1、動(dòng)態(tài)問(wèn)題 所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng) 的一類開放性題目.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題. 關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想 1、如圖 1，梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點(diǎn) P 從 A 開 始沿 AD 邊以 1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q 從 C 開始沿 CB 向點(diǎn) B 以 2 cm/秒的速度移動(dòng)，如果P， Q 分別從 A，C 同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t 秒。 （1）當(dāng) t=時(shí)，四邊形是平行四邊形； （2）當(dāng) t=時(shí)，四邊形是等腰梯形.

2、 2、如圖 2，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，點(diǎn) M 在邊 DC 上，且 DM=1，N 為對(duì)角線 AC 上任意一 點(diǎn)，則 DN+MN 的最小值為 ，B 60 ，BC 2點(diǎn)O是 AC 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O3、如圖，在RtABC中，ACB 90 的直線l從與 AC 重合的位置開始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交 AB 邊于 點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)C作CEAB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為 A （1）當(dāng) 度時(shí)，四邊形 EDBC 是等腰梯形，此時(shí) AD 的 長(zhǎng)為； （2）當(dāng) 度時(shí)，四邊形 EDBC 是直角梯形，此時(shí) AD 的 長(zhǎng)為； O AB （備用圖） E O l C D C B 4、在ABC 中，ACB=90，AC=B

3、C，直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 M E. M C C M D C D E N E A B B A D E B AN 圖 3 N 圖 2 圖 1 (1)當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖 1 的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=ADBE； (2)當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖 2 的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE； (3)當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置時(shí)，試問(wèn) DE、AD、BE 具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出 這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明. 5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中 點(diǎn)AEF 90，且EF交正方形外角D

4、CG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF 經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證 o AMEECF，所以AE EF 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： （1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外） 的任意一點(diǎn)” ，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果 正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）小華提出：如圖 3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變， 結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，

5、請(qǐng)說(shuō)明理由 F D A D AD A F F B ECG B BC EG ECG 圖 2 圖 3 圖 1 6、 如圖, 射線 MB 上,MB=9,A 是射線 MB 外一點(diǎn),AB=5 且 A 到射線 MB 的距離為 3,動(dòng)點(diǎn) P 從 M 沿射線 MB 方向以 1 個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，設(shè) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t. 求（1） PAB為等腰三角形的 t 值； （2） PAB為直角三角形的 t 值； （3） 若 AB=5 且ABM=45 ，其他條件不變，直接寫出 PAB為直角三角形的 t 值 7、如圖 1，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，E是 AB的中點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)E 作 EFBC 交CD于 點(diǎn)F AB

6、4，BC6 ，B 60.求： （1）求點(diǎn)E到 BC 的距離； （2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM EF交 BC 于點(diǎn)M，過(guò)M作 MNAB 交 折線 ADC 于點(diǎn) N ，連結(jié) PN ，設(shè) EP x . 當(dāng)點(diǎn) N 在線段 AD上時(shí)（如圖 2） ，PMN 的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的 周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由； 當(dāng)點(diǎn) N 在線段 DC 上時(shí)（如圖3） ，是否存在點(diǎn)P，使PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求 出所有滿足要求的 x 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 A E B 圖 1 A E B 圖 4 （備用） D F C B 圖 5 （備用） D F CB A E P N D F C B

7、 圖 2 D F C A E P D N F C M M 圖 3 （第 25 題）A E 8、如圖，已知ABC中， AB AC 10厘米，BC 8厘米，點(diǎn)D 為 AB 的中點(diǎn) (1）如果點(diǎn) P 在線段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 點(diǎn)向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 在線段 CA 上由 C 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1 秒后，BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō) 明理由； 若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等， 當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)， 能夠使BPD與 CQP 全等？ （2）若點(diǎn) Q 以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C 出發(fā)，點(diǎn) P 以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從

8、點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí) 針沿ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P 與點(diǎn) Q 第一次在ABC的哪條邊上相遇？ A Q P B C D 9、如圖所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 為正三角形，點(diǎn) E、F 分別在菱 形的邊 BCCD 上滑動(dòng)，且 E、F 不與 BCD 重合 （1）證明不論 E、F 在 BCCD 上如何滑動(dòng)，總有BE=CF； （2）當(dāng)點(diǎn) E、F 在 BCCD 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF 和CEF 的面積是否發(fā)生變化？ 如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?10、如圖，在 AOB 中， AOB=90，OA=OB=6，C 為 OB 上一點(diǎn)，

9、射線CDOB 交 AB 于點(diǎn) D，OC=2點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 AB 方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)以 每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 CD 方向運(yùn)動(dòng)， P、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)， 當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)到點(diǎn) B 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， 點(diǎn) Q 也隨之停止過(guò)點(diǎn)P 作 PEOA 于點(diǎn) E，PFOB 于點(diǎn) F，得到矩形PEOF以點(diǎn)Q 為直角 頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形QMN，斜邊 MN OB，且 MN=QC設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t （單位：秒） （1）求 t=1 時(shí) FC 的長(zhǎng)度 （2）求 MN=PF 時(shí) t 的值 （3）當(dāng) QMN 和矩形 PEOF 有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積S 與 t

10、 的函數(shù)關(guān)系式 （4）直接寫出 QMN 的邊與矩形 PEOF 的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) t 的值 考點(diǎn)： 分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再將 t=1 代入求出 FC 的長(zhǎng)度； （2）根據(jù) MN=PF，可得關(guān)于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解； （3）分三種情況：求出當(dāng)1t2 時(shí)；當(dāng) 2t 時(shí)；當(dāng) t3 時(shí)；求出重疊（陰影）部分 圖形面積 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； （4）分 M 在 OE 上；N 在 PF 上兩種情況討論求得 QMN 的邊與矩形 PEOF 的邊有三個(gè) 公共點(diǎn)時(shí) t 的值 解答：解： （1）根據(jù)題意， AOB、 AEP 都是等腰直角三角形 ，OF=EP=

11、t， 當(dāng) t=1 時(shí)，F(xiàn)C=1； （2） AP=t，AE=t，PF=OE=6t MN=QC=2t 6t=2t 解得 t=2 故當(dāng) t=2 時(shí)，MN=PF； （3）當(dāng) 1t2 時(shí)，S=2t24t+2； 當(dāng) 2t 時(shí)，S=t2+30t32； 當(dāng) t3 時(shí)，S=2t2+6t； （4）QMN 的邊與矩形 PEOF 的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) t=2 或 點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題， 涉及的知識(shí)有等腰直角三角形的性質(zhì)， 圖形的面積計(jì)算， 函數(shù)思想， 方程思想，分類思想的運(yùn)用，有一定的難度 7 解（1）如圖 1，過(guò)點(diǎn)E作 EG BC 于點(diǎn)GE為 AB 的中點(diǎn)， BE 1 AB 2 2 在 RtEBG 中，B 60，

12、BEG 30 即點(diǎn)E到 BC 的距離為 3 BG 1 BE 1，EG 22123 2 A E B D F C 圖 1 A E B P H G M 圖 2 C N D F （2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PMN的形狀不發(fā)生改變 PM EF，EG EF，PM EG EFBC，EP GM，PM EG 3同理MN AB 4 如圖 2，過(guò)點(diǎn)P作PH MN于H，MNAB， G 13 PH PM NMC B 60，PMH 30 22 335 cos30 則NH MN MH 4 MH PMg 222 5 3 22 在RtPNH中，PN NH PH 7 2 2 PMN的周長(zhǎng)=PM PN MN 3 7 4 2 2

13、 當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PMN的形狀發(fā)生改變，但MNC恒為等邊三角形 當(dāng)PM PN時(shí)，如圖 3，作PR MN于R，則MR NR 3 MNC是等邊三角形，MC MN 3MN 2MR 3 2 此時(shí)，x EP GM BC BGMC 613 2 類似，MR A E B 當(dāng) G P R M 圖 3 CB G 圖 4 M D N F A E P D F N C B A E D F（P） N C G 圖 5 M MP MN 時(shí)，如圖4，這時(shí) MC MN MP 3 此時(shí)， x EP GM 613 53 當(dāng)NP NM時(shí)，如圖5，NPM PMN 30又MNC 60，則PMN 120， PNM MNC 180因

14、此點(diǎn)P與F重合，PMC為直角三角形 MC PMgtan30 1此時(shí)，x EP GM 611 4 綜上所述，當(dāng)x 2或 4 或 53 時(shí)，PMN為等腰三角形 8 解： （1）t 1秒， BP CQ 31 3 厘米， AB 10 厘米，點(diǎn)D為 AB 的中點(diǎn)， BD 5 厘米 又 PC BC BP，BC 8厘米， PC 835 厘米， PC BD 又 AB AC ， B C， BPDCQP v P v Q， BP CQ ，又 BPDCQP ， B C ， 則 BP PC 4，CQ BD 5 ， 點(diǎn) P ，點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t BP4 33 秒， vQ CQ515 4 4t 3 厘米/秒。 1580

15、 x x 3x210 3 秒（2）設(shè)經(jīng)過(guò) x 秒后點(diǎn)P與點(diǎn) Q 第一次相遇， 由題意，得 4 ，解得 80 380 點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了 3 厘米 80 22824，點(diǎn)P、點(diǎn) Q 在 AB 邊上相遇， 80 經(jīng)過(guò) 3 秒點(diǎn)P與點(diǎn) Q 第一次在邊 AB 上相遇 9、如圖所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 為正三角形， 點(diǎn) E、F 分別在菱形的邊 BCCD 上滑動(dòng)，且 E、F 不與 BCD 重合 （1）證明不論 E、F 在 BCCD 上如何滑動(dòng)，總有BE=CF； （2）當(dāng)點(diǎn) E、F 在 BCCD 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF 和CEF 的面 積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)

16、定值；如果變化，求出最大（或最?。?值 【答案】 解：（1） 證明： 如圖， 連接AC 四邊形ABCD為菱形， BAD=120， BAE+EAC=60，F(xiàn)AC+EAC=60，BAE=FAC。 BAD=120，ABF=60。ABC 和ACD 為等邊三角形。 ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。 在ABE 和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC， ABEACF（ASA） 。BE=CF。 （2）四邊形 AECF 的面積不變，CEF 的面積發(fā)生變化。理由如下： 由（1）得ABEACF，則 SABE=SACF。S 四邊形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。 作 AHBC 于 H 點(diǎn)，則 BH=2，S 四邊形AECF SABCBCAHBC AB2BH24 3。 由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形 AEF 的邊 AE 與 BC 垂直時(shí)，邊 AE 最短 故AEF 的面積會(huì)隨著 AE 的變化而變化，且當(dāng)AE 最短時(shí)，正三角形 AEF 的面積會(huì)最小， 又 SCEF=S 四邊形AECFSAEF，則此時(shí)CEF 的面積就會(huì)最大 1 2 1 2 1 SCEF=S 四邊形AECFSAEF 4 3 2 3 2 是3。 2 33 22 3。CEF 的面積的最大值 【分析】 （1）先求