1、非線性有限元第5章 本構(gòu)模型,計算固體力學,第5章 本構(gòu)模型,引言 應力-應變曲線 一維彈性 非線性彈性（超彈性） 一維塑性 多軸塑性 超彈塑性模型 粘彈性 應力更新算法 連續(xù)介質(zhì)力學與本構(gòu)模型,1 引言,本構(gòu)方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構(gòu)更新算法），包括： 徑向返回算法的一類圖形返回算法， 算法模量與基本應力更新方案一致的概念， 大變形問題的增量客觀應力更新方案， 基于彈性響應的應力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能。,為了進行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗，即可能是材料行為的幾條應力應變曲線。 在有限元軟件庫中選擇合適的

2、本構(gòu)模型，如果沒有合適的本構(gòu)模型，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構(gòu)模型的關鍵特征，創(chuàng)建模型的假設，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是否適合模型。,2 應力-應變曲線,材料應力應變行為的許多基本特征可以從一維應力狀態(tài)(單軸應力或者剪切)的一組應力-應變曲線中獲得，多軸狀態(tài)的本構(gòu)方程常常基于在試驗中觀察到的一維行為而簡單生成。,載荷位移曲線,名義應力（工程應力）給出為,定義伸長,工程應變定義為,2 應力-應變曲線,Cauchy（或者真實）應力表示為,以每單位當前長度應變的增量隨長度的變化得到另一種應變度量,對數(shù)應變（也稱為真實應變）,對材料時間求導，表達式為,一維情況，上式為變形率,

3、當前面積的表達式給出為,真實應力應變曲線,工程應力應變曲線,2 應力-應變曲線,考慮一種不可壓縮材料(J1)，名義應力和工程應變的關系為,真實應力(對于不可壓縮材料),說明了對于本構(gòu)行為應用不同泛函表達式的區(qū)別，對于同樣材料取決于采用何種應力和變形的度量。,應力應變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行為的范圍小于應變的百分之幾，就可以采用小應變理論描述。,2 應力-應變曲線,應力應變反應與變形率無關的材料稱為率無關；否則，稱為率相關。名義應變率定義為,率無關和率相關材料的一維反應,因為 和,即名義應變率等于伸長率，例如,可以看出，對于率無關材料的應力應變曲線是應變率獨立的，而對于率相關

4、材料的應力應變曲線，當應變率提高時是上升的；而當溫度升高時是下降的。,2 應力-應變曲線,對于彈性材料，應力應變的卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，直到完全卸載，材料返回到了它的初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲線，卸載曲線的斜率是典型的應力應變彈性（初始）段的斜率，卸載后產(chǎn)生永久應變。其它材料的行為介于這兩種極端之間。由于在加載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損傷，脆性材料的卸載行為，當荷載移去后微裂紋閉合，彈性應變得到恢復。卸載曲線的初始斜率給出形成微裂紋損傷程度的信息。,(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷,3 一維彈性,彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的當前水

5、平。這意味著加載和卸載的應力-應變曲線是一致的，當卸載結(jié)束時材料恢復到初始狀態(tài)。稱這種應變是可逆的。而且，彈性材料是率無關的(與應變率無關)。彈性材料的應力和應變是一一對應的。,小應變,可逆和路徑無關默認在變形中沒有能量耗散，在彈性材料中，儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復。,對于一維彈性材料，可逆、路徑無關、無能量耗散是等價的特征。 對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。,對于任意應變，不管如何達到應變值，上式給出唯一應力值。,3 一維彈性,應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如，,(a)凸應變能函數(shù) (b)應力應變曲線,當 公式的等號成立。,凸應變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在

6、這種情況下，函數(shù)是單調(diào)遞增的，如果w 是非凸函數(shù)，則 s 先增后減，材料應變軟化，這是非穩(wěn)定的材料反應， 如右下圖。,(a)非凸應變能函數(shù)(b)相應的應力應變曲線,大應變,從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應力（功共軛）的彈性勢能。勢能的存在是默認了可逆、路徑無關和無能量耗散。如,3 一維彈性,在彈性應力-應變關系中，從應變的勢函數(shù)可以獲得應力為超彈性。如一維大應變問題，以Green應變的二次函數(shù)表示,對于小應變問題，即為胡克定律。,大應變,一種材料的Cauchy應力率與變形率相關，稱為次彈性。這種關系一般是非線性的，給出為,3 一維彈性,一個特殊的線性次彈性關系給出為,這是與路徑無關

7、的超彈性關系。對于多軸問題，一般次彈性關系不能轉(zhuǎn)換到超彈性，它僅在一維情況下是嚴格路徑無關的。然而，如果是彈性小應變，其行為足以接近路徑無關的彈性行為。因為次彈性的簡單性，公式(5.3.11)的多軸一般形式常常應用在有限元軟件中，以模擬大應變彈塑性的彈性反應。,對上式的關系積分，得到,4 非線性彈性,對于有限應變有許多不同的應力和變形度量，同樣的本構(gòu)關系可以寫成幾種不同的形式，總是可能從一種形式的本構(gòu)關系轉(zhuǎn)換到另一種形式。 大應變彈性本構(gòu)模型首先表述成Kirchhoff材料的一種特殊形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關、可逆和無能量耗散。因此，路徑無關的程度可以視為材料模型彈性的度量。

8、 次彈性材料是路徑無關程度最弱的材料，遵從Cauchy彈性，其應力是路徑無關的，但是其能量不是路徑無關的。 超彈性材料或者Green彈性，它是路徑無關和完全可逆的，應力由應變勢能導出。,4 非線性彈性,小應變和大轉(zhuǎn)動,式中 C 為彈性模量(切線模量)的四階張量，對Kirchhoff材料是常數(shù)，代表了應力和應變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各向異性。,許多工程應用包括小應變和大轉(zhuǎn)動。在這些問題中，大變形的效果主要來自于大轉(zhuǎn)動，如直升機旋翼、船上升降器或者釣魚桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴展即可以模擬材料的反應，但要以PK2應力代替其中的應力和以Green應變代替線性應變，這稱為Saint-Ve

9、nant- Kirchhoff材料，或者簡稱為Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型為,4 非線性彈性,式中C為彈性模量的四階張量，有81個常數(shù)。利用對稱性可以顯著地減少常數(shù)。,一般的四階張量有3481個獨立常數(shù)，與全應力張量的9個分量和全應變張量的9個分量有關。 如次彈性本構(gòu)方程,這樣C為對稱矩陣（主對稱性），在81個常數(shù)中有45個是獨立的。成為上三角或下三角矩陣。,4 非線性彈性,利用勢能表示的應力應變關系和Green公式，,故有,應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），即,4 非線性彈性,應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），即,再利用模量的主對稱性使獨立彈性常

10、數(shù)的數(shù)目減少，由36個常數(shù)減少為21個，為各向異性材料。,應力和應變張量的對稱性要求應力的6個獨立分量僅與應變的6個獨立分量有關，由彈性模量的局部對稱結(jié)果，獨立常數(shù)的數(shù)目減少到36個。,4 非線性彈性,寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）,對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當坐標變號，為使應變能密度不變，有,這樣由21個常數(shù)減少為14個，為正交各向異性材料。,若材料對稱坐標平面，當沿軸平面反射時，彈性模量不變，固為正交各向異性體，有,對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料(如木材或纖維增強的復合材料)，僅有9個獨立彈性常數(shù)，Kirchhoff應力應變關系為材料對稱坐標平面，

11、為正交各向異性體,4 非線性彈性,對于各向同性材料，僅有3個常數(shù),4 非線性彈性,小應變和大轉(zhuǎn)動,對于各向同性的Kirchhoff材料，其應力應變關系可以寫成為,式中Lam常數(shù)，體積模量K，楊氏模量 E和泊松比,的關系為,材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料沒有方位或者方向的選擇，因此，當以任何直角坐標系表示的應力應變關系是等同的。對于小應變的許多材料(如金屬和陶瓷)可以作為各向同性進行模擬。張量C是各向同性的。在任何坐標系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。,(克羅內(nèi)克)符號構(gòu)成的一個線性組合：,4 非線性彈性,不可壓縮性,在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)

12、。 不可壓縮材料的運動稱為等體積運動。,總體變形,等體積約束運動的率形式,將應力和應變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和， 對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為：,對于不可壓縮材料，壓力不能從本構(gòu)方程確定，而是從動量方程確定。,4 非線性彈性,Kirchhoff應力,由Jacobian行列式放大，稱它為權(quán)重Cauchy應力。對于等體積運動，它等同于Cauchy應力。,次彈性,次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應力率和變形率。,上式是率無關、線性增加和可逆的。對于有限變形狀態(tài)的微小增量，應力和應變的增量是線性關系，當卸載后可以恢復。然而，對于大變形能量不一定必須守恒，并且在閉合變形軌跡上

13、作的功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中的彈性反應，小變形彈性，且耗能效果也小。,4 非線性彈性,切線模量之間的關系,對于各向同性材料Jaumann率的切線模量為,某些次彈性本構(gòu)關系共同應用的形式為,對于同一種材料，切線模量不同，材料反應的率形式不同，如,如果,是常數(shù)，,不是常數(shù)。,切線模量,證明見第5.4.5節(jié)，推導復雜,4 非線性彈性,超彈性材料,平衡方程是以物體中應力的形式建立的，應力來源于變形，如應變。如果本構(gòu)行為僅是變形的當前狀態(tài)的函數(shù)，為與時間無關的彈性本構(gòu)。而對于接近不可壓縮的材料，僅依賴變形（應變）不一定能夠得到應力。,儲存在材料中的能量（功）僅取決于變形的

14、初始和最終狀態(tài)，并且是獨立于變形（或荷載）路徑，稱這種彈性材料為超彈性（hyper-elastic）材料，或者為Green彈性，例如常用的工業(yè)橡膠。動物的肌肉也具有超彈性的力學性質(zhì)。這里主要討論橡膠材料的超彈性力學行為。,4 非線性彈性,超彈性材料,對于功獨立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（Green彈性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應變）能量函數(shù)，它是應力的勢能：,通過適當轉(zhuǎn)換獲得了對于不同應力度量的表達式,由于變形梯度張量F是不對稱的，因此名義應力張量P的9個分量是不對稱的。,在橡膠大變形中應用多項式模型和Ogden指數(shù)模型。,4 非線性彈性,超彈性材料,目前，世界半數(shù)以上的

15、橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡膠（ERP）；用于汽車配件的有氯丁橡膠及另一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。 在眾多的合成橡膠中，硅橡膠是其中的佼佼者。它具有無味無毒，不怕高溫和嚴寒的特點，在攝氏300度和零下90度時能夠“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的強度和彈性。例如生物材料。,橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀前，“橡膠”一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提煉出來的。,4 非線性彈性,超彈性材料,1839年，Charle Goodyea

16、r發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標。 從19世紀中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，橡膠材料的行為復雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移和大應變，其本構(gòu)關系是非線性的，并且在變形過程中體積幾乎保持不變。,橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化學穩(wěn)定性等。,4 非線性彈性,超彈性材料,由于計算機以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借助計算機來對超彈性材料的工程應用進行深入研究以及優(yōu)化設計?？梢杂糜邢拊葦?shù)值方法來計算分析橡膠元件的力學性能，包括選取和擬合橡膠的本構(gòu)模型，以

17、及用有限元建模和處理計算結(jié)果等。,橡膠是一種彈性聚合物，其特點是有很強的非線性粘彈性行為。它的力學行為對溫度、環(huán)境、應變歷史、加載速率都非常敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復雜。橡膠的制造工藝和成分也對橡膠的力學性能有著顯著的影響。,固體橡膠材料的拉伸試驗曲線與材料演化模型,固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于0.5?？赡妫髴?。初始各向同性，應變增加后分子定向排列。,4 非線性彈性,超彈性材料,常用的橡膠性態(tài)可分為固體橡膠和泡沫橡膠。,4 非線性彈性,超彈性材料,一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。 泡沫橡膠是由橡膠制

18、成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大的彈性應變要求，拉伸時的應變可以達到500或更大，壓縮時的應變可以達到90或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積縮小變形，因此具有良好的能量吸收性。,泡沫橡膠材料的多面體微元模型 a) 開放腔室，b) 封閉腔室,4 非線性彈性,超彈性材料,泡沫橡膠材料的應力-應變曲線 a)壓縮 b)拉伸,小應變 5%，線彈性，泊松比為0.3 。 大應變，壓縮時，泊松比為0.0； 拉伸時，泊松比大于0.0。,典型固體橡膠材料單軸拉伸應力-應變曲線,橡膠本構(gòu)模型,4 非線性彈性,小變形,以多項式形式本構(gòu)模型為例，其應變能密度表達式為,忽略二階及二

19、階以上小量，變?yōu)?彈性常數(shù)為,當,橡膠本構(gòu)模型,4 非線性彈性,定義伸長,工程應變定義為,二階張量基本不變量,小變形，有,小變形,橡膠本構(gòu)模型,4 非線性彈性,例題,在超彈性計算中，橡膠使用三次減縮多項式應變能本構(gòu)模型， 應變能密度表達式為,若取,（單位為MPa），求材料彈性常數(shù)。,利用公式,解：,解出橡膠的彈性常數(shù)為 ， E=1.384MPa，= 0.5,小變形,橡膠本構(gòu)模型,4 非線性彈性,常用的橡膠力學性能描述方法主要分為兩類，一類是基于熱力學統(tǒng)計的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質(zhì)的唯象學描述方法。 熱力學統(tǒng)計方法的基礎為觀察到橡膠中的彈性恢復力主要來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結(jié)構(gòu)

20、無序，熵的減少是由于橡膠伸長使得橡膠結(jié)構(gòu)由高度無序變得有序。由對橡膠中分子鏈的長度、方向以及結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計得到本構(gòu)關系。,橡膠本構(gòu)模型,唯象學描述方法假設在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，即長分子鏈方向在橡膠中是隨機分布的。這種各向同性的假設是用單位體積（彈性）應變能函數(shù)（U）來描述橡膠特性的基礎，其本構(gòu)模型為多項式形式模型和Ogden形式模型。,典型的本構(gòu)模型為多項式形式，其應變能密度表達式為,特殊形式可以由設定某些參數(shù)為0來得到。如果所有,則得到減縮多項式模型,對于完全多項式，如果, 則只有線性部分的應變能量，,即Mooney-Rivlin形式,橡膠本構(gòu)模型,，則得到Neo-Hookean形式

21、,對于減縮多項式，如果,Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本構(gòu)模型 （后者是將Hooke定律擴展至大變形）,橡膠本構(gòu)模型,Yeoh形式本構(gòu)模型是,時減縮多項式的特殊形式,典型的S形橡膠應力-應變曲線 ，C10正值，在小變形時為切線模量； C20為負值，中等變形時軟化；C30正值，大變形時硬化。,橡膠本構(gòu)模型,Ogden形式本構(gòu)模型,Arruda-Boyce形式本構(gòu)模型,Van der Waals模型,橡膠本構(gòu)模型,其他形式的本構(gòu)模型有：,試驗擬合本構(gòu)模型系數(shù),橡膠類材料的本構(gòu)關系除具有超彈性、大變形的特征外，其本構(gòu)關系與生產(chǎn)加工過程有直接關系，如橡膠配方和硫化工藝。確定每

22、一批新加工出來的橡膠的本構(gòu)關系，都要依賴于精確和充分的橡膠試驗。,通常在試驗中應該測得在幾種不同荷載模式下的應力-應變曲線， 這樣可以選擇出最合適的本構(gòu)模型以及描述這種模型的參數(shù)。,同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應力-應變曲線圖， 對比試驗曲線，由最小二乘法擬合多項式本構(gòu)模型中的系數(shù)。,試驗擬合本構(gòu)模型系數(shù),試驗擬合本構(gòu)模型系數(shù),給出實驗數(shù)據(jù)，應力表達式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確定，這樣可以使得誤差最小。即對于n 組應力-應變的試驗數(shù)據(jù)，取相對誤差E 的最小值，擬合應力表達式中的系數(shù)，得到理論本構(gòu)模型。,確定材料常數(shù)的經(jīng)驗公式,試驗擬合本構(gòu)模型系數(shù),對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上

23、述試驗來確定其材料常數(shù)。經(jīng)驗公式是通過橡膠的IRHD硬度指標來確定材料的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關系來確定材料常數(shù)?；竟綖椋ㄐ儣l件）,將得到的材料常數(shù)代入Mooney-Rivlin模型進行計算。,例子,采用氫化丁腈橡膠H-NBR75，硬度為75MPa，解得,由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復雜的超彈性模型計算過程由計算機程序完成，在ABAQUS等商用軟件中給出了具體的計算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合和選用合適的本構(gòu)模型，如何處理輸出結(jié)果并檢驗其是否正確。對于初學者來說，商用軟件是一個“黑匣子”，因此，掌握超彈性材料模型理論和計算方法是取得仿真成功

24、的關鍵。,結(jié)論與討論,需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析解還是數(shù)值解，均不能采用平面應變解答。因為對于不可壓縮材料，如果采用平面應變模型，其體積不變，內(nèi)力為不確定量，在有限元中的節(jié)點位移不能反映單元內(nèi)力的變化。對于不可壓縮材料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務必應用平面應力（或者廣義平面應變）解答。,橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解 平面應變和平面應力模型,過盈量1.9mm ，應力非常大， 原因是平面應變模型,橡膠和鋼環(huán)的解析解與FE解的徑向應力比較,廣義平面應變平面應力問題 不發(fā)生體積自鎖,平面應變模型 發(fā)生體積自鎖,問題： 在有限元力學模型中，加載是任意的（如三維）

25、，材料實驗數(shù)據(jù)是單軸拉伸（如一維），如何在有限元計算中建立聯(lián)系，實現(xiàn)對應的應力狀態(tài)，直到發(fā)生屈服和破壞？,5 一維塑性,從屈服準則的建立來回答這樣的問題。,應力保持40MPa的蠕變試驗數(shù)據(jù)與計算結(jié)果對比,最大切應力屈服準則 (Trescas Criterion) 無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生屈服，都是由于微元內(nèi)的最大切應力達到了某一共同的極限值。,拉伸屈服 試驗確定,任意狀 態(tài)應力,5 一維塑性,設計準則,允許應力,5 一維塑性,在有限元計算中，材料的應力和應變狀態(tài)等價于單軸拉伸實驗數(shù)據(jù)的對應值，與加載歷史相關，只要發(fā)生屈服，都是由于單元內(nèi)的最大切應力達到了某一共同的極限值。,形狀改變比

26、能準則(Misess Criterion) 無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生屈服，都是由于微元的形狀改變比能達到了一個共同的極限值。,5 一維塑性,形狀改變比能與體積改變比能,體積改變能密度與形狀改變能密度,+,5 一維塑性,形狀改變比能準則,單向應力,三向應力,5 一維塑性,形狀改變比能準則,失效判據(jù),設計準則,5 一維塑性,5 一維塑性,對于卸載后產(chǎn)生永久應變的材料稱為塑性材料。,應變的每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分,塑性理論的主要內(nèi)容有：,屈服函數(shù)控制塑性變形的突變和連續(xù)，是內(nèi)變量和應力的函數(shù),流動法則控制塑性流動，即確定塑性應變增量。,內(nèi)部變量的演化方程控制屈服函數(shù)的演

27、化，包括應變-硬化關系。,彈-塑性定律是路徑相關和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性變形中，不可逆換成其它形式的能量，特別是熱。應力取決于整個變形的歷史，不能表示成為應變的單值函數(shù)；而它僅能指定作為應力和應變的率之間的關系。,5 一維塑性,一維率無關塑性,典型彈-塑性材料的應力-應變曲線,應變的增量假設分解成為彈性和塑性部分的和，率形式,應力增量(率)總是與彈性模量和彈性應變的增量(率)有關,非線性彈-塑性區(qū)段，應力-應變,切線模量,應力-應變關系的是率均勻的。如果被任意的時間因子縮放，本構(gòu)關系保持不變。因此，材料反應是率無關的。,5 一維塑性,一維率無關塑性,通過流動法則給出了塑性應變率，常常

28、表示為塑性流動勢能的形式,流動勢能的一個例子是,等效應力,屈服條件為,單軸拉伸的屈服強度,等效塑性應變,材料在初始屈服之后屈服強度的增加稱為功硬化或者應變硬化 (對應于應變軟化)。硬化行為一般是塑性變形先期歷史的函數(shù)。,屈服行為是各向同性硬化；拉伸和壓縮的屈服強度總是相等。,5 一維塑性,一維率無關塑性,一個特殊的模型，,塑性應變率寫成為,塑性模型稱為關聯(lián)的，否則，塑性流動是非關聯(lián)的。 對于關聯(lián)塑性，塑性流動是沿著屈服面的法線方向。,由此看出,僅當滿足屈服條件,時發(fā)生塑性變形。,當塑性加載時，應力必須保持在屈服面上，,實現(xiàn)了一致性條件,這給出,塑性模量,5 一維塑性,一維率無關塑性,對應塑性加

29、載和純彈性加載或卸載，切線模量為,塑性轉(zhuǎn)換參數(shù),加載卸載條件還可以寫為,一致性條件的率形式,應力狀態(tài)位于塑性表面,塑性率參數(shù)非負,對于塑性加載,必須保持在屈服面上,其應力狀態(tài),對于彈性加載或者卸載,沒有塑性流動,因此,材料硬化描述 (a) Bauschinger效果 (b) 屈服面的平移和擴展,在循環(huán)加載中，各向同性硬化模型提供了金屬應力應變反應的粗糙模型。圖a為Bauschinger效果，在拉伸初始屈服之后的壓縮屈服強度降低。認識這種行為的方法之一是觀察屈服表面的中心沿著塑性流動方向移動。圖b為多軸應力狀態(tài)圓環(huán)屈服表面擴張對應于各向同性硬化（冪硬化），它的中心平移對應于運動硬化。,5 一維塑

30、性,混合硬化,屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化； 屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。,背應力的內(nèi)部變量,Stress-strain curve under cyclic loads,Combined hardening model,混合硬化,5 一維塑性,屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化； 屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。,5 一維塑性,運動硬化,塑性流動關系,背應力的內(nèi)部變量,屈服條件,一維率相關塑性,在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，,一種方法是過應力模型，等效塑性應變率取決于超過多少屈服應力,等效塑性應變率的一種交換形式,粘度,過應力,5 一維塑性,應

31、變軟化,單調(diào)凸本構(gòu)曲線不再成立。應變軟化如何加載？,位移加載,6 多軸塑性,Tresca屈服準則,Mises屈服準則,在有限元程序中一般應用哪種屈服準則？為什么？,摩擦滑移屈服表面,6 多軸塑性,Mohr-Coulomb本構(gòu)模型,滑移方向（塑性流動）是水平的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面。這是非關聯(lián)塑性流動的例子。對于連續(xù)體和多軸應力應變狀態(tài)的行為，M-C準則具有普適性。它應用于模擬土壤和巖石。,M-C準則是基于這樣的概念，即當任意面上的切應力和平均法向應力達到臨界組合時在材料中發(fā)生屈服,c是內(nèi)聚力，通過 定義內(nèi)摩擦角,6 多軸塑性,Mohr-Coulomb屈服行為,Mohr-Coulomb

32、屈服表面 Drucker-Prager屈服表面,在Mohr平面上的兩條直線代表了方程式，它們是Mohr圓的包絡 并稱為Mohr破壞或者失效包絡。假設主應力,應力狀態(tài),屈服準則,6 多軸塑性,考慮 的特殊情況并讓,，代表剪切屈服強度，,上式成為,即為Tresca準則。,在Tresca和M-C屈服表面上的直線線段便于塑性問題的解析處理。 然而，從計算的觀點看，夾角使得本構(gòu)方程難以建立(例如，計算屈服面的法線)。通過改進von Mises屈服準則結(jié)合壓力的影響，Drucker-Prager屈服準則避免了與夾角有關的問題：,這是一個光滑圓錐的方程， 為等效Cauchy應力，選擇常數(shù)有,D-P屈服表面通

33、過了M-C屈服表面上的內(nèi)部或者外部頂點（取加號對應于內(nèi)部頂點，而取減號對應于外部頂點）。,9 應力更新算法,本構(gòu)方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構(gòu)更新算法），包括： 徑向返回算法的一類圖形返回算法， 算法模量與基本應力更新方案一致的概念， 大變形問題的增量客觀應力更新方案， 基于彈性響應的應力更新方案，即自動滿足客觀性的超彈性勢能。,給出描述本構(gòu)模型的某些其它連續(xù)介質(zhì)力學觀點， 展示Eulerian，Lagrangian和兩點拉伸的概念， 描述后拉、前推和Lie導數(shù)的運算， 材料框架客觀性，材料的對稱性，以本構(gòu)行為的張量表示討論了不變性的某些方面， 討論由于熱力學第二定律和某些附

34、加的穩(wěn)定性必要條件對材料行為的約束。,9 應力更新算法,對于積分率本構(gòu)方程的數(shù)值算法稱為本構(gòu)積分算法或者應力更新算法。對于率無關和率相關材料提供了本構(gòu)積分算法。 討論簡單的小應變塑性，將小應變算法擴展至大變形，將大變形分析的積分算法保持在基于本構(gòu)方程客觀性的基礎上。 展示了關于大變形塑性的逐步客觀積分算法。 討論關于大變形超彈塑性材料的應力更新算法，回避對應力率方程的積分。 描述了與本構(gòu)積分算法相關的計算模量，采用隱式求解算法發(fā)展材料的切線剛度矩陣。,率無關塑性的圖形返回算法,9 應力更新算法,小應變、率無關彈塑性的本構(gòu)方程,應力應變反應與變形率無關的一種材料稱為率無關；否則為率相關。,，,K

35、uhn-Tucker條件，上面第一個條件表明塑性率參數(shù)是非負的， 第二個條件表明當塑性加載時，應力狀態(tài)必須位于或限制在塑性表面上， 最后條件也可以作為由已知一致性條件,的率形式。,塑性流動方向經(jīng)常特指為,，這里,稱為塑性流動勢,）應力狀態(tài)必須保持在屈服面,因此,。對于彈性加載或者卸載,，沒有塑性流動。,對于塑性加載（,率無關塑性的圖形返回算法,9 應力更新算法,上，,在時刻n 給出一組,和應變增量,本構(gòu)積分算法的目的是計算,并滿足加卸載條件,在,時刻的應力給出為,求解的一致性條件給出,設想能夠應用這個塑性參數(shù)值以提供更新的應力率、塑性應變率和內(nèi)變量率，并且寫出簡單的向前Euler積分公式算法,

36、率無關塑性的圖形返回算法,9 應力更新算法,但在下一步，這些應力和內(nèi)變量的更新值并不滿足屈服條件，所以,由于解答從屈服表面漂移，常常導致不精確的結(jié)果，因此不受人青睞。公式也稱為切線模量更新算法，形成了計算率無關塑性早期工作的基礎。,率無關塑性的圖形返回算法,9 應力更新算法,這導致考慮另外一些方法進行率本構(gòu)方程的積分，目的之一是強化在時間步結(jié)束時的一致性，例如，,為避免離開屈服面的漂移。有許多不同的積分本構(gòu)算法，這里主要關注一類方法返回圖形算法，它是強健和精確的，被廣泛應用。著名的von Mises塑性徑向返回方法是返回圖形算法的特例。,返回圖形算法包括： 一個初始的彈性預測步，包含（在應力空

37、間）對屈服表面的偏離， 以及塑性調(diào)整步使應力返回到更新后的屈服表面。 方法的兩個組成部分是： 一個積分算法，它將一組本構(gòu)方程轉(zhuǎn)換為一組非線性代數(shù)方程， 一個對非線性代數(shù)方程的求解算法，該方法可基于不同的積分算法， 例如生成梯形法則，生成中點法則或者Runge-Kutta方法。 基于向后Euler算法，考慮一個完全隱式方法和一個半隱式方法。,完全隱式的圖形返回算法,9 應力更新算法,在完全隱式的向后Euler方法中，在步驟結(jié)束時計算塑性應變和內(nèi)變量的增量，同時強化屈服條件，這樣，積分算法寫成為,公式是一組關于求解,的非線性代數(shù)方程。注意到更新變量來自前一個時間步驟結(jié)束時的收斂值，這就避免了非物理

38、意義的效果，例如當用不收斂的塑性應變和內(nèi)變量值求解路徑相關塑性方程時可能發(fā)生的偽卸載。,在時刻n 給出一組,和應變增量,通過方程系統(tǒng)的解答獲得了應變,在時刻n 1，,完全隱式的圖形返回算法,9 應力更新算法,如果解答過程是隱式的，可以理解應變,是在隱式解答算法的最后迭代后的總體應變。,塑性應變增量給出為,代入表達式,關聯(lián)塑性的最近點投射方法,是彈性預測的試應力,是塑性修正量，它沿著一個方向，即規(guī)定為在結(jié)束點處塑性流動的方向， 返回或者投射試應力到適當更新的屈服表面（考慮硬化）。,而數(shù)值,完全隱式的圖形返回算法,9 應力更新算法,由總體應變的增量驅(qū)動彈性預測狀態(tài)，而由塑性參數(shù)的增量,驅(qū)動塑性修正

39、狀態(tài)。因此，在彈性預測階段，塑性應變和內(nèi)變量保持固定，而當塑性修正階段，總體應變是不變的。在彈性預測階段，由公式得到的結(jié)果為,關聯(lián)塑性的最近點投射方法,其中,完全隱式的圖形返回算法,9 應力更新算法,非線性代數(shù)方程組解答一般由Newton過程求解。基于分類線性化方程組的 Newton過程，和根據(jù)最近投射點的概念引導塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正階段中，總體應變是常數(shù)，線性化是相對于塑性參數(shù)增量,在Newton過程中應用下面的標記：關于一個方程,的線性化，,并有,在第k次迭代時記為,為適合Newton迭代，以上面形式寫出塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標,完全隱式的圖形返回算法,9 應

40、力更新算法,這組方程的線性化給出,3個方程可以聯(lián)立求解,這樣，塑性應變、內(nèi)變量和塑性參數(shù)更新是,Newton過程是連續(xù)計算直到收斂到足以滿足準則的更新屈服表面。這個過程是隱式的并包括了方程在單元積分點水平的結(jié)果。該方法的復雜性在于需要塑性流動方向的梯度，不適合復雜本構(gòu)。,腳標為偏導數(shù),一致性條件：在加卸載過程中，材料的應力點始終處于屈服面上,應用于J2流動理論徑向返回算法,9 應力更新算法,小應變時的彈塑性本構(gòu)關系和框5.6的J2 流動理論， 注意到塑性流動方向是在偏應力的方向，給出為,J2塑性流動理論基于von Mises屈服面，它特別適用于金屬塑性，,該模型的關鍵假設是壓力對在金屬中的塑性

41、流動沒有影響；屈服條件和塑性流動方向是基于應力張量的偏量部分。,它也是屈服表面的法向，即,在偏應力空間，Mises屈服表面是環(huán)狀，法向是徑向。在塑性流動的方向（徑向），定義一個單位法向矢量為,應用于J2流動理論徑向返回算法,9 應力更新算法,算法的重要特性是,在整個塑性修正狀態(tài)過程中不變化,保持在徑向，,因此塑性應變的更新是,的線性函數(shù)，而塑性流動殘量恒為零：,唯一的內(nèi)變量（各向同性硬化）是累積塑性應變，給出為,因此，內(nèi)變量的更新也是,的線性函數(shù)，相應的殘量為零，例如，,適合Newton迭代的塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標,屈服條件給出為,而f 的導數(shù)是,和,應用于J2流動理論徑向返回算法

42、,9 應力更新算法,各向同性硬化：只有一個硬化參數(shù)q，屈服面表面擴張,冪硬化：屈服面中心不變，屈服面尺寸改變,運動硬化：屈服面中心平移，尺寸不變，中心位置為背應力的內(nèi)變量,關聯(lián)塑性：塑性流動沿著屈服面的法線方向；否則，為非關聯(lián)塑性,徑向返回算法編程,9 應力更新算法,1 設初始值,2 在第k次迭代時檢查屈服條件,如果,則收斂，否則 go to 3,3 計算塑性參數(shù)的增量,4 更新塑性應變和內(nèi)變量,9 應力更新算法,算法模量,在隱式方法中，需要合適的切線模量。由于在屈服時突然轉(zhuǎn)化為塑性行為，連續(xù)彈塑性切線模量可能引起偽加載和卸載。為了避免這點，采用了一個基于本構(gòu)積分算法的系統(tǒng)線性化的算法模量（也

43、稱為一致切線模量），代替了連續(xù)彈塑性切線模量。 下面給出完全隱式向后Euler方法的算法模量的推導。,向后Euler更新算法切線模量定義為,對于J2流動理論的情況，算法模量是與徑向返回應力更新一致的,9 應力更新算法,半隱式向后Euler方法,半隱式向后Euler方法（Moran, 1990）是對于塑性參數(shù)采用隱式，而對于塑性流動方向和塑性模量采用顯式的算法，即在步驟結(jié)束時計算塑性參數(shù)的增量，而在步驟開始時計算塑性流動的方向和塑性模量。為了避免從屈服面漂移，在步驟結(jié)束時強化屈服條件。積分方法為,對比完全隱式向后Euler方法,9 應力更新算法,率相關塑性的圖形返回算法,對于J2 塑性流動，過應

44、力函數(shù)公式的典型例子為 (n為率敏感指數(shù)),對于J2 流動理論，一個替代的粘塑性模型為 (m為率敏感指數(shù)),參考應變率,在過應力模型中，等效塑性應變率取決于超過了多少屈服應力。,在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，與不能超越過屈服條件的率無關塑性相比，為了發(fā)生塑性變形，率相關塑性必須滿足或者超過 屈服條件，塑性應變率（結(jié)合各向同性和運動硬化）給出為( 背應力）,9 應力更新算法,率相關塑性的圖形返回算法,框5.11 大應變率相關塑性,1 分解變形率張量為彈性和塑性部分的和,2 應力率關系,3 塑性流動法則和演化方程,4 應力率總體變形率關系,過應力函數(shù)，是塑 性應變的驅(qū)動力,粘性（力時間）,9 應力更新算法,率相關塑性的圖形返回算法,率無關塑性的圖形返回本構(gòu)積分算法和算法切線模量可以修改為率相關的方法，對于一個完全隱式算法，更新可以寫成增量的形式,過應力函數(shù)和粘性,算法切線模量表達式,大變形的逐步客觀積分方法,9 應力更新算法,大變形本構(gòu)算法的一個重要問題是觀察的材料框架相同，準確地保持本構(gòu)關系的客觀性；在剛體轉(zhuǎn)動中，該算法必須準確地計算應力的恰當轉(zhuǎn)動。,基于Kirchhoff應力的Jaumann率，考慮一個簡單的更新算法，變形率是對于時間增量的等效