1、,第一節(jié) 多元函數的基本概念,第二節(jié) 偏導數,第三節(jié) 全微分,第八章 多元函數微分法及其應用,第五節(jié) 隱函數的求導公式,第四節(jié) 多元復合函數的求導法則,第六節(jié) 多元函數微分學的幾何應用,第七節(jié) 方向導數與梯度,第八節(jié) 多元函數的極值及其求法,第一節(jié) 多元函數的基本概念,一、平面點集 n維空間,二、多元函數的概念,三、多元函數的極限,四、多元函數的連續(xù)性,1. 鄰域,點集,稱為點 P0 的鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強調鄰域半徑 ,也可寫成,點 P0 的去心鄰域記為,一、平面點集 n維空間,在討論實際問題中也常使用方鄰域,因為方鄰域與圓鄰域,平面上的方

2、鄰域為,。,可以互相包含.,2. 區(qū)域,(1) 內點、外點、邊界點,設有點集 E 及一點 P :, 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內點也含 E,則稱 P 為 E 的內點；,則稱 P 為 E 的外點 ;,則稱 P 為 E 的邊界點 .,的外點 ,顯然, E 的內點必屬于 E ,E 的外點必不屬于 E ,E 的,邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,(2) 聚點,若對任意給定的 ,點P 的去心,鄰域,內總有E 中的點 ,則,稱 P 是 E 的聚點.,聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E,

3、(因為聚點可以為,所有聚點所成的點集成為 E 的導集 .,E 的邊界點 ),(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點集 E 的點都是內點，則稱 E 為開集；, 若點集 E E , 則稱 E 為閉集；, 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;,。 。, E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域, 整個平面是最大的開域 , 點集,是開集，,也是最大的閉域；,但非區(qū)域 ., 對區(qū)域 D , 若存在正數 K , 使一切點 PD 與某定點,A 的距離 AP

4、K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無,3. n 維空間,n 元有序數組,的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的每一個元素,稱為空間中的,稱為該點的第 k 個坐標 .,記作,即,一個點,當所有坐標,稱該元素為,中的零元,記作,O .,的距離記作,中點 a 的 鄰域為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,規(guī)定為,與零元 O 的距離為,二、多元函數的概念,引例:, 圓柱體的體積, 定量理想氣體的壓強, 三角形面積的海倫公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義1. 設非空點集,點集 D 稱為函數的定義域 ;數集,稱為函數的值域 .,特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數,當 n

5、 = 3 時, 有三元函數,映射,稱為定義在 D 上,的 n 元函數 ,記作,例如, 二元函數,定義域為圓域,說明:,二元函數 z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 .,三元函數,定義域為單位閉球,圖形為 空間中的超曲面.,三、多元函數的極限,定義2. 設 n 元函數,點 ,則稱 A 為函數,(也稱為 n 重極限),當 n =2 時, 記,二元函數的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數 A ,對一,記作,都有,對任意正數 , 總存在正數 ,切,例1 設,求證：,證:,故,總有,要證,例2 設,求證：,證：,故,總有,要證, 若

6、當點,不同值或有的極限不存在，,解 設 沿直線 趨于點,在點(0,0)的極限.,則可以斷定函數極限不存,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0)點極限不存在 .,以不同方式趨于,在。,例3 討論函數,函數趨于,例4,求,解,這里函數,的定義域為,為,的聚點。,由積的極限運算法則，得,例5 求,解 因,而,此函數定義域 不包括 x , y 軸,則,故,僅知其中一個存在,推不出其它二者存在., 二重極限,不同.,如果它們都存在, 則三者相等。,例如,顯然,與累次極限,但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在 .,四、 多元函數的連續(xù)性,定義3 . 設 n 元函數,定義在 D 上,如果函數在

7、D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數在 D 上,如果存在,否則稱為不連續(xù),此時,稱為間斷點 .,則稱 n 元函數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,連續(xù).,連續(xù),例如, 函數,在點(0 , 0) 極限不存在,故 ( 0, 0 )為其間斷點.,又如, 函數,在圓周 上間斷.,結論: 一切多元初等函數在定義區(qū)域內連續(xù).,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致連續(xù)性定理),閉域上多元連續(xù)函數有與一元函數類似的如下性質:,(證明略),解 原式,例5 求,例6 求函數,的連續(xù)域.,解,內容小結,1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,2. 多元函數概念,n 元