1、2010年15日，南京市航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1，1章函數(shù)，極限，連續(xù)，1節(jié)集，映射和函數(shù)2節(jié)數(shù)列的極限3節(jié)函數(shù)極限4節(jié)無窮大和無窮大5節(jié)連續(xù)映射，2，2節(jié)數(shù)列的極限，2.1列極限的概念2.2收斂數(shù)列的性質(zhì)2。(牙齒問題是最重要的問題)系列的極限值大小(在存在性成立后才設(shè)法計(jì)算極限)，4，證明極限存在的幾種茄子方法：根據(jù)數(shù)列極限的定義進(jìn)行證明。利用鉗制性證明。最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)來證明數(shù)列極限的存在。5，(1)單調(diào)有界標(biāo)準(zhǔn)(2)數(shù)列極限的合并原理(3)魏爾斯特拉斯(Wilstrass)定理(4)柯西(Cauchy)單調(diào)數(shù)列，幾何解釋3360，牙齒定理僅僅證明了它的存在。8，示例6

2、，證明，(舍去)，9，證明，示例7，證明，10，11，12，EX，解釋，解釋，EX設(shè)置，13，證明：增長明顯，以下證明有上限。事實(shí)：為了證明收斂，EX在其中。14，分別是定義，鉗制和單調(diào)邊界標(biāo)準(zhǔn)的三種茄子方法，更深入地思考，思考，15，EX。證法1，證法2，16，證法3，17，子數(shù)列概念和收斂性，定義，主，(，19，推論)推斷，如果兩個(gè)子數(shù)列分別收斂到徐璐不同的極限，牙齒數(shù)列一定會(huì)發(fā)散。要注意，牙齒推理是證明數(shù)列發(fā)散的好工具。20，示例8，證明(必要性)為定理2.7，21，數(shù)列收斂與子數(shù)列收斂密切相關(guān)。當(dāng)1數(shù)列收斂時(shí)，其子數(shù)列也收斂(并且收斂到相同的極限)，如果2數(shù)列的奇數(shù)和偶數(shù)列都收斂到相同

3、的極限，那么原始數(shù)列也收斂到該極限。考慮到22 (3) Weierstrass定理、邊界數(shù)列和收斂數(shù)列之間的關(guān)系，收斂數(shù)列必須有界限，邊界數(shù)列不一定收斂，定理2.8(Weierstrass定理)邊界數(shù)列必須有收斂子數(shù)列，并通過單調(diào)的邊界準(zhǔn)則證明！引理在任何數(shù)列中必須先提供一個(gè)單調(diào)的子數(shù)列，證明：設(shè)置是有界數(shù)列，在引理中可以剔除的單調(diào)的子數(shù)列ank，它顯然是有界的，單調(diào)的有界準(zhǔn)則中，ank是收斂的。引理在某些數(shù)列中必須拿出一個(gè)單調(diào)的數(shù)列。24，引理可以從任何數(shù)列中拿出一個(gè)單調(diào)的數(shù)列。(2)如果數(shù)列中只有有限的項(xiàng)目可以用作“水龍頭”，就取最后一個(gè)“水龍頭”的下一個(gè)項(xiàng)目，an1，因?yàn)閍n1不是“水龍

4、頭”，首先證明了定義被引入。如果序列之一大于或等于其后的所有條目，則稱為“水龍頭”。分為兩種茄子情況進(jìn)行討論。(1)如果數(shù)列中有無限的“水龍頭”，可以作為“水龍頭”的項(xiàng)目按順序拉開，就可以得到減少的數(shù)列。，25，2。級(jí)數(shù)的任意收斂子級(jí)數(shù)的極限稱為牙齒級(jí)數(shù)的極限點(diǎn)，也稱為集合點(diǎn)。說明1。清理2.8也稱為稠密定理。數(shù)列的集合點(diǎn)原理.清理2.8(Weierstrass清理)邊界數(shù)列必須包含收斂子數(shù)列。注意：集合點(diǎn)可以屬于、也可以不屬于數(shù)列中的點(diǎn)！26，(4) Cauchy (Cauchy)收斂原理，1)Cauchy序列(默認(rèn)序列):定義2.2正確，27，補(bǔ)充：證明，證明，2) Cauchy序列拿，做

5、的時(shí)候，30，柯西收斂原理，31，例9，分析，32，證明，33，例10，證明差別的收斂性只能根據(jù)本身滿足的特性來判斷，并參考其他數(shù)列將數(shù)列項(xiàng)目與其極限的關(guān)系改為數(shù)列各項(xiàng)目的關(guān)系。35，柯西收斂原理，36，示例11，使用：37，注意：數(shù)列極限的“N”定義和應(yīng)用，2 .保證收斂數(shù)列的性質(zhì)3360，唯一性有界性保護(hù)性不等式。四則運(yùn)算定律鉗制性，3 .數(shù)列收斂性(極限存在)判別標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)握{(diào)的邊界標(biāo)準(zhǔn)；柯西標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)列極限的合并原理，WierStrass定理，41，Weierstrass 1815 1897，德國數(shù)學(xué)家，他的主要貢獻(xiàn)是分?jǐn)?shù)，分析。引入了極限的定義、性質(zhì)，處處不可缺少的連續(xù)映射：構(gòu)建了逆轉(zhuǎn)問題

6、，提出了連續(xù)映射的嚴(yán)格定義，對(duì)分析學(xué)的算術(shù)做出了重要貢獻(xiàn)。42，柯西，柯西，柯西他的特長在分析學(xué)方面，他給了微積分嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)雜函數(shù)理論的主要定理、實(shí)際變量和復(fù)雜變量的微分方程解法的存在定理是重要的。他的全集卷僅次于歐拉，位居第二?？挛魇菤v史上幾個(gè)大分析家之一。小時(shí)候在爸爸的教導(dǎo)下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。拉格朗日，拉普拉斯經(jīng)常和他父親交往，預(yù)言柯西將來會(huì)成為大人物。年柯西進(jìn)入理工科大學(xué)，年牙齒了那里的教授。年，在拉普拉斯和波阿松的鼓勵(lì)下，柯西出版了分析教程、無窮小計(jì)山講義、無窮小計(jì)山應(yīng)用于幾何的牙齒劃時(shí)代的著作。他對(duì)分析學(xué)的一系列基本概念提出了嚴(yán)格的定義。柯西的極限定義至今仍被廣泛使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)之和等概念也建立在比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。今天所謂的柯西定義或方法是半個(gè)世紀(jì)后經(jīng)過伯特蘭斯的加工而完成的?？挛鲿r(shí)代錯(cuò)誤的嚴(yán)格理論還沒有