1、小波分析的發(fā)展歷史，1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表熱傳導(dǎo)分析理論論文1910年Haar提出最簡單的小波，1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。 1985年Meyer和隨后的Daubeichies倡導(dǎo)“正交小波基”，隨后形成了小波研究的高潮。 1988年Mallat提出的多分辨率分析理論(MRA )統(tǒng)一了語音識別中的鏡像濾波、子帶編碼、圖像處理中的金字塔法等幾個無關(guān)的區(qū)域。 1988年Mallat提出的多分辨率分析理論統(tǒng)一了幾個非相關(guān)領(lǐng)域，包括語音識別的鏡像濾波、圖像處理的金字塔法、地震分析的短時間波形處理等。 一種分辨率檢測不到的現(xiàn)象，另一種分

2、辨率容易觀察處理。 例如，小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美組合。 數(shù)學(xué)上是大半世紀(jì)的“調(diào)和分析”的結(jié)晶(包括傅里葉分析、函數(shù)空間等)。 小波變換是20世紀(jì)最輝煌的科學(xué)成就之一。 計算機應(yīng)用、信號處理、圖像分析、非線性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等方面取得了重大突破，預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來。 “小波分析”是分析原始信號的各種變化的特性，將進(jìn)一步推進(jìn)數(shù)據(jù)壓縮、去噪、特征選擇等。 例如歌唱信號：高音還是低音，發(fā)音時間的長度，起伏，旋律等。 從平穩(wěn)的波形中發(fā)現(xiàn)了突變的峰值。 小波分析利用多個“小波基函數(shù)”來分解“原始信號”。 可以使用小波的時間和頻率特性、小波基準(zhǔn)，提取信號中的“指定時間

3、”和“指定頻率”的變化。 時間：提取信號中“指定時間”(時間a或時間b )的變化。 顧名思義，小波在某個時間發(fā)生的小變動。 頻率：提取信號中時間a的較慢變化被稱為低頻分量，而提取信號中時間b的較快變化被稱為高頻分量。 有助于分析時間a、時間b、和參考： M. Vetterli、“等待和輔助頻帶編碼”、“企業(yè)哈爾ptr、1995p .”時間發(fā)生的現(xiàn)象。 小波變換(傅立葉變換僅具有頻率分析的性質(zhì))的多分辨率變換使得在各分辨率的不同特征的提取(諸如，圖像壓縮、邊緣提取、噪聲濾波等)的小波變換比快速傅立葉變換快一大步。 當(dāng)信號長度為m時，F(xiàn)ourier變換(左)和小波變換(右)的校正復(fù)雜度分別如下：小

4、波基礎(chǔ)表示發(fā)生的時間和頻率，“時頻局部性”圖表示Fourier變換的基礎(chǔ)(上)和小波變換信號時頻分析的主要方法：反映傅立葉變換的缺點：傅立葉變換的缺點：傅立葉變換中提取信號的頻譜需要利用信號的全時域信息。 傅立葉變換不反映隨著時間的經(jīng)過信號頻率成分的變化。 傅立葉變換的積分作用使非定常信號的突變成分平滑化。 解決傅立葉變換的缺點的方法：傅立葉窗變換(Gabor變換):傅立葉窗變換的定義：假設(shè)f(t) L2(R )，則以g(t )為窗函數(shù)的傅立葉窗變換的定義：傅立葉窗變換的物理意義： 有效窗口寬度Dt越小，對信號的時間定位能力越強。窗傅立葉變換的頻域性質(zhì)：問題的提出：窗傅立葉變換WFg (，b)

5、=給出信號在時域中的處理信息，一個自然問題是窗傅立葉變換在頻域中是如何處理信號的f(t )的傅立葉變換為f ()，g，b(t )的傅立葉變換為g，b () 根據(jù)Parseval定理： WFg (，b)=/(2)窗傅里葉變換頻域上的具有物理意義的有效窗口寬度d越小，對信號的頻率定位能力越強。 窗傅立葉變換性能分析：提出問題：窗傅立葉變換具有較強的時間定位能力和較強的頻率定位能力，如何選擇窗函數(shù)，能夠提高窗傅立葉變換的性能？解決問題的思路：由于物理意義上Dt和d不一致，在定義Dt和d之后窗傅里葉變換的性能分析：具體分析過程：假設(shè)：定義：窗傅里葉變換的性能分析：修正Dt2D2:海森堡測量不正確原理，

6、窗傅里葉變換的性能分析：等號成立條件：結(jié)論：以窗傅里葉變換的時間分辨率和頻率分辨率高斯函數(shù)為窗函數(shù)是相對最有效的解決窗口傅立葉變換缺點的方法：提出問題：窗口傅立葉變換窗口不適應(yīng)，適于分析所有特征尺度基本相同的信號，不適于分析多尺度信號和突變過程。 解決方法：引入窗口變化機制的同時，求出各種窗口尺寸下的變換，使變換系數(shù)同時包含各種特征尺度下的信號信息。小波變換的分類：連續(xù)小波變換時間、控制窗口尺寸的殘奧儀表和時移殘奧儀表連續(xù)小波變換。 離散殘奧儀表的小波變換時間連續(xù)，控制窗口尺寸的殘奧儀表和時移殘奧儀表離散的小波變換。 離散小波變換是離散的小波變換，連同控制窗口尺寸的殘奧儀表、時間移位殘奧儀表。

7、連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：在假定信號f(t) L2(R )的情況下，該連續(xù)小波變換涉及以下物理意義：時域上的尺寸伸縮殘奧儀表、時間移位殘奧儀表、歸一化系數(shù)、連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換頻率領(lǐng)域上的意義： f(t )的傅立葉變換是f ()，a，b(t )的傅立葉變換是a，b ()，根據(jù)Parseval定理，連續(xù)小波變換： “恒定q性質(zhì)”: ()的中心為0，并且對于d a的有效寬度，b(t )提取出b at0-aDt/2、b at0 aDt/2|窗口中f(t )的性質(zhì)，并且從頻域提取出a、b ()的地點是0/窗口中f () 母子波示例：Mexico草帽小波：母子波示例：Morlet小波：連續(xù)

8、小波變換的逆變換：存在連續(xù)小波變換的逆變換的可能性：可以任意調(diào)整窗口寬度，以便在時域或頻域上存在連續(xù)小波變換以a、b(t )為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：假設(shè)f(t )、(t) L2(R ) :連續(xù)小波變換的逆變換：證明構(gòu)想：母小波的容許條件：根據(jù)逆變換式可知母小波的容許條件的離散殘奧儀表的小波變換時間連離散小波變換是離散的小波變換，連同控制窗口尺寸的殘奧儀表、時間移位殘奧儀表。尺度和時移殘奧計的離散化：問題的提出：連續(xù)小波變換包含許多多馀的佝僂信息，多馀的佝僂信息不利于信號的分析和處理。 連續(xù)小波變換的校正量也很大。 由于連續(xù)小波變換有冗馀的馀信息，所以即使使尺度和時移殘奧儀表離散化也有能

9、夠重構(gòu)信號的可能性。 尺度和時移殘奧儀表的離散化需要解決的問題：尺度和時移殘奧儀表如何離散化尺度和時移殘奧儀表離散化后，要重構(gòu)的信號對小波函數(shù)有什么要求，尺度和時移殘奧儀表的離散化： 尺度和時移殘奧計的離散化方法：尺度殘奧計的離散化： a=a0j，j Z (通常a0的值為2，稱為二進(jìn)制小波)時移殘奧計的離散化：依賴于尺度殘奧計b=ka0j，j，k Z的小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關(guān)在離散化殘奧儀表的采樣間隔小時，小波函數(shù)的限制也小，在離散化殘奧儀表的采樣間隔大時，小波函數(shù)的限制也大。尺度和時移殘奧計的離散化：重構(gòu)信號的小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件(幀理論): 對于任意f(t) L2(R )，將j、k稱為一個幀，如果有正殘奧計a和B(0 A B ) :分析小波的性質(zhì)：分