,-1,余弦函數(shù)的單調(diào)性,y=cosx (xR),-1,0,1,0,-1,單調(diào)性,y=cosx在每一個(gè)閉區(qū)間(2k-1),2k (kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間2k

5、，(2k+1) (kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.,y=sinx在每一個(gè)閉區(qū)間 +2k, +2k (kZ）上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間 +2k， +2k (kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.,例4 比較下列各組數(shù)的大小:,例5 求函數(shù) ， x2，2的單調(diào)遞增區(qū)間.,當(dāng) cosx=1 即 x=2k （kZ) 時(shí) ， y 取到最大值 3 .,解：由 cosx0 得：- +2k x +2k （kZ) 函數(shù)定義域?yàn)? +2k， +2k,由 0cosx1 12 +13 函數(shù)值域?yàn)?1 ， 3,練：求函數(shù)y = 2 +1 的定義域、值域，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y取到最大值，最大值為多少？,正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,奇函數(shù),偶函數(shù), +2k, +2k,kZ,單調(diào)遞增, +2k, +2k,kZ,單調(diào)遞減,函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：,1. 直接利用相關(guān)性質(zhì),2. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,3. 利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間,奇偶性,單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）,正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：,(1) y=2sin(-x ),解：,y=2sin(-x ),= -2sinx,(2) y=3sin(2x- ),單調(diào)增區(qū)間為,所以：,解：,單調(diào)減區(qū)間為,正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,解：,