1、2020/8/4,1,2020/8/4,2,一、拉格朗日法 定義：是以流場中每一流體質(zhì)點作為描述對象的方法。質(zhì)點法,隨體法,第一節(jié) 流體運動的描述方法,空間坐標(biāo),（a,b,c）為t=t0時刻質(zhì)點所在的空間位置坐標(biāo)，稱為拉格朗日變量。,2020/8/4,3,將式對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得任意流體質(zhì)點的速度和加速度為：,2020/8/4,4,二、歐拉法 1、概念及表示方法 定義：以流體質(zhì)點流經(jīng)流場中各空間點的運動即以流場作為描述對象研究流動的方法。流場法 ，局部法,速度,（x,y,z,t）是歐拉變量,2020/8/4,5,x，y，z有雙重意義： （1）它代表流場的空間坐標(biāo)。 （2）它代表流體質(zhì)點

2、在空間的位移。根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個空間點上都有流體質(zhì)點所占據(jù)。而占據(jù)每一個空間點上的流體質(zhì)點都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標(biāo)x，y，z也是流體質(zhì)點位移的變量，它也是時間t的函數(shù)： x= x (t) y= y (t) z= z (t) 它也是流體質(zhì)點的運動軌跡方程,2020/8/4,6,將上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量 現(xiàn)在用歐拉法求流體質(zhì)點的加速度。由于加速度定義為在dt時刻內(nèi)，流體質(zhì)點流經(jīng)某空間點附近運動軌跡上一段微小距離時的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別將三個速度分量對時間取全導(dǎo)數(shù)，即可得流體質(zhì)點在某一時刻經(jīng)過某空間點時的三

3、個加速度分量,2020/8/4,7,用矢量 表示加速度，即 。根據(jù)矢量分析的點積公式 式中 是矢量微分算子。,2020/8/4,8,加速度組成 當(dāng)?shù)丶铀俣龋耗骋还潭c上流體質(zhì)點的速度變化率。 遷移加速度：某一瞬時流體質(zhì)點所在空間位置的變化所引起的速度變化率。 總加速度：當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度之和。,2020/8/4,9,中間有收縮形的變截面管道內(nèi)的流動,2020/8/4,10,流體質(zhì)點和空間點是兩個截然不同的概念，空間點指固定在流場中的一些點，流體質(zhì)點不斷流過空間點，空間點上的速度指流體質(zhì)點正好流過此空間點時的速度。 用歐拉法求流體質(zhì)點其他物理量的時間變化率也可以采用下式的形式，即 式中，括弧

4、內(nèi)可以代表描述流體運動的任一物理量，如密度、溫度、壓強(qiáng)，可以是標(biāo)量，也可以是矢量。 稱為全導(dǎo)數(shù)， 稱為當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)， 稱為遷移導(dǎo)數(shù)。,2020/8/4,11,歐拉法描述流體的流動的優(yōu)越性： 一是利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。 二是采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。 三是在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈?；谏鲜鋈c原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。當(dāng)然拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計算流體力學(xué)的某些問題中還是方便的。,2020/8/

5、4,12,第二節(jié) 流體運動的一些基本概念,一、流動的分類 （1）按照流體性質(zhì)分為理想流體的流動和粘性流體的流動，不可壓縮流體的流動和可壓縮流體的流動。 （2）按照運動狀態(tài)分為定常流動和非定常流動，有旋流動和無旋流動，層流流動和紊流流動，亞聲速流動和超聲速流動 （3）按照流動空間的坐標(biāo)變量數(shù)目分為一維流動，二維流動和三維流動,2020/8/4,13,一、定常流動和非定常流動 定常流動：流體的流動參數(shù)不隨時間而變化的流動。 非定常流動，流體的流動參數(shù)隨時間而變化的流動。,流體的出流,2020/8/4,14,定常流動的流場中，流體質(zhì)點的速度、壓強(qiáng)和密度等流動參數(shù)僅是空間點坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，而與時

6、間t無關(guān)，用表示任一流動參數(shù)（即可表示u，v，w，p，等），則 = (x，y，z),2020/8/4,15,由于是定常流動，故其流動參數(shù)對時間的偏導(dǎo)數(shù)等于零，即 因此，定常流動時流體加速度可簡化成 由式可知，在定常流動中只有遷移加速度。例如圖中，當(dāng)水箱的水位保持不變時，2點到3點流體質(zhì)點的速度減小，而4點到5點速度增加，都是由于截面變化而引起的遷移加速度。若遷移加速度為零，則為均勻流動，例如流體質(zhì)點在等截面管道中的流動(3點到4點)。,2020/8/4,16,二、一維、二維和三維流動 三維流動：流動參數(shù)是x、y、z三個坐標(biāo)的函數(shù)的流動。 二維流動：流動參數(shù)是x、y兩個坐標(biāo)的函數(shù)的流動。 一維流

7、動：是一個坐標(biāo)的函數(shù)的流動。,2020/8/4,17,管內(nèi)流動速度分布,2020/8/4,18,繞無限翼展的流動,2020/8/4,19,繞有限翼展的流動,2020/8/4,20,三、跡線與流線 跡線是流體質(zhì)點的運動軌跡。跡線是流體運動的一種幾何表示，可以用它來直觀形象地分析流體的運動，清楚地看出質(zhì)點的運動情況。 跡線的研究是屬于拉格朗日法的內(nèi)容，跡線表示同一流體質(zhì)點在不同時刻所形成的曲線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 跡線微分方程,2020/8/4,21,流線是某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點的速度方向都與該曲線相切。,流線可以形象地給出流場的流動狀態(tài)。通過流線，可以清楚地看出某

8、時刻流場中各點的速度方向，由流線的密集程度，也可以判定出速度的大小。 流線的引入是歐拉法的研究特點。,2020/8/4,22,1、流線的基本特性 (1)在定常流動時，通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。 (2)通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點上流體質(zhì)點將同時有幾個不同的流動方向。只有在流場中速度為零或無窮大的那些點，流線可以相交，這是因為，在這些點上不會出現(xiàn)在同一點上存在不同流動方向的問題。 (3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。 (4)流線密集的地

9、方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。,2020/8/4,23,2、流線微分方程 現(xiàn)由矢量分析法導(dǎo)出流線微分方程。設(shè)在某一空間點上流體質(zhì)點的速度矢量 ，通過該點流線上的微元線段 。由流線的定義知，空間點上流體質(zhì)點的速度與流線相切。即 上式又可寫成dx/u(x,y,z,t)=dy/v(x,y,z,t)=dz/w(x,y,z,t) 流線的微分方程,2020/8/4,24,四、流管、流束、總流 流管：在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱為流管。因為流管是由流線構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出(由

10、于流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內(nèi)流動。 流束：流管內(nèi)部的流體。當(dāng)流束的橫截面積趨近于零時，則流束達(dá)到它的極限流線。,2020/8/4,25,有效截面：在流束中與各流線相垂直的橫截面。流線相互平行時，有效截面是平面。流線不平行時，有效截面是曲面。 微元流束和微元流管：有效截面面積為無限小的流束和流管。在每一個微元流束的有效截面上，各點的速度可認(rèn)為是相同的。 總流：無數(shù)微元流束的總和。,2020/8/4,26,緩（漸）變流：流線之間的夾角很小，流線曲率半徑很大的近乎平行直線的流動。緩（漸）變流的有效截面可看作平面，但是緩（漸）變流各個過水?dāng)嗝娴男螤詈痛笮∈茄爻讨饾u改變的，各

11、個過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D形也是沿程逐漸改變的。 急變流：不符合上述條件的流動。,2020/8/4,27,急變流,緩變流,緩變流,緩變流,緩變流,緩變流,急變流,急變流,急變流,急變流,緩變流和急變流,2020/8/4,28,五、流量和平均流速 流量：單位時間流經(jīng)某一規(guī)定表面的流體量。 體積流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體體積，以qv表示。其單位為m3/s、m3/h等。 質(zhì)量流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體質(zhì)量,以qm表示，其單位為kg/s、t/h等。 由于微元流束有效截面上各點的流速V是相等的，所以通過微元流束有效截面的體積流量dqv和質(zhì)量流量dqm分別為： dqv=VdA dqm=VdA

12、,2020/8/4,29,通過流管中有效截面面積為A的流體體積流量和質(zhì)量流量分別積分求得，即 在工程計算中為了方便起見，引入平均流速的概念。平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。,2020/8/4,30,六 濕周 水力半徑 在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度稱為濕周，用符號表示。 總流的有效截面面積與濕周之比稱為水力半徑，用符號Rh表示，即,2020/8/4,31,七、系統(tǒng) 控制體 輸運公式,1、系統(tǒng)：包含確定不變的物質(zhì)的任何集合。系統(tǒng)以外的一切稱為外界。 邊界的性質(zhì)： 邊界

13、隨流體一起運動； 邊界面的形狀和大小可隨時間變化； 系統(tǒng)是封閉的，沒有質(zhì)量交換，可以有能量交換； 邊界上受到外界作用在系統(tǒng)上的表面力；,2020/8/4,32,2、控制體：被流體所流過的，相對于某個坐標(biāo)系來講，固定不變的任何體積。 控制面的性質(zhì)： 總是封閉表面； 相對于坐標(biāo)系是固定的； 在控制面上可以有質(zhì)量、能量交換； 在控制面上受到控制體以外物體加在控制體內(nèi)物體上的力；,2020/8/4,33,3 輸運公式,為了將物理學(xué)定律和定理用于流體力學(xué)，必須建立系統(tǒng)的物理量隨時間的變化率與控制體內(nèi)這種物理量隨時間的變化率和經(jīng)過控制面的凈通量之間的關(guān)系。,2020/8/4,34,流場中的系統(tǒng)與控制體流體

14、系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的輸運公式：,2020/8/4,35,輸運公式物理意義：,流體系統(tǒng)某種物理量的時間變化率等于控制體內(nèi)這種物理量的時間變化率加上這種物理量單位時間經(jīng)過控制面的凈通量。 也即：流體系統(tǒng)某種物理量的隨體導(dǎo)數(shù)由 （1）當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)：等于控制體內(nèi)這種物理量的時間變化 （2）遷移導(dǎo)數(shù)：等于經(jīng)過控制面單位時間流出和流進(jìn)的這種物理量的差值。,2020/8/4,36,定常流動時，輸運公式為意義：在定常流動條件下，整個系統(tǒng)內(nèi)部的流體所具有的某種物理量的變化率只與通過控制面的流動有關(guān)。,2020/8/4,37,第三節(jié) 連續(xù)方程,連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。 研究流體經(jīng)過流場中某一任意指

15、定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)方程表示，稱為連續(xù)性方程。,2020/8/4,38,連續(xù)方程的推導(dǎo)由于流體系統(tǒng)的總質(zhì)量不會隨時間變化， 積分形式的連續(xù)方程意義：單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加（減少）等于同時間內(nèi)通過控制面流入（流出）的凈流體質(zhì)量。,2020/8/4,39,定常流動的連續(xù)方程 意義：在定常流動條件下，通過控制面的流體質(zhì)量通量等于0,2020/8/4,40,管道內(nèi)定常流

16、動的連續(xù)方程,取控制體為包含管壁與任意兩個有效截面構(gòu)成的流管，由于沒有流體流過壁面，有 如果截面上的密度可近似為常量，則有 意義：定常流動中，通過流管的任意有效截面的質(zhì)量流量是常量 如果流體密度為常數(shù)，則有 意義：不可壓縮流體的體積流量是常數(shù),2020/8/4,41,第四節(jié) 動量方程 動量矩方程流體系統(tǒng)動量的隨體導(dǎo)數(shù)為由動量定理，流體系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力的矢量和，有積分形式的動量方程為：,2020/8/4,42,定常流動的動量方程意義：在定常流動條件下，控制體內(nèi)質(zhì)量力的主矢量與控制面上表面力的主矢量之和應(yīng)等于單位時間內(nèi)通過控制體表面的流體動量的主矢量，與控制體內(nèi)部的流動狀

17、態(tài)無關(guān)。,2020/8/4,43,動量矩方程流體系統(tǒng)動量矩的隨體導(dǎo)數(shù)為由動量矩定理，流體系統(tǒng)動量矩的時間變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力矩的矢量和，有積分形式的動量矩方程為：,2020/8/4,44,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的動量方程與動量矩方程假設(shè)坐標(biāo)系繞鉛直軸線以等角速度旋轉(zhuǎn)，根據(jù)相對運動理論，運動質(zhì)點的絕對加速度是相對加速度牽連加速度和哥式加速度的矢量和。在慣性坐標(biāo)系中，系統(tǒng)動量的時間變化率為絕對加速度可以寫成將上述兩式代入動量方程，得：,2020/8/4,45,定常管流的動量方程經(jīng)過截面A流體的動量值與以平均速度計算的動量值的關(guān)系為定常管流動量方程的分量形式為特點：在計算過程中只涉及管道中某兩個截面上

18、的流動參數(shù)而不必考慮控制體內(nèi)部的流動狀態(tài)。可用于控制體內(nèi)存在參數(shù)間斷面的情況。,2020/8/4,46,例4-1：圖4-11中葉片以勻速ve沿x方向運動。截面積為A0的一股水流沿葉片切線方向射入葉片，并沿葉片流動，最后從葉片出口處流出。設(shè)水流經(jīng)過葉片時截面積不變，因而流速的大小不變（等于vr）只是方向改變。已知A0=0.001m2，v0=120，ve=60m/s，出口速度方向與水平線夾角為10。求水流對葉片的反作用力以及對葉片所做的功率,2020/8/4,47,第五節(jié) 能量方程 流體系統(tǒng)能量的隨體導(dǎo)數(shù)為由能量守恒和轉(zhuǎn)換定理，流體系統(tǒng)能量的時間變化率等于單位時間質(zhì)量力和表面力對系統(tǒng)做的功加上單位

19、時間外界與系統(tǒng)交換的熱量。有積分形式的能量方程為：,2020/8/4,48,對于比熱容不變的完全氣體，其積分形式的能量方程為不考慮與外界的熱交換，質(zhì)量力僅有重力時，可將重力做功項作為單位質(zhì)量流體的位勢能包含在單位質(zhì)量流體的能量項中，此時在重力作用下絕能流的積分形式的能量方程為對于管道內(nèi)的流動，有定常流動時有重力場中管內(nèi)絕能定常流積分形式能量方程,2020/8/4,49,第六節(jié) 伯努利方程及其應(yīng)用,一、不可壓理想流體一維定常流動的能量方程 理想流體的切向應(yīng)力等于零。如取微元流管為控制體，再結(jié)合連續(xù)方程，則有 微元管流即流線，上式沿流線成立。,2020/8/4,50,不可壓理想流體在與外界無熱交換

20、的條件下，流體的熱力學(xué)能等于常數(shù)，故有： 方程物理意義：不可壓流體在重力場中作定常運動時，沿流線單位質(zhì)量流體的動能、位勢能和壓強(qiáng)勢能之和是常數(shù)。 伯努利方程應(yīng)用條件： （1）用于一條流線上的不同的點 （2）用于不可壓流體在重力場中作定常運動,伯努利方程,2020/8/4,51,對于單位重量流體，伯努利方程可寫成 第一項V2/(2g)它表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。 第二項z表示單位重量流體的位置水頭， 第三項p/(g)與前兩項一樣也具有長度的量綱，表示單位重量流體的壓強(qiáng)水頭 。位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和稱為總水頭H。

21、因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線(或微元流束)上各點的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一平行于基準(zhǔn)線的水平線。,2020/8/4,52,總水頭線和靜水頭線,2020/8/4,53,二、 伯努利（Bernoulli）方程的應(yīng)用,理想流體微元流束的伯努利方程，在工程中廣泛應(yīng)用于管道中流體的流速、流量的測量和計算。 一、皮托管 在工程實際中，常常需要來測量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測量管道中流體的速度，可采用皮托管來進(jìn)行。,2020/8/4,54,V,B,A,Z,Z,皮

22、托管測速原理,2020/8/4,55,在液體管道的某一截面處裝有一個測壓管和一根兩端 開口彎成直角的玻璃管。將測速管的一端正對著來流方向，另一端垂直向上，這時測速管中上升的液柱比測壓管內(nèi)的液柱高h(yuǎn)。這是由于當(dāng)液流流到測速管入口前的A點處，液流受到阻擋，流速變?yōu)榱?，則在測速管入口形成一個駐點A。駐點A的壓強(qiáng)PA稱為總壓，在入口前同一水平流線未受擾動處（例如B點）的液體壓強(qiáng)為 PB，速度為V。應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的、兩點，則有,2020/8/4,56,只要測量出流體的運動總壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速比用式計算出的要小，

23、因此，實際流速為 式中 流速修正系數(shù)，一般由實驗確定， =0.97。 如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個形差壓計上，從差壓計上的液面差來求得流速，則 則得,2020/8/4,57,用皮托管和靜壓管測量氣體流速,2020/8/4,58,考慮到實際情況， 在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托靜壓管，又稱動壓管，習(xí)慣上常簡稱它為皮托管，其示意圖如圖所示。圖中1點為總壓測點，2點為靜壓測點，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計的兩端，則差壓計的指示為總壓和靜壓的差值，從而可由式求得測點的流速。,2020/8/4,59,皮托-靜壓管構(gòu)造及連接

24、方式,2020/8/4,60,二、文丘里(Venturi)流量計 文丘里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴(kuò)散段三部分組成。它是利用收縮段，造成一定的壓強(qiáng)差，在收縮段前和喉部用形管差壓計測量出壓強(qiáng)差，從而求出管道中流體的體積流量。 以文丘里管的水平軸線所在水平面作為基準(zhǔn)面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 由一維流動連續(xù)性方程,2020/8/4,61,文丘里流量計原理圖,2020/8/4,62,整理得 由流體靜力學(xué) 則 若液， ，A2，A1已知，只要測量出h液，就可以確定流體的速度。流量為：,2020/8/4,63,考慮到實際情況 文丘里流量計是節(jié)流裝置中的一種，除此之

25、外還有孔板，噴嘴等，其基本原理與文丘里流量計基本相同。,2020/8/4,64,三、伯努利方程應(yīng)用時特別注意的幾個問題 伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動的流速(或流量)和壓強(qiáng)的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應(yīng)注意下面幾點： (1) 弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學(xué)問題。 (2) 選好有效截面，選擇合適的有效截面，應(yīng)包括問題中所求的參數(shù)，同時使已知參數(shù)盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面。,2020/8/4,65,(3) 選好基準(zhǔn)面，基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置，但選擇得當(dāng)，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的