1、第14章 拉普拉斯變換,概述：,以往分析方法的局限性,(1)直流電路和正弦電流電路對(duì)激勵(lì)有嚴(yán)格限制，且只能求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,(2)經(jīng)典法：雖可求全響應(yīng)，但建立、求解微分方程都存在困難。,當(dāng)我們求任何激勵(lì)下的完全響應(yīng)時(shí)，應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析，稱為運(yùn)算法。其基本步驟類似于正弦電路的相量法。,元件關(guān)系,元件關(guān)系,時(shí)域電路（結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)、激勵(lì)函數(shù)）,相量模型,相量代數(shù)方程,相量解,完全響應(yīng),正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng),完全響應(yīng),n階微分方程,運(yùn)算電路,復(fù)變量的代數(shù)方程,復(fù)頻域解,變換,KCLKVL,解,反變換,正變換,拉氏,KCLKVL,解,反變換,拉氏,KCL、KVL、元件關(guān)系,據(jù)n個(gè)初值解方程,時(shí)域解,時(shí)域電

2、路,經(jīng)典法、相量法、運(yùn)算法,運(yùn)算法的優(yōu)點(diǎn)：,1. 直接求全響應(yīng)（相對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)）,2. 避開(kāi)了經(jīng)典法中建立和求解高階微分方程的困難,3. 對(duì)激勵(lì)要求不嚴(yán)格（直流、正弦、階躍、沖激均可）基本滿足工程需要,4. 在復(fù)頻域里研究網(wǎng)絡(luò)比時(shí)域方便簡(jiǎn)單（但不如時(shí)域直觀）,14.1拉普拉斯變換的定義,第14章 拉普拉斯變換,1.一個(gè)定義在 區(qū)間的函數(shù)f(t),它的拉普拉斯變換式 F(s)定義為：,拉氏變換為積分變換，積分的值不再是 t 的函數(shù)，而是復(fù)變量s 的函數(shù)。拉氏變換 將時(shí)域函數(shù)f(t) 變換為s域的復(fù)變函數(shù)F(s)。相量法中w為頻率，而 為復(fù)數(shù)，故稱復(fù)頻率，所進(jìn)行的電路分析稱為復(fù)頻域分析。,f(t)

3、=(t)時(shí)此項(xiàng) 0,2.拉氏變換存在條件,當(dāng)右邊積分為有限值時(shí)，F(xiàn)(s)存在。,具體說(shuō)對(duì)任意f(t), 對(duì)所有t 的只要滿足：,則， f(t) 的F(s)總存在。,M 與c為正的有限常數(shù),兩點(diǎn)約定：,(1)積分下限取0是為能計(jì)及 f(t) 在t=0時(shí)可能出現(xiàn)的沖擊。 (給計(jì)算存在沖擊電壓和電流的電路帶來(lái)方便),(2)若已知F(s) ，求 f(t) 稱為拉氏反變換,其定義：,寫作：,規(guī)定小寫字母表示原函數(shù)，大寫字母表示象函數(shù)。 例 : i(t) I(s); u(t) U(s),F(s)稱為象函數(shù)，用大寫字母表示，如I(s)，U(s),f(t) 稱為原函數(shù)，用小寫字母表示，如 i(t), u(t)

4、,c為正的有限常數(shù),3.典型函數(shù)的拉氏變換,(2)單位階躍函數(shù)的象函數(shù),(1)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換,(3)沖激函數(shù)的拉氏變換,= 1,拉氏變換有許多性質(zhì)，僅介紹與分析線性非時(shí)變電路有關(guān)的。 利用這些性質(zhì)：(1) 用以求出復(fù)雜原函數(shù)的象函數(shù),關(guān)于唯一性：由上式所定義的象函數(shù)F(s)與定義在 0,+)區(qū)間上的時(shí)域函數(shù) f(t)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 .唯一性 對(duì)于所有的拉氏變換應(yīng)用都起作用。使我們有可能把線性時(shí)變電路的時(shí)域分析變?yōu)檩^易處理的復(fù)頻域分析， 并使在復(fù)頻域內(nèi)獲得的結(jié)果有可能返回到時(shí)域中去。 . 證明從略,14 .2拉普拉斯變換的基本性質(zhì),(2)將時(shí)域微分方程變?yōu)?S 域的線性代數(shù)方程,1.線

5、性性質(zhì),證明只需根據(jù)定義（見(jiàn)書P291）,f1(t)、f2(t)是兩個(gè)任意的時(shí)間函數(shù)，它們的象函數(shù)分別為F1(S)、F2(S)，A1、A2是兩個(gè)任意實(shí)常數(shù)，則：,14 .2拉普拉斯變換的基本性質(zhì),例1,解,例2,解,根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。,2. 微分性質(zhì),函數(shù) f(t) 的象函數(shù)與其導(dǎo)數(shù) f (t) 的象函數(shù)之間有如下關(guān)系：,證明見(jiàn)書（P292）,例1,解,推廣：,例2,解,3.積分性質(zhì),例,解,證明見(jiàn)書（P293）,4.延遲性質(zhì),函數(shù) f(t) 的象函數(shù)與其延遲函數(shù) f(t- t0) 的象函數(shù)之間有如下關(guān)系：,證

6、明見(jiàn)書（P293）,例,求矩形脈沖的象函數(shù),解,根據(jù)延遲性質(zhì),5. 頻域平移性質(zhì),（選講）,積分,微分,小結(jié)：,原函數(shù),原函數(shù),象函數(shù),象函數(shù),14.3拉普拉斯反變換,由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：,(1)利用公式,(2)把F(S)分解成若干簡(jiǎn)單項(xiàng)之和，而這些簡(jiǎn)單項(xiàng)可以在拉氏變 換表中找到，這種方法稱為部分分式展開(kāi)法或稱分解定理,象函數(shù)的一般形式：,復(fù)變函數(shù)積分一般比較復(fù)雜,利用部分分式展開(kāi)法將F(S)分解為：,公式一：,一般形式：,公式二：,羅必塔法則,型不定式可用求極限的方法即羅必塔法則確定Ki 的值,羅必塔法則(補(bǔ)充),當(dāng)x a或x 時(shí)，兩個(gè)函數(shù) 都趨于 零或都趨于無(wú)窮大，這時(shí)極限 可能存在也

7、可能不存在。,羅必塔法則是處理 型或 型未定式極限的重要工具,仍為 也可連續(xù)用，即：,定理公式：,求其原函數(shù) f(t),解：因?yàn)?所以D(S)=0的根為 p1= -2 , p2= -3,若一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元，那麼：,由于F(S)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，K1,K2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù),D(S)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式, D(S)=0若出現(xiàn)復(fù)根必共軛成對(duì),即：,求其原函數(shù) f(t),設(shè)D(s)中含有(s-p1)3的因式，則p1為D(s)0 的三重根。對(duì)這類F(s)進(jìn)行分析： 首先設(shè)存在常數(shù)K11、K12和K13使F(s)的展開(kāi)式中包含如下與p1有關(guān)的3項(xiàng)，即：,單根的處理方法同上。關(guān)鍵是如何確定K11、K12和K

8、13？,上式左右均乘(s-p1)3，則K11就被分離：,上式兩邊對(duì)s求導(dǎo)一次，則K12就被分離：,推論得出當(dāng)D(s)具有q 階重根，其余為單根時(shí)的分解式為：,推論得出當(dāng)D(s)具有q 階重根，其余為單根時(shí)的分解式為：,求 的原函數(shù),所以,首先以 乘以 得:,書例14-8,同樣為計(jì)算 和 ,首先以 乘 得,所以:,相應(yīng)的原函數(shù)為,2)求真分式分母的根，確定分解單元,3)求各部分分式的系數(shù),4)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換,2.拉氏變換法分析電路,小結(jié)：,1) n =m 時(shí)將F(S)化成真分式,1.由F(S)求f(t) 的步驟,相量形式KCL、KVL,元件 復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納,14.4 運(yùn)算

9、電路,類似地運(yùn)算法：,元件 運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納,運(yùn)算形式KCL、KVL,復(fù)頻域中的電路定律、 電路元件與模型,復(fù)習(xí)向量法：,F(S)為f(t) 的象函數(shù),+ u -,一. 電路元件的運(yùn)算形式,R：,u=Ri,i,R,電阻的運(yùn)算電路,象函數(shù)形式的元件方程 也稱運(yùn)算形式的元件方程,兩邊取拉氏變換,L:,電感的運(yùn)算電路,運(yùn)算電路中的電感電壓應(yīng)包含其運(yùn)算阻抗兩端電壓和附加電源電壓兩部分。,電感的象函數(shù)形式的元件方程,C :,電容的運(yùn)算電路,兩邊取 拉氏變換,運(yùn)算電路中的電容電壓應(yīng)包含其運(yùn)算阻抗兩端電壓和附加電源電壓兩部分。,M :,L,1,i,1,(0,-,),Mi,2,(0,-,),Mi,1,(0,

10、-,),L,2,i,2,(0,-,),耦合電感 的運(yùn)算電路,自感的附加電壓源由本線圈初始電流引起,受控源：,受控源的運(yùn)算電路,受控源的象函數(shù)形式的元件方程,二. 電路定律的運(yùn)算形式,根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得出基爾霍夫定律的運(yùn)算形式,對(duì)任一結(jié)點(diǎn)(KCL):,對(duì)任一回路(KVL) :,運(yùn)算阻抗,歐姆定律 運(yùn)算形式,三. 運(yùn)算電路模型,運(yùn)算電路,時(shí)域電路,1. 電壓、電流用象函數(shù)形式,2. 元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示,3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示,步驟：,1. 由換路前電路計(jì)算uC(0-) , iL(0-),2. 畫運(yùn)算電路模型,3. 應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù),4. 反變換求原函數(shù),

11、14.5 拉普拉斯變換法分析電路,運(yùn)用拉普拉斯變換法（運(yùn)算法）求解電路問(wèn)題和運(yùn)用相量法求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本思想是類似的，如下表所示,將電路中的非零獨(dú)立初始條件考慮成附加電源之后，電路方程(KCL和KVL，電路元件VCR)的運(yùn)算形式與相量形式類似，因此，相量法中各種計(jì)算方法(如結(jié)點(diǎn)電壓法、回路電流法等)和定理(如疊加定理、戴維寧定理等)在形式上完全可以移用于運(yùn)算法。但注意這兩種方程具有不同的意義。,當(dāng)電路具有3個(gè)結(jié)點(diǎn)，其一般形式為：,其中,Gii 自電導(dǎo)，等于接在結(jié)點(diǎn)i上所有支路的電導(dǎo)之和(包括電壓源與電阻串聯(lián)支路)，總為正。,iSni 流入結(jié)點(diǎn)i的所有電流源電流的代數(shù)和(包括由電壓源與電阻串

12、聯(lián)支路等效的電流源)。,Gij = Gji(無(wú)受控源)互電導(dǎo)，等于接在結(jié)點(diǎn)i與結(jié)點(diǎn)j之間的所有支路電導(dǎo)之和，總為負(fù)號(hào)。,KCL：通過(guò)電阻流出某結(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和=各電源流入該結(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和,(復(fù)習(xí)),對(duì)于具有 3 個(gè)回路的電路，一般形式為：,其中：,特例：不含受控源的線性網(wǎng)絡(luò) Rjk=Rkj , 系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。 含受控源時(shí)，受控源作為電源列于右邊時(shí)，也具有對(duì)稱性。,Rkk:自電阻(為正) k=1,2,3 ( 繞行方向與回路電流參考方向同)。,KVL：各回路電流在某回路中電阻上電壓降的代數(shù)和=該回路中電壓源的電壓升的代數(shù)和。(結(jié)論),(復(fù)習(xí)),(2) 畫運(yùn)算電路,(選講),特別要注意 附加電

13、源的方向!,t = 0時(shí)閉合k，求iL，uL,求UL(s),?,運(yùn)算電路中的電容電壓和電感電壓應(yīng)包含其運(yùn)算阻抗兩端電壓和附加電源電壓兩部分。,注意:,例14-11 圖 (a)所示電路中，電路原處于穩(wěn)態(tài)。 時(shí)開(kāi) 關(guān) 閉合，求 時(shí)的 。已知 為指數(shù)電壓， ， 為直流電壓，,解:與圖 (a)相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路見(jiàn)圖 (b)，,(a),(b),電感電流的初始值:,應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法求解。設(shè)0點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)電壓為 就是 。有:,已知：,解：,代入已知數(shù)據(jù)，得：,例14-9 圖(a)電路原處于穩(wěn)態(tài)。 時(shí)開(kāi)關(guān) 閉合， 試用運(yùn)算法求解電流 。,解 : 首先求 的拉氏變換,由于開(kāi)關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以電感電流 ，

14、,電容電壓 。該電路的運(yùn)算電路如圖(b)所示:,(a),（b）,應(yīng)用回路電流法，設(shè)回路電流為 、 ，方向如圖所示，可列出方程：,解得:,代數(shù):,求其反變換:,所以,解得:,例14-10 求沖激響應(yīng),已知:,例14-12 圖 (a)所示電路中，已知,激勵(lì)為直流電壓,試求 時(shí)開(kāi)關(guān)閉合后的電流 和,解 : 圖 (b)為與 (a)相應(yīng)的運(yùn)算電路,(a),(b),代入已知數(shù)據(jù)，可得：,列出回路電流方程(含耦合電感),解得：,從上述表格可看出，應(yīng)用運(yùn)算法求解線性電路可分為三個(gè)步驟： (1)正確地作出時(shí)域電路對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路。特別注意兩點(diǎn)： 在運(yùn)算電路中，對(duì)電容、電感及耦合電感元件不能遺漏附加電源(方向不要搞錯(cuò)!)，且要正確寫出其運(yùn)算阻抗(或運(yùn)算導(dǎo)納)，如 ， 及 等； 運(yùn)算電路中的電容電壓和電感電壓應(yīng)包含其運(yùn)算阻抗兩端電壓和附加電源電壓兩部分。 (2)采用與相量法類似的計(jì)算方法和定理對(duì)所得到的運(yùn)算電路進(jìn)行分析。 (3)對(duì)求解出的各電壓和電流的像函數(shù)，利用部分分式法進(jìn)行其拉氏反變換的計(jì)算。,14.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義,1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H