1、,2,實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？,問題的實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最劇烈的方向（即梯度方向）爬行,一、問題的提出,3,討論函數(shù) 在一點P沿某一方向的變化率問題,二、方向?qū)?shù)的定義,（如圖）,4,當 沿著 趨于 時，,是否存在？,5,記為,6,(2)方向?qū)?shù)的等價定義,設與l同方向的單位向量為el(cos cos),7,8,9,10,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除

2、以,得到,定理 如果函數(shù)zf(x, y)在點P (x y)可微分, 那么函數(shù)在該點沿任一方向l (el(cos cos)的方向?qū)?shù)都存在, 且有,11,故有方向?qū)?shù),12,解,例2. 求函數(shù),在點P(2, 3)沿曲線,朝 x 增大方向的切向量方向的方向?qū)?shù).,解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為,它在點 P 的切向量為,14,解,由方向?qū)?shù)的計算公式知,15,故,16,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,17,則等價的方向?qū)?shù)定義,18,例4 求f(x y z)xyyzzx在點(1 1 2)沿方向l的方向?qū)?shù) 其中l(wèi)的方向角分別為60 45 60,解,與l同向的單位向量為,因為函數(shù)可微分 且,所以,fx

3、(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3,fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3,fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2,20,解,令,故,方向余弦為,21,故,22,三、梯度的概念,23,設與l同方向的單位向量為el(cos cos),24,結(jié)論,25,在幾何上 表示一個曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在xoy面上投影如圖,等高線,梯度為等高線上的法向量,26,等高線的畫法,播放,27,例如,28,梯度與等高線的關(guān)系：,29,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),30,于是 grad f(

4、1, 1, 2),例7設f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2),解,grad f(fx, fy, fz),(2x, 2y, 2z),(2, 2, 4),32,解,由梯度計算公式得,故,數(shù)量場與向量場 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場.,如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場.,一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定.,一個向量場可用一個向量函數(shù)F(M)來確定, 而 F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k, 其中P(M), Q(M),

5、R(M)是點M的數(shù)量函數(shù).,勢與勢場 向量函數(shù)gradf(M)確定了一個向量場(梯度場), 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的. 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢, 而這個向量場又稱為勢場. 必須注意, 任意一個向量場不一定是勢場, 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場.,數(shù)量場與向量場 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場.,如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M, 都有一個確定的向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場.,36,1、方向?qū)?shù)的概念,2、梯度的概念,3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）,（注意梯度是一個向量）,四、小結(jié),37,38,思考題,39,思考題解答,40,41,練 習 題,42,43,練習題答案,44,等高線的畫