1、1,第一章 矢量分析,2,本章內(nèi)容 1.1 矢量代數(shù) 1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng) 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.8 亥姆霍茲定理,電磁場(chǎng)需要用確定物理意義的量來表示（標(biāo)量或矢量），這些量在一定的區(qū)域內(nèi)按照一定的規(guī)律分布，并且在分布區(qū)域內(nèi)除去有限個(gè)點(diǎn)或某些表面分布規(guī)律一定是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。靜態(tài)場(chǎng)：描述電磁場(chǎng)的物理量不隨時(shí)間變化。時(shí)變場(chǎng)：描述電磁場(chǎng)的物理量是空間位置和時(shí)間的函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)：場(chǎng)量某時(shí)刻在空間任一點(diǎn)都由它的大小完全確定。矢量場(chǎng)：場(chǎng)量在某一時(shí)刻在空間任意一點(diǎn)都由矢量函數(shù)確定。

2、,3,4,1. 標(biāo)量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的單位矢量：,標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。,矢量的代數(shù)表示：,1.1 矢量代數(shù),矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。,矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示,注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?常矢量：大小和方向均不變的矢量。,5,矢量用坐標(biāo)分量表示,6,（1）矢量的加減法,兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。,矢量的加減符合交換律和結(jié)合律,2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：,結(jié)合律,交換律,7,（2）標(biāo)量乘矢量,（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）,

3、矢量的標(biāo)積符合交換律,8,（4）矢量的矢積（叉積）,用坐標(biāo)分量表示為,寫成行列式形式為,若 ，則,若 ，則,9,（5）矢量的混合運(yùn)算, 分配律, 分配律, 標(biāo)量三重積, 矢量三重積,10,三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。,1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系,在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。,三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。,11,1. 直角坐標(biāo)系,位置矢量,面元矢量,線元矢量,體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,12,2. 圓柱坐標(biāo)系,坐

4、標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,13,3. 球坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,14,4. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,直角坐標(biāo)與 圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)與 球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)與 球坐標(biāo)系,15,1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。 例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。 例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。 如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。,時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：,確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理

5、量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。,從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：,標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng),靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：,16,標(biāo)量場(chǎng)的等值面,等值面: 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。,等值面方程：,常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； 標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間； 標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。,等值面的特點(diǎn)：,意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。,17,2. 方向?qū)?shù),意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。,概念：, u(M)沿 方向增加；, u(M)沿 方向減小；, u(M)沿 方向無變化。,特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0

6、有關(guān)，也與 方向有關(guān)。,問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？,Q,18,3. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或 ）,意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向,其中 取得最大值的方向,定義：標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向就是該點(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向，并記為gradu,即,19,梯度的計(jì)算 在直角坐標(biāo)系中，令： 則：,上式表明當(dāng)矢量 與 方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)有最大值，其值為：,20,梯度的表達(dá)式：,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,引入哈密頓算符,21,標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空

7、間變化率。 標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。,梯度的性質(zhì)：,梯度運(yùn)算的基本公式：,標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）,22,解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為,例1.3.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求： (1) 該函數(shù) 在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。 (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。,23,表征其方向的單位矢量,(2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方向?qū)?shù)為

8、,對(duì)于給定的P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為,24,而該點(diǎn)的梯度值為,顯然，梯度 描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。,25,1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度,1. 矢量線,意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。,矢量線方程：,概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。,26,2. 矢量場(chǎng)的通量,在討論矢量場(chǎng)的通量前，先討論有 向面積元 規(guī)定該有向面積元的正法線方向?yàn)?有向面積元 對(duì)于封閉曲面，約定其外法線為正法線 方向（如球面等）,27,問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？ 引入通量的概念。,通量的概念 矢量場(chǎng) 穿過面積元 的通量,

9、面積元的法向單位矢量；,28,矢量場(chǎng)穿過一有限大面積的通量,如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是,29,3. 矢量場(chǎng)的散度,設(shè)想有一包圍P點(diǎn)的閉曲面，逐漸縮小到P點(diǎn)附近，則閉曲面所包圍體積 逐漸減小，且矢量 穿過閉曲面的通量 也逐漸減少。但一般情況下兩者之比有一極值，該極值與閉合曲面形狀無關(guān)。,定義：矢量場(chǎng) 的散度等于該極值。,散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。,30,通過閉合曲面有凈的矢量線穿出,有凈的矢量線進(jìn)入,進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等,矢量 穿過包圍單位體積的閉合面的通量，又稱通量密度。,散度與曲

10、面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。,意義：,31,4. 高斯定理（散度定理）,散度的定義： 該式只對(duì)微小體積 成立。 對(duì)于有線大體積V，分為許多小體積 ， 每一小體積有：,32,得：散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。,左 = 右,左： ，V為整個(gè)有限體積 右：面積之和 （1）V內(nèi)兩個(gè)相鄰小體積的分界面 （2）V的外表面,高斯定理,33,根據(jù)散度定義，可以證明在直角坐標(biāo)系中，散度的表示式 為：,5.散度的表達(dá)式：,考慮前面引入的 算符：,則：,34,直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)P18,由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為,不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為

11、一直平行六面體，如圖所示。則,35,根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為,同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為,36,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,通過證明得到直角坐標(biāo)系中,散度的表達(dá)式：,散度的有關(guān)公式：,例：已知點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 求其在任何一點(diǎn)M處的散度 。,37,解：位置矢徑 可見：除點(diǎn)電荷所在位置（r=0）外，電場(chǎng)散度處處為0。,38,1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度,矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源,例如：流速場(chǎng)。,不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義

12、的空間中閉合路徑的積分不為零。,39,如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即,上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。,如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。,環(huán)流的概念,在矢量場(chǎng)分布的空間取一有向閉曲線,如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。,稱為矢量場(chǎng)的環(huán)流 例如：,41,環(huán)流面密度,稱該極限值為矢量場(chǎng) 在點(diǎn)M 處沿方向 的 環(huán)流面密度。,特點(diǎn)：該值與 C 的形狀無關(guān)，但與所圍面積的法線方向 有關(guān)。,以l為周界的曲面S ，規(guī)定S的正法線方向 和 的繞 行方向

13、構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，它的邊界曲線記為C，當(dāng)C縮小到M 點(diǎn)附近，以下極限有一確定值：,42,矢量場(chǎng) 在M點(diǎn)的旋度是一個(gè)矢量。 大小：該點(diǎn)最大環(huán)流密度。 方向：取得最大環(huán)流密度方向。 以 表示旋度。 由旋度定義可以知道：沿任意方向 的環(huán)流密度等于旋度沿 該方向的投影。（旋度在該方向上的分量）,2. 矢量場(chǎng)的旋度,43,由旋度的定義可以得到直角坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式：,旋度的計(jì)算：（直角坐標(biāo)系）,44,旋度的計(jì)算公式:,45,旋度的有關(guān)公式：,例：求矢量 在點(diǎn)M(1,2,1)處的旋度以及在這點(diǎn)沿矢徑方向的環(huán)流密度。 解：1、由旋度計(jì)算公式：,46,2.M點(diǎn)矢徑,47,于是矢量場(chǎng) 在M點(diǎn)沿 方向的環(huán)流密

14、度,48,3. 斯托克斯定理,斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。,由旋度的定義可知，對(duì)于無限小的面積微元 有：,或,對(duì)于有限大面積：（處理方法同高斯定理）,49,1. 矢量場(chǎng)的源,散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；,旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。,1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng),

15、50,2. 矢量場(chǎng)按源的分類,（1）無旋場(chǎng),性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。,僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，,無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為,例如：靜電場(chǎng),是 的標(biāo)量位函數(shù),51,（2）無散場(chǎng),僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即,性質(zhì)：,無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度,例如，恒定磁場(chǎng),是 的矢量位函數(shù),52,（3）無旋、無散場(chǎng),（源在所討論的區(qū)域之外）,（4）有散、有旋場(chǎng),這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分,53,1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理,1. 拉普拉斯運(yùn)算,1.標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算,為一矢量，若再對(duì) 求散度，則稱為標(biāo)量函數(shù)u的拉普拉斯運(yùn)算，即,稱為L(zhǎng)aplace算子

16、，在直角坐標(biāo)系中,54,2.矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算定義式,直角坐標(biāo)系中：,注意：Laplace算子 作用于標(biāo)量函數(shù)上時(shí)，稱之為標(biāo)性Laplace算子，它表示標(biāo)量函數(shù)的梯度的散度，是一標(biāo)量函數(shù)，定義為：,Laplace算子作用于矢量函數(shù)時(shí)，是一矢量函數(shù)，定義為,兩者有本質(zhì)區(qū)別，只有在直角坐標(biāo)系中才有,55,亥姆霍茲定理:,在有限區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)，由它的散度、旋度和邊界條件唯一確定。這就是Helmholxz定理。,1.8 亥姆霍茲定理,Helmholxz定理是研究電磁場(chǎng)問題的一條主線。,56,在直角坐標(biāo)系中,58,2. 格林定理,設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及 滿足下列等式：,根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成,以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。,式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標(biāo)量場(chǎng) 在 S 表面的外法線 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。,59,基于上式還可獲得下列兩式：,上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。,格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。,此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定