1、貫穿高中數(shù)學(xué)的一條重要線索函數(shù)，北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，敦吉安電話： 66025001 E-MAIL:活動(dòng)1:標(biāo)準(zhǔn)與大綱的函數(shù)內(nèi)容比較，(1)比較內(nèi)容：函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(數(shù)學(xué)1:函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、數(shù)學(xué)4:三角函數(shù))課程標(biāo)準(zhǔn)與大綱的比較(函數(shù)概念部分、函數(shù)應(yīng)用部分、三角函數(shù)部分)， 活動(dòng)1:標(biāo)準(zhǔn)與大綱中功能部分的比較，(2)活動(dòng)內(nèi)容：通過(guò)以上比較，你發(fā)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)功能的要求有哪些特點(diǎn)？ 你對(duì)這些特征最有感覺(jué)和懷疑的是什么？你的基礎(chǔ)是什么？例子?；顒?dòng)形式：獨(dú)立思考和小組交流，小組討論，每個(gè)小組由召集人組織，對(duì)討論的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)和記錄。時(shí)間：10分鐘，活動(dòng)1:比

2、較標(biāo)準(zhǔn)和大綱中函數(shù)部分的內(nèi)容，(3)函數(shù)的集中觀點(diǎn)、目錄和課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)要求有什么特點(diǎn)？為什么課程標(biāo)準(zhǔn)提出了這個(gè)要求？教學(xué)建議需要研究。首先，課程標(biāo)準(zhǔn)中功能性教學(xué)要求的特點(diǎn)，即注重概念形成階段的例題功能，是描述爭(zhēng)論之間依存關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。通過(guò)具體的例子，我們可以了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，直觀地了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所描述的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，并在使用對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)實(shí)現(xiàn)一種重要的函數(shù)模型。三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。1.課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)教學(xué)要求的特點(diǎn)的應(yīng)用，應(yīng)用的取向不僅包括形成函數(shù)概念的思想在分析實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，還包括函數(shù)在數(shù)學(xué)知識(shí)其他部分的應(yīng)用。大綱教材：函數(shù)應(yīng)用實(shí)例

3、(第1節(jié)):包括興趣問(wèn)題、壓力問(wèn)題、體重與身高的關(guān)系)課程標(biāo)準(zhǔn)教材：函數(shù)應(yīng)用(第1章)1函數(shù)和方程利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷方程解的存在性；用二分法求方程2的近似解。實(shí)際問(wèn)題的功能建模；用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題；功能建模案例：1 .課程標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)教學(xué)要求的特點(diǎn)，在函數(shù)自身性質(zhì)的研究中，強(qiáng)化單調(diào)性要求，降低奇偶性要求，淡化定義域和值域的計(jì)算大綱：理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的方法。課程標(biāo)準(zhǔn)：通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)，尤其是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值(最小值)。通過(guò)結(jié)合特定的函數(shù)來(lái)理解奇偶性的含義；課程標(biāo)準(zhǔn)增加了一些關(guān)于函數(shù)教學(xué)要求特點(diǎn)的新知識(shí)：分段函數(shù)；二分法；冪函數(shù)：首先，課程

4、標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)教學(xué)要求的特點(diǎn)強(qiáng)化了數(shù)學(xué)文化中函數(shù)的要求。大綱實(shí)習(xí)作業(yè)：函數(shù)的應(yīng)用是實(shí)習(xí)作業(yè)的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。課程標(biāo)準(zhǔn)的練習(xí)作業(yè)：根據(jù)某一主題，收集一些歷史事件和人物(開(kāi)普勒、伽利略、笛卡爾、牛頓、萊布尼茨、歐拉等)。)在數(shù)學(xué)發(fā)展中起重要作用或在現(xiàn)實(shí)生活中起作用的例子，并通過(guò)小組合作寫一篇關(guān)于函數(shù)概念的形成、發(fā)展或應(yīng)用的文章，并在課堂上進(jìn)行交流。2.為什么課程標(biāo)準(zhǔn)在功能上有這個(gè)特點(diǎn)？函數(shù)概念的本質(zhì)是什么？函數(shù)方法的含義是什么？函數(shù)的概念是如何發(fā)展的？它與制圖有什么關(guān)系？中學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況如何？本文從一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，討論了函數(shù)概念的本質(zhì)和函數(shù)方法的意義。缺點(diǎn)問(wèn)一問(wèn)每份工作甲和

5、乙招聘多少人，這可以使月薪最低。方案一：根據(jù)甲-600元/人，乙-1000元/人，可以得出結(jié)論，乙類工人越少越好，但必須滿足標(biāo)題中的條件“乙的人數(shù)不少于甲人數(shù)的兩倍”，“不少于”的意思是“大于或等于”，即等于乙人數(shù)的2倍是最少的。 所以甲類人員的價(jià)值范圍計(jì)算為150倍=2倍=解決方案2:讓甲類招聘的工人為X，總工資Z為Y，那么Y是X的函數(shù)：600 x1000(150 x)，即150000400 x 150 x2x。 解是x50函數(shù)的減法函數(shù)，所以當(dāng)使用x50時(shí)，Y取最小值。函數(shù)方法提供了一種語(yǔ)言來(lái)清晰地表達(dá)問(wèn)題的邏輯關(guān)系。函數(shù)的本質(zhì)是變量之間的依賴和對(duì)應(yīng)。只有抓住這一本質(zhì)，才能應(yīng)用這一功能。研

6、究函數(shù)的目的是通過(guò)另一個(gè)變量的變化來(lái)觀察或掌握另一個(gè)變量的變化，所以單調(diào)性是核心。奇偶性(對(duì)稱性)本身是一種幾何性質(zhì)，這為單調(diào)性的研究提供了便利，但它不能優(yōu)先于其他性質(zhì)。具體問(wèn)題的定義域和值域往往是自然的，這更注重學(xué)生的計(jì)算技能，而與他們對(duì)函數(shù)的理解無(wú)關(guān)。該函數(shù)為求解其他數(shù)學(xué)內(nèi)容提供了一種新的思路。利用該函數(shù)，可以系統(tǒng)地研究方程的近似解。應(yīng)用該函數(shù)的關(guān)鍵是什么？抄襲費(fèi)的故事功能與高中數(shù)學(xué)其他部分的關(guān)系，為什么抄襲費(fèi)如此受重視？A4紙的價(jià)格是10美分，B4紙是3美分，B4紙是A4紙的兩倍?！叭绻矣脙蓚€(gè)a4，也就是20美分，你還是有麻煩。”“你可以用兩個(gè)a4。”。我當(dāng)然選擇了A4紙。直觀地說(shuō)，復(fù)

7、印成本應(yīng)該是紙張尺寸的正比函數(shù)，復(fù)印單價(jià)也應(yīng)該是成本的線性函數(shù)。但是復(fù)印店為什么要麻煩討好呢？問(wèn)了幾個(gè)服務(wù)員后，一個(gè)年輕人終于明白了復(fù)印的成本主要是墨水的量，墨水的用量主要取決于里面的刷子的轉(zhuǎn)數(shù)。如果打印A4紙，里面的刷子轉(zhuǎn)半圈，但是B4紙轉(zhuǎn)三圈，所以價(jià)格也是三倍。函數(shù)與其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)系、計(jì)算方法：找出解決問(wèn)題的步驟在于掌握和表達(dá)規(guī)律，具體實(shí)施的關(guān)鍵在于變量的選擇和函數(shù)關(guān)系的確定。信息安全與密碼：加解密的過(guò)程是函數(shù)運(yùn)算，公鑰的核心是單一函數(shù)的構(gòu)造；歐拉公式和閉曲面分類：幾何圖形按變換分類，變換是映射和函數(shù)；矩陣與變換：矩陣可以看作一個(gè)函數(shù)，函數(shù)的域是一個(gè)平面點(diǎn)集；序列與差異：用離散方法研

8、究函數(shù)；坐標(biāo)系和參數(shù)方程：函數(shù)的另一種表達(dá)；開(kāi)關(guān)電路和布爾代數(shù)：任何電路都可以用布爾函數(shù)來(lái)表示，布爾函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)。設(shè)計(jì)一種算法來(lái)輸出所有可被和整除的正整數(shù)。教育研究的函數(shù)與因果分析，學(xué)生調(diào)查的影響內(nèi)容：一元線性方程，代數(shù)運(yùn)算，一元線性方程，一元線性方程，二元線性方程和一元線性不等式，代數(shù)表達(dá)式運(yùn)算，函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程是什么？它與制圖有什么關(guān)系？函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程的縮影：積累數(shù)據(jù)，整理和整理積累的數(shù)據(jù)，反思感性理性、感性理性，事實(shí)上，函數(shù)概念是在微積分的發(fā)展中逐步完善和獲得的，映射形式的函數(shù)概念定義實(shí)際上是集合論發(fā)展后用集合論語(yǔ)言重新描述函數(shù)概念的結(jié)果。事實(shí)上，整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史大

9、致上是一個(gè)先積累數(shù)據(jù)，然后整理數(shù)據(jù)，再積累數(shù)據(jù)，然后整理數(shù)據(jù)的迭代過(guò)程。(弗雷德登塔爾):“數(shù)學(xué)家和教科書(shū)的作者不是根據(jù)他創(chuàng)造數(shù)學(xué)的思維過(guò)程來(lái)描述他的成就的，而是相反，他們把思維過(guò)程顛倒過(guò)來(lái)，并把結(jié)果作為推論其他事物的起點(diǎn)”中學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)狀況如何？學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像和函數(shù)概念的理解北京郊區(qū)一所普通農(nóng)村中學(xué)在函數(shù)單元教學(xué)前做了一份學(xué)生問(wèn)卷，事實(shí)上基本涵蓋了函數(shù)單元中的所有基本問(wèn)題：求解析函數(shù)、求函數(shù)值、待定系數(shù)法確定解析函數(shù)、看圖像和按求表法確定函數(shù)。在第一堂課的函數(shù)概念教學(xué)中，教師通過(guò)分析問(wèn)卷中的問(wèn)題和身邊的例子，自然而然地獲得了函數(shù)的概念。我以為學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念，但沒(méi)想

10、到在第二堂課上問(wèn)：函數(shù)關(guān)系能用形象法表達(dá)嗎？除了十幾個(gè)學(xué)生回答是，大多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出沉默和猶豫。面試者：Xi海濤和趙珈琪面試過(guò)程：老師：從圖片中你能看到什么？座位：水位隨時(shí)間變化。趙：從22日到26日，水位一直在上升，26日最高，26日到27日水位下降。Xi補(bǔ)充道：24日達(dá)到了警戒水位。老師：那么水位是時(shí)間的函數(shù)嗎？趙回答說(shuō)：水位是時(shí)間的函數(shù)。Xi補(bǔ)充道：因?yàn)樵?jīng)有一個(gè)水位。老師：這個(gè)圖像能代表一個(gè)功能嗎？趙和異口同聲地說(shuō)：不！老師：既然你可以從圖片上看出水位是時(shí)間的函數(shù)，為什么它不能表達(dá)函數(shù)關(guān)系呢？Xi回答說(shuō)：從圖中可以看出，水位是時(shí)間的函數(shù)，但它的解析公式無(wú)法寫出，所以它不是函數(shù)。我說(shuō)過(guò)函數(shù)

11、有三種表達(dá)方式(解析法、列表法和圖解法)，有些函數(shù)可以用三種方式表達(dá)，有些只能用一種方式表達(dá)。如股市圖和溫度圖，只能用圖解法表示。和趙想了一會(huì)兒，說(shuō)：只要符合函數(shù)定義的關(guān)系，就都是函數(shù)。北京某示范高中一年級(jí)高中生對(duì)函數(shù)的理解(1)。老師：每個(gè)學(xué)生的人數(shù)和成績(jī)之間有函數(shù)關(guān)系嗎？健康：不！健康：變量在哪里？健康：沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系！健康：沒(méi)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，但是兩個(gè)變量有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，第一個(gè)x，第二個(gè)y，x和y的每個(gè)值對(duì)應(yīng)一個(gè)值，并且與它有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以不可能寫出y等于什么。幾天后，老師告訴我另一個(gè)學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的疑問(wèn)。學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的理解，北京郊區(qū)一個(gè)縣的初中生：?jiǎn)栴}：小明從甲到乙的速度是每小時(shí)2公

12、里，距離是6公里。小明與A的距離設(shè)為Y，時(shí)間設(shè)為x。請(qǐng)寫出Y和x的函數(shù)關(guān)系。健康(思考，不要?jiǎng)?:如何解決距離為Y或6的問(wèn)題？繪圖：y62x，繪圖7點(diǎn)，老師連接一條線段。Yx2圖像：繪制散亂點(diǎn)后認(rèn)為完成；也有學(xué)生連接一條直線；一些學(xué)生在追蹤分散的點(diǎn)后使用直線。學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的理解，北京某示范高中的高中生觀察1:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像ylog 3學(xué)生1:寫3y=x；心算和描點(diǎn)(3，1)和(9，2)，坐標(biāo)系太短，延伸，然后停止。問(wèn)：你想考慮一些特殊點(diǎn)嗎，比如和X軸的交點(diǎn)？是的。尋找與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，我經(jīng)歷了一些挫折，終于找到了。畫出要點(diǎn)。我以為我已經(jīng)說(shuō)完了，我又問(wèn)他：X軸下有沒(méi)有點(diǎn)？你應(yīng)該標(biāo)準(zhǔn)化。列個(gè)清單。

13、觀察學(xué)生2:畫一個(gè)坐標(biāo)系，不要進(jìn)步。學(xué)生3:讀一本書(shū)，根據(jù)反函數(shù)法做一個(gè)圖像。然而，她不明白為什么對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。她問(wèn)我，我讓她先為自己考慮。后來(lái)，鄭老師就把注意力集中在這上面。我不知道她是否理解。更高：正切函數(shù)的圖像取點(diǎn)：0，/2，3/2，如何改變它？學(xué)生是2: /4，/4，0。老師非常焦慮。讓我們直接演示一下。到目前為止，我甚至不能做三角函數(shù)圖像，但是我的導(dǎo)師教我的。初中教研人員的自責(zé)：為什么高中生不能晚起？高中是一種功能，理解這種功能不是通過(guò)技能訓(xùn)練來(lái)實(shí)現(xiàn)的！需要考慮技能訓(xùn)練和思維訓(xùn)練的切入點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)。你不能只是列舉，畫點(diǎn)和連接線。你真正通過(guò)技能得到了什么？通過(guò)技能訓(xùn)練從感性

14、到理性，在高中學(xué)習(xí)并不難。思維訓(xùn)練沒(méi)有到位，只是在技能層面。7點(diǎn)以后，直接連接造成了以后的麻煩。研究結(jié)論，“你不能寫出它的解析公式，所以它不是一個(gè)函數(shù)?！边@是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。在數(shù)學(xué)方面，學(xué)生認(rèn)為“公式”和“數(shù)字”更現(xiàn)實(shí)?！拔也幻靼滓粋€(gè)公式怎么會(huì)變成一條直線?！睂?duì)于初中生和高中生來(lái)說(shuō)，畫畫是如此困難。原因似乎是一樣的：我不知道如何把一個(gè)解析公式變成圖像。結(jié)論(2)理解函數(shù)的概念需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程和漸進(jìn)的過(guò)程，但這并不意味著我們什么都不做：學(xué)習(xí)函數(shù)的重要目的之一是幫助學(xué)生形成一種不斷變化的思考世界的方式；以及如何分析復(fù)雜變化中變化的根源，即找出自變量、因變量及其依賴關(guān)系。繪畫是一種技能，但如果技

15、能的形成離開(kāi)了思維的發(fā)展，其生命力是脆弱的，所以我們應(yīng)該關(guān)注學(xué)生繪畫過(guò)程的發(fā)展，挖掘繪畫的思維價(jià)值。第三，我們應(yīng)該如何教新課程？活動(dòng)2:你認(rèn)為新課程功能教學(xué)的最大挑戰(zhàn)是什么？挖掘數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用本身的教育價(jià)值觀念的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。數(shù)學(xué)洞察力：從數(shù)學(xué)角度審視大量不同背景的問(wèn)題，掌握問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)概括和表達(dá)能力得到引導(dǎo)。學(xué)生被引導(dǎo)用簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)他們的(感性的)知識(shí)，這樣他們的活動(dòng)就可以從一個(gè)層次應(yīng)用到另一個(gè)層次。知識(shí)形成中的知識(shí)結(jié)論和方法都應(yīng)該使用。測(cè)試學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的掌握程度并將其應(yīng)用于實(shí)踐的意義在于，讓學(xué)生明白他們所學(xué)的是他們生活中一些現(xiàn)象的抽象和升華，一些基本概念就

16、在他的周圍，從而為數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種親切的情感體驗(yàn)。從知識(shí)深度的角度理解數(shù)學(xué)文化的價(jià)值理解重要的數(shù)學(xué)概念在其產(chǎn)生過(guò)程中對(duì)人類的行為、思想、態(tài)度和精神有影響。許多問(wèn)題原本屬于人類知識(shí)的不同領(lǐng)域，需要各個(gè)領(lǐng)域的專家來(lái)研究。然而，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，它們具有相同的結(jié)構(gòu)。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可以揭示世界的和諧，這就是數(shù)學(xué)的魅力！羅素說(shuō)：數(shù)學(xué)不僅有這里，還有美，一種冷酷而嚴(yán)肅的美。在教學(xué)中，要弄清各種不同性質(zhì)的問(wèn)題，從而確定不同的解決策略。在學(xué)生需要幫助的地方，花時(shí)間有效地幫助他們。如何幫助學(xué)生在形成技能的過(guò)程中發(fā)展思維，以識(shí)別功能概念。在學(xué)習(xí)了基本概念和方法后，如何靈活運(yùn)用這些知識(shí)需要問(wèn)題解決策略的支持。教育需要期

17、待和等待。4.教學(xué)設(shè)計(jì)注重三維目標(biāo)，教學(xué)過(guò)程是從現(xiàn)有概念到科學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程；科學(xué)概念的發(fā)展必然意味著科學(xué)思維方法的發(fā)展。隨著科學(xué)概念和方法的形成，形成了正式的科學(xué)態(tài)度、科學(xué)概念和科學(xué)精神。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)和技能目標(biāo)：通過(guò)探索我們將要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及如何學(xué)習(xí)這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，我們將進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)的概念，理解兩個(gè)互等函數(shù)的圖像及其性質(zhì)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，我們將理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)畫出它們，并根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的域確定復(fù)合函數(shù)的域。方法：通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究過(guò)程，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的繪制過(guò)程，可以進(jìn)一步理解反函數(shù)的思想，通過(guò)尋找反映對(duì)數(shù)函數(shù)趨勢(shì)的最小點(diǎn)的繪制過(guò)程，可以理解最小點(diǎn)存在于對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的把握中，感受數(shù)形結(jié)合方法的深刻內(nèi)涵。情感、態(tài)度、價(jià)值觀和態(tài)度