1、理論力學(II),第一章,非慣性系中的質(zhì)點動力學,前面講過, 牛頓第二定律只適用于慣性系. 如果在非慣性系內(nèi)建立動力學方程, 則質(zhì)量與非慣性系下的加速度乘積的度量, 除了與真實力有關(guān), 還與非慣性系下產(chǎn)生的各種慣性力有關(guān). 由牛頓第二定律和運動學的加速度合成公式, 有:,1 1 非慣性系中質(zhì)點動力學的基 本方程,例一 . (書上P2 例11) 單擺的擺長為L, 小球的質(zhì)量為m , 其懸掛點O以加速度 ao 向上運動. 求此單擺的微振動周期.,例二. ( 參見書上 習 1 4 ) 質(zhì)點M其質(zhì)量為m, 被限制在旋轉(zhuǎn)面容器內(nèi)光滑的經(jīng)線AOB運動. 旋轉(zhuǎn)面容器繞其幾何軸Oz 以勻角速度 轉(zhuǎn)動.求: M

2、點相對靜止處曲線的切線斜率與回轉(zhuǎn)半徑r 的關(guān)系. 如果r為任意值時M點都靜止, 求旋轉(zhuǎn)面經(jīng)線AOB的形狀.,習 1 5 . 圖示一離心分離機的鼓室, 鼓室的半徑為R , 高為H . 以勻角速度 繞 Oy軸轉(zhuǎn)動. 當鼓室無蓋時, 為使被分離的液體不致溢出. 試求: 鼓室旋轉(zhuǎn)時, 在平面內(nèi)液面所形成的曲線形狀. 注入液體的最大高度H .,認識地球上的 科氏慣性力,在非慣性系下的力學系統(tǒng), 無論處于什么狀態(tài), ( 靜止、運動 ) 必存在著慣性力. 這些慣性力所產(chǎn)生的力學效應(yīng), 可以通過相關(guān)的儀器測出, 或可以通過人的感官感覺到. 公共汽車在轉(zhuǎn)彎的時候?qū)嚿系奈矬w作用有離心慣性力, 這已是常識. 還有

3、一些感覺是一般人體會不到的 . 飛機加速上升, 使人身上的血往下流, 腦中失血, 眼睛失明 這就是飛行中的 黑暈 現(xiàn)象. 飛機加速下降, 使人身上的血往上流, 腦中充血, 眼睛紅視 這就是飛行中的 紅視 現(xiàn)象.,地球本身就是一非慣性系, 而且是一有轉(zhuǎn)動的非慣性系. 所以, 嚴格地講,以地球作為參照系的上的力學現(xiàn)象中, 應(yīng)有牽連慣性力和科氏慣性力的效應(yīng).,如果考察地球上局部空間內(nèi)的力學現(xiàn)象, 把地球的這一部分運動空間視為 勻速直線平動, 則許多力學現(xiàn)象的分析與計算結(jié)果是可用的. 但是, 對于一些精確的力學問題, 以及大尺度的力學問題, 必須考慮相應(yīng)的慣性力.,對于地球上的許多大尺寸的運動學問題,

4、 科氏慣性力的影響不容忽視. 下面, 我們來研究地球上物體的運動與科氏慣性力.,建立地面坐標系如圖示,質(zhì)點相對于地球的運動微分方程為,即為:,( I ) 式的投影方程為:, 自由落體偏東,設(shè)運動初始條件:,將( 1 ) 、( 3 ) 式分別積分:,由初始條件可得: A = 0, B = 0,代入( 2 ) 式整理可得:,其解為:,同理可得:,借助于冪級數(shù), 我們來分析上面的方程.,如果不考慮地球的角速度, 即是略去、 項, 則有:,從這幾組方程可明確得知: 自由落體運動, 在考慮地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)時, 落到地面后位置偏東, 若在精確一點講, 還有一點偏南(北半球) 或偏北( 南半球) . ( 只有

5、兩極處無此現(xiàn)象 ), 豎直上拋物體落點偏西,若去掉 以上的項則有:,( 物體返回地面 ),( 落地偏西 ),1 2 非慣性系中的動能定理,前面我們使用的動能定理是在慣性參考系下成立的, 它只適合于慣性系. 對于在非慣性系下運動的物體, 質(zhì)點在此參考系下的動能的變化, 除與真實力的功有關(guān), 還與慣性力的功有關(guān).,質(zhì)點的相對運動的動力學方程可以寫為:,將(A)式兩端同乘,注意:,兩端積分可得:,質(zhì)點在非慣性系中的動能的微分, 等于作用于質(zhì)點上的真實力與牽連慣性力在相對運動中的元功之和.,質(zhì)點在非慣性系中的相對動能的改變量, 等于作用于質(zhì)點上的真實力與牽連慣性力在相對運動的路程上所作的功之和.,例14 一平板與水面成角, 板上有一質(zhì)量為 m 的小球, 如圖示. 若不計摩擦等阻力, 問平板以多大的加速度向右平移時, 小球能保持相對靜止? 若平板又以這個速度的兩倍向右平移時, 小球沿板向上運動. 問小球沿板走了l 距離后, 小球的相對速度是多少?,解: (1) 令板向右平移, 則無科氏慣 性力.,若相對靜止, 則受力如圖,由幾何法可得:,則牽連慣性力,由相對運動的動能定理:,例 1 5 半徑為 R 的環(huán)形管, 繞鉛垂軸 z 以勻角速度 轉(zhuǎn)動. 管內(nèi)有一質(zhì)量為 m 的小球, 原在最低處平衡.