1、1,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),2,數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析,第九章,3,9. 3 參數(shù)估計(jì),當(dāng)樣本觀測(cè)值較多時(shí)，總體分布可以由經(jīng)驗(yàn)分布近似；總體的分布密度，可以由直方圖法來近似。 然而，在實(shí)際中常碰到的問題是總體分布函數(shù)已知而其中的若干參數(shù)未知；或者總體的分布函數(shù)的類型已知，而所關(guān)心的只是總體中某些數(shù)字特征。,參數(shù)估計(jì)問題就是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù)。,4,9.3.1 參數(shù)估計(jì)問題的一般提法,在參數(shù)估計(jì)問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)。 設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體其分布函數(shù)為F(X,)，其中為未知參數(shù) (可以是向量) ?，F(xiàn)從該總體抽樣，得樣本 X1, X2, ,

2、 Xn , 要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)作出估計(jì)，或估計(jì)的某個(gè)已知函數(shù)g()。這類問題稱為參數(shù)估計(jì)。,根據(jù)樣本的觀測(cè)值給出總體中參數(shù)的估計(jì)值或參數(shù)的取值范圍稱為參數(shù)估計(jì), 前者叫參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，后者叫參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。,5,9.3.2 總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),樣本特征數(shù): 樣本均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都稱為樣本特征數(shù) 總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì): 用樣本的特征數(shù)來估計(jì)總體的數(shù)字特征 最常用的點(diǎn)估計(jì)是對(duì)總體均值和方差2(或標(biāo)準(zhǔn)差)做點(diǎn)估計(jì)。 估計(jì)的方法有矩法、極大似然法等。 評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)有無偏性、最小方差性、有效性等。,6,9.3.3 總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),在用點(diǎn)估計(jì)來估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，是用一個(gè)確定的值去估計(jì)未知的參數(shù)，看來似

3、乎精確，但實(shí)際上把握不大。 因?yàn)橛捎跇颖镜碾S機(jī)性，從一個(gè)樣本算得的估計(jì)值往往都不會(huì)恰好等于待估參數(shù)的真值，也就是說估計(jì)值與真值之間往往都存在一定的偏差。 因此還需要研究這些估計(jì)值的精確程度和可靠程度。這類問題，就是參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題。,7,參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題就是希望確定一個(gè)區(qū)間(置信區(qū)間)，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值。, ,這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平。,習(xí)慣上把置信水平記作1-,這里是一個(gè)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的小正數(shù)。,8,置信區(qū)間與顯著性水平,設(shè)為總體X的一個(gè)未知參數(shù)，如果對(duì)于任意預(yù)先給定的(01)，能找到兩個(gè)定值1和2使 P(

4、1 2)=1- 則區(qū)間(1, 2)叫做參數(shù)的1-置信區(qū)間 1：置信下限 2：置信上限 1-：置信水平(或置信度) ：顯著性水平。,置信區(qū)間越小，估計(jì)的精度越高 置信水平越大，估計(jì)的可信程度越高,置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的。 通?？扇≈眯潘?-=0.95或0.9等。,9,1、正態(tài)分布均值的區(qū)間估計(jì),(1) 已知方差2，求均值的置信區(qū)間 假定總體服從正態(tài)分布N(,2)，X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體N(,2)的樣本，根據(jù)樣本均值分布定理,10,設(shè)N(0,1)的1-/2分位數(shù)為u1-/2. 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的對(duì)稱性,11,因此置信水平1-下，均值的置信區(qū)間為,從中解得,12,注意：當(dāng)

5、總體分布未知時(shí)，根據(jù)中心極限定理，只要樣本容量n足夠大，仍可用,作為均值的1-置信區(qū)間。,n的取值沒有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)，一般n的取值不能小于50，最好大于100。,13,(2) 未知方差2，求均值的置信區(qū)間,由于t分布對(duì)稱，取t(n-1)的1-/2分位數(shù)t1-/2， 則均值的1-置信區(qū)間為,用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體的標(biāo)準(zhǔn)差，利用,14,2、正態(tài)分布方差的區(qū)間估計(jì),選取 2(n-1) 的/2分位數(shù) 2/2 和1-/2分位數(shù)21-/2，滿足,假定總體服從正態(tài)分布N(,2)，X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體N(,2)的樣本，現(xiàn)在要用樣本方差s2對(duì)總體方差2進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。由于,15,從中解得,所以方差2的1-

6、置信區(qū)間為,因?yàn)?16,3、其它分布總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),對(duì)其它分布總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，根據(jù)中心極限定理，只要樣本容量取的充分大（n50），分布就近似于正態(tài)分布，因此可以用前面關(guān)于正態(tài)分布總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果。,17,9.3.4 有關(guān)參數(shù)估計(jì)的MATLAB命令,(1)正態(tài)總體的參數(shù)估計(jì) 如果總體服從正態(tài)分布，則計(jì)算其點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的MATLAB命令為normfit,格式：,uh, sigh, u, sig = normfit(x, a),18,(2)其它分布的參數(shù)估計(jì),兩種處理辦法: 取容量充分大的樣本（n50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布； 使用MATLAB工具箱中具有特定分布總

7、體的估計(jì)命令： betafit binofit expfit gamfit poissfit unifit weibfit ,19,試求均值的置信水平為95%的置信區(qū)間。 解 輸入程序 x=1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130, 1300,1200; uh,sigh,u,sig=normfit(x),例9.6 已知某燈泡廠生產(chǎn)的一批燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布，測(cè)得其中10只燈泡的使用壽命(單位：h)如下：,1050，1100，1080，1120，1200， 1250，1040，1130，1300，1200,20,運(yùn)行結(jié)果為,uh = 1147 sigh

8、 = 87.0568 u = 1.0e+003 * 1.0847 1.2093 sig = 59.8807 158.9318 故所求置信區(qū)間為(1084.7, 1209.3)，即有95%的把握認(rèn)為這批燈泡的使用壽命在1084.7小時(shí)至1209.3小時(shí)之間。,21,9. 4 假設(shè)檢驗(yàn),假設(shè)檢驗(yàn)的概念 對(duì)總體的分布律或分布參數(shù)作某種假設(shè)，根據(jù)抽取的樣本觀測(cè)值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受或拒絕假設(shè)，這類統(tǒng)計(jì)推斷問題稱為假設(shè)檢驗(yàn)問題。,以下只討論正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),22,9.4.1 假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟,1. 根據(jù)實(shí)際問題提出檢驗(yàn)假設(shè)H0與備選假設(shè)H1，即說明需要檢驗(yàn)

9、的假設(shè)的具體內(nèi)容； 2. 選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并在H0成立的條件下確定該統(tǒng)計(jì)量的分布； 3. 按問題的具體要求，選取適當(dāng)?shù)娘@著性水平，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定對(duì)應(yīng)于的臨界值(分位數(shù))。 4. 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，并與臨界值進(jìn)行比較，從而在檢驗(yàn)水平條件下接受或拒絕原假設(shè)H0。,23,9.4.2 單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn),取容量為n的樣本，求出樣本均值x和標(biāo)準(zhǔn)差s，對(duì)總體均值是否等于給定值0進(jìn)行檢驗(yàn)。記,H0： =0 H1： 0,稱H0為原假設(shè)，H1為備選假設(shè)，兩者擇其一：接受H0 或者 拒絕H0，即接受H1. 假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)假設(shè)H0做出判斷：接受還是拒絕。另外再選定一個(gè)常數(shù)(顯

10、著性水平)，作為H0成立但被錯(cuò)誤拒絕的概率。,24,1、總體方差2已知,若H0成立,對(duì)給定常數(shù)，取N(0,1)的1-/2分位數(shù)u1-/2,|z|u1-/2 時(shí)接受H0，否則拒絕H0,實(shí)際常用的值是0.05或0.01，對(duì)應(yīng)的u1-/2 值是1.96或2.575。,假設(shè)檢驗(yàn)的規(guī)則(z檢驗(yàn))：,25,2、 總體方差2未知,若H0成立,對(duì)給定常數(shù)，取t(n-1)的1/2分位數(shù)t1-/2,假設(shè)檢驗(yàn)的規(guī)則(t檢驗(yàn)),|t|t1-/2 時(shí)接受H0，否則拒絕H0,當(dāng)n較大時(shí)(n30)，t1-/2 u1-/2,26,2. 雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn),將假設(shè)H0的拒絕區(qū)間(域)放在兩側(cè)(例如|t|t1-/2)，這樣做對(duì)于

11、0形式的假設(shè)H1是合適的，這樣的檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。 但有的實(shí)際問題需要檢驗(yàn)的是形如0 或0的假設(shè)，如對(duì)于一批燈泡的平均壽命，檢驗(yàn)“不小于若干小時(shí)”比檢驗(yàn)“等于若干小時(shí)”更合理。,27,設(shè)原假設(shè)H0：=0；備選假設(shè)H1：0；在總體方差2已知時(shí)，取N(0,1)的分位數(shù)u，即如果 zN(0,1)，則,假設(shè)檢驗(yàn)的規(guī)則為：z u 時(shí)拒絕H0. 總體方差2未知時(shí)有類似結(jié)果. 類似地可以討論H0：=0；H1：0的情況. 這種將假設(shè)H0的拒絕區(qū)間(域)放在一側(cè)的檢驗(yàn)稱為單側(cè)檢驗(yàn).,或,28,單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)一覽表,29,3. 單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)的MATLAB實(shí)現(xiàn),(1) 總體方差2已知 總體方差2已知時(shí)

12、，總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)使用的MATLAB命令為ztest,格式：h,p,ci=ztest(x,u,sig,a,t),30,格式：h,p,ci=ztest(x,u,sig,a,t),輸入?yún)?shù)意義： x 樣本觀測(cè)值； u 總體均值的假設(shè)值； sig 總體標(biāo)準(zhǔn)差； a 顯著性水平(缺省值為0.05)； t 假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)(缺省值為0) t=0 H0:=0; H1:“總體均值不等于u”； t=1 H0:=0; H1:“總體均值大于u”； t=-1 H0:=0; H1: “總體均值小于u”.,31,格式：h,p,ci=ztest(x,u,sig,a,t),輸出參數(shù)意義： h 是一個(gè)布爾值 h=0：不能拒絕原

13、假設(shè)H0 h=1：可以拒絕原假設(shè)H0 p 是假設(shè)H0成立的概率 ci 是均值的1-a置信區(qū)間,32,例9.7 已知美國某地1993年一月份汽油價(jià)格數(shù)據(jù)如下： 119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118,解 作假設(shè)u=115，輸入程序 x=119,117,115,116,112,121,115,122,116,118,109,112,119,112,117,113,114,109,109,118; h,p,ci=ztest(x,115,4,0.05,0),假設(shè)一月份汽油價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差

14、為=4，試檢驗(yàn)一月份汽油價(jià)格的均值是否等于115。,33,運(yùn)行結(jié)果為,h = 0 p = 0.8668 ci = 113.3970 116.9030 檢驗(yàn)結(jié)果： (1)布爾變量h=0，不能拒絕接受u=115的假設(shè)； (2)p的值為0.8668，遠(yuǎn)超過0.5，即均值為115這個(gè)假設(shè)成立的概率是非常大的。 (3)u=115的95%的置信區(qū)間為(113.397，116.903)，它完全包括了115，且精度很高。,34,總體方差2未知時(shí)，總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)使用的MATLAB命令為ttest 格式：h,p,ci=ztest(x,u,a,t) 輸入輸出變量的意義與ztest相同，僅是輸入變量少了標(biāo)準(zhǔn)差.,

15、(2) 總體方差2未知,35,例9.8 已知美國某地1993年二月份汽油價(jià)格數(shù)據(jù)如下： 118 115 115 122 118 121 120 122 120 113 120 123 121 109 117 117 120 116 118 125,解 作假設(shè)u=115，輸入程序 x=118,115,115,122,118,121,120,122,120,113,120,123,121,109,117,117,120,116,118,125; h,p,ci=ttest(x,115,0.05,0),試檢驗(yàn)二月份汽油價(jià)格的均值是否等于115。,36,運(yùn)行結(jié)果為,h = 1 p = 4.9517e-0

16、04 ci = 116.7521 120.2479 檢驗(yàn)結(jié)果： (1)h=1，表示可以拒絕接受u=115的假設(shè)，即汽油價(jià)格的均值等于115的假設(shè)是不合理的； (2)p的值為4.9517e-004，遠(yuǎn)小于0.5，即均值為115這個(gè)假設(shè)成立的概率是非常小的。 (3) u=115的95%的置信區(qū)間為(116.7521，120.2479)，它不包括115。,37,4. 兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn),設(shè)已知兩總體XN(1,12)，YN(2,22). 分別取容量為n1, n2的樣本，由其確定的均值分別為x1,x2，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1, s2. 要作的假設(shè)檢驗(yàn)為 H0：1=2 ; H1：12(12, 12),取N(0

17、,1)的1-/2分位數(shù)u1-/2，假設(shè)檢驗(yàn)的規(guī)則(z檢驗(yàn))為：|z|u1-/2 時(shí)接受H0，否則拒絕H0。,當(dāng)1,2已知時(shí)，若H0成立，則,38,當(dāng)1,2未知，但可以假定1=2時(shí),若H0成立,則,取t(n1+n2-2)的1-/2分位數(shù)t1-/2，即假設(shè)檢驗(yàn)的規(guī)則(t檢驗(yàn))為：|t|t1-/2 時(shí)接受H0，否則拒絕H0。,對(duì)假設(shè)檢驗(yàn) H0：1=2 ; H1：12或 12 有類似的結(jié)果,39,兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)一覽表,40,兩總體均值假設(shè)檢驗(yàn)的MATLAB實(shí)現(xiàn),兩總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)用t檢驗(yàn) 格式：h,p,ci=ttest2(x,y,a,t),檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)x,y關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中a為

18、顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于t的取值： t=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于y的均值” t=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于y的均值” t=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于y的均值” t的缺省值為0， a的缺省值為0.05.,41,兩總體均值假設(shè)檢驗(yàn)的MATLAB實(shí)現(xiàn),兩總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)用t檢驗(yàn) 格式：h,p,ci=ttest2(x,y,a,t),輸出參數(shù)意義： 返回值h為一個(gè)布爾值 h=0 表示不能拒絕假設(shè) h=1 表示可以拒絕假設(shè) p為假設(shè)成立的概率 ci為x與y均值差的1-a置信區(qū)間,42,例9.9 試檢驗(yàn)例9.7和例9.8中美國某地1993年一、二月份油價(jià)的均值是否相同。,解：輸入并運(yùn)行以下命令,x=119,117,115,116,112,121,115,122,116,118,109,112,119,112,117,113,114,109,109,118; y=118,115,115,122,118,121,120