1、一、等可能概型,二、典型例題,三、幾何概率,四、小結(jié),第四節(jié) 等可能概型(古典概型),1. 定義,一、等可能概型(古典概型),設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成， A 為 E 的任意一個(gè)事件，且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)，則事 件 A 出現(xiàn)的概率記為:,2. 古典概型中事件概率的計(jì)算公式,稱此為概率的古典定義.,【注】求解古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清樣本空間中的基本事件總數(shù)和對(duì)所求概率事件有利的事件個(gè)數(shù)在考慮事件數(shù)的時(shí)候，必須分清研究的問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題，掌握以下關(guān)于排列組合的知識(shí)是有用的：,(1) 加法原理：設(shè)完成一件事有k類方法，每類又分別有m1 , m2, mk種方法，而完成這件事只需

2、其中一種方法，則完成這件事共有m1 + m2,+mk種方法,(2) 乘法原理： 設(shè)完成一件事有n個(gè)步驟第一步有m1種方法、第二步有m2種方法，第n步有mn 種方法，則完成這件事共有m1 m2 mn種方法.,(3)、不同元素的選排列,從n個(gè)不相同的元素中無(wú)放回取k個(gè)的排列(k n)，稱為從n個(gè)不同元素中取k個(gè)元素的選排列,共有 種。當(dāng) n k 時(shí)，稱n個(gè)元素的全排列共有n！種。,例如：從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種,(4)、不同元素的重復(fù)排列,例如：從裝有4張卡片的盒中 有放回地摸取3張,3,2,4,1,n=4,k =3,共有4.4.4=43種可能取法,從n個(gè)不同的元索中，有放回地取k個(gè)元素

3、進(jìn)行的排列，共有種（元素允許重復(fù) ）。,(5)、不全相異元素的排列,在n個(gè)元素中，有m類不同元素、每類各有k1, k2 , km 個(gè)，將這n個(gè)元素作全排列，共有如下種方式：,n個(gè)元素,因?yàn)?,(6)、環(huán)排列,從n個(gè)不同元素中，選出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)圓圈的排列，共有：,(7)、組合,從n個(gè)不同元素中取m個(gè)而不考慮其次序的排列（組合），共有 種.,3. 古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 無(wú)放回地摸球,問(wèn)題1 設(shè)袋中有4 只白球和 2只黑球, 現(xiàn)從袋中無(wú) 放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.,解,基本事件總數(shù)為,A 所包含基本事件的個(gè)數(shù)為,(2) 有放回地摸球,問(wèn)題2 設(shè)袋中有4

4、只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球 的概率.,解,第1次摸球,6種,第1次摸到黑球,4種,第3次摸到紅球,基本事件總數(shù)為,A 所包含基本事件的個(gè)數(shù)為,課堂練習(xí),1o 電話號(hào)碼問(wèn)題 在7位數(shù)的電話號(hào)碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.,2o 骰子問(wèn)題 擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的 概率.,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量無(wú)限,問(wèn)題1 把 4 個(gè)球放到 3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè) 杯子中各有兩個(gè)球的概率, 其中假設(shè)每個(gè)杯子可 放任意多個(gè)球.,4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法,因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為,(2)

5、每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,問(wèn)題2 把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能 放一個(gè)球, 求第1 至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.,解,第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為,2o 生日問(wèn)題 某班有20個(gè)學(xué)生都 是同一年出生的,求有10個(gè)學(xué)生生 日是1月1日,另外10個(gè)學(xué)生生日是 12月31日的概率.,課堂練習(xí),1o 分房問(wèn)題 將張三、李四、王五3人等可能地 分配到3 間房中去,試求每個(gè)房間恰有1人的概率.,解,二、典型例題,在 N 件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率為,解,在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有,例3 在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被

6、6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,設(shè) A 為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件 “取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為,解,于是所求概率為,例4 將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中 去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(wèn) (1) 每一個(gè)班 級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名優(yōu) 秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù):,(1) 每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有,因此所求概率為,(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有3種,對(duì)于每一種分法,其余12名新生的分法有,因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)的分法共有,因此所求概率

7、為,例5 某接待站在某一周曾接待過(guò) 12次來(lái)訪,已知 所有這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是 否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.,假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有 規(guī)定,且各來(lái)訪者在一周的任一天 中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周內(nèi)接待 12 次來(lái)訪共有,小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有,故12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為,例6 假設(shè)每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求

8、64 個(gè)人中至少 有2人生日相同的概率.,64 個(gè)人生日各不相同的概率為,故64 個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為,解,說(shuō)明,我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.,例7、有n個(gè)人排隊(duì)，排成一圈，求甲、乙兩人相鄰的概率是多少?,解：(2)排成一圈是環(huán)排列， n個(gè)人的環(huán)排列有(n1)!種，甲、乙相鄰占一個(gè)位置的環(huán)排列有(n一2)!種，考慮互換性，有利事件有2 (n一2)!種故：,更為簡(jiǎn)單的想法是：設(shè)想一個(gè)圓周上：有n個(gè)位置，甲占了一個(gè)位置后，乙還有n一1個(gè)位置可選，其中與甲相鄰的位置有2個(gè)所以:,例8、從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少?,解：A =4只鞋子中至少有

9、兩只鞋子配成一雙,=4只鞋子中沒(méi)兩只鞋子配成一雙,例9、某人將三封寫好的信隨機(jī)裝入三個(gè)寫好地址的信封中，問(wèn)沒(méi)有一封信裝對(duì)地址的概率是多少？,解：設(shè)Ai =第i封信裝入第i個(gè)信封 i =1,2,3 A=沒(méi)有一封信裝對(duì)地址,直接計(jì)算P(A)不易，我們先來(lái)計(jì)算,=至少有一封信裝對(duì)地址,則,其中：,于是:,例10 利用概率模型證明恒等式,（1）,（2）,證（1）構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中只有1個(gè)紅球，其余全是黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出r個(gè)球。記事件A=“摸出的r個(gè)球中有紅球”，則,由 可得到等式（1）。,（2）構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中有 m個(gè)紅球，n-m個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出r 個(gè)球。記事件Ai=“摸出的r個(gè)球中有i個(gè)紅球”，則,而,所以，,即,定義 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度、 面積、體積) 相同的子區(qū)域是等可能的，則事件 A 的概率可定義為,說(shuō)明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí), 就歸結(jié)為幾何概型.,(*)三、幾何概型,那么,兩人會(huì)面的充要條件為,例10 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人,