1、1.1回歸分析的基本思想及其初步應用,必修3(第二章 統(tǒng)計)知識結(jié)構(gòu),收集數(shù)據(jù) (隨機抽樣),整理、分析數(shù)據(jù)估計、推斷,簡單隨機抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣,用樣本估計總體,變量間的相關(guān)關(guān)系,用樣本的頻率分布估計總體分布,用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征,線性回歸分析,1、兩個變量的關(guān)系,不相關(guān),相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系，是一般關(guān)系）,函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系，是理想型關(guān)系）,線性相關(guān),非線性相關(guān),問題1：現(xiàn)實生活中兩個變量間的關(guān)系有哪些呢？,相關(guān)關(guān)系：對于兩個變量，當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系。,現(xiàn)實生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系,如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)

2、數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費； 家庭的支出與收入，等等.,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,施化肥量,水稻產(chǎn)量,探究1：如下表某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否有一個確定性的關(guān)系？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近.,探究2：在這些點附近可畫不止一條直線，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？,散點圖,施化肥量,水稻產(chǎn)量,問題2：對于線性相關(guān)的兩個變量用什么方法來刻劃之間的關(guān)系呢？,2、最小二乘估計,最小二乘估計下的線性回歸方程：,回歸直線必過樣本點的中心,3、回歸分析的基本步驟:,畫

3、散點圖,求回歸方程,預報、決策,這種方法稱為回歸分析.,回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計 分析的一種常用方法.,練習 下表提供了某廠節(jié)油降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對應數(shù)據(jù). （1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程,（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？ （參考數(shù)值：32.5+43+54+64.566.5）,2.回歸方程：,由于所有的樣本點不共線，而只是散布在

4、某一直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可以用線性回歸模型來表示：,其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差.,函數(shù)模型與“回歸模型”的關(guān)系,函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x確定 回歸模型： 預報變量y完全由解釋變量x和隨機誤差e確定,當變量x取 時，回歸方程的 與實際收集到的 之間的偏差是,問題二：在線性回歸模型中，e是用bx+a預報真實值y的隨機誤差， 它是一個不可觀測的量，那么應如何研究隨機誤差呢？,結(jié)合例1除了身高影響體重外的其他因素是不可測量的，不能希望有某種方法獲取隨機誤差的值以提高預報變量的估計精度，但卻可以估計預報變量觀測值中所包含的隨機誤差，這對我們查找樣本數(shù)據(jù)中的錯誤和模型的

5、評價極為有用，因此在此我們引入殘差概念。,e=y-(bx+a),稱為殘差平方和.,注：e 產(chǎn)生的主要原因： (1)所用確定性函數(shù)不恰當； (2)忽略了某些因素的影響； (3)觀測誤差。,思考:產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？,問題三：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯誤？如何衡量隨機模型的擬合效果？,(1)我們可以通過分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷建立模型的擬合效果。,殘差圖的制作和作用： 制作：坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇. 橫軸為編號：可以考察殘差與編號次序之間的關(guān)系， 常用于調(diào)查數(shù)據(jù)錯誤. 橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關(guān)系，常用于研究模型是否有改進的余地. 作用：判斷模型的適用

6、性若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域.,下面表格列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。,隨機誤差的估計值為：,殘差圖的制作及作用。 坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 對于遠離橫軸的點，要特別注意。,身高與體重殘差圖,幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較

7、合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。,誤差與殘差，這兩個概念在某程度上具有很大的相似性， 都是衡量不確定性的指標，可是兩者又存在區(qū)別。 誤差與測量有關(guān)，誤差大小可以衡量測量的準確性，誤差越大則表示測量越不準確。誤差分為兩類：系統(tǒng)誤差與 隨機誤差。其中，系統(tǒng)誤差與測量方案有關(guān)，通過改進測量方案可以避免系統(tǒng)誤差。隨機誤差與觀測者，測量工具，被觀測物體的性質(zhì)有關(guān)，只能盡量減小，卻不能避免。 殘差與預測有關(guān)，殘差大小可以衡量預測的準確性。殘差越大表示預測越不準確。殘差與數(shù)據(jù)本身的分布特性，回歸方程的選擇有關(guān)。,注：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線

8、性模型中，它代表 自變量刻畫預報變量的能力。,相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越強；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱 注:b 與 r 同號 問題：達到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？,相關(guān)系數(shù),正相關(guān)；負相關(guān)通常： r-1,-0.75-負相關(guān)很強; r0.75,1正相關(guān)很強; r-0.75,-0.3-負相關(guān)一般; r0.3, 0.75正相關(guān)一般; r-0.25, 0.25-相關(guān)性較弱;,對r進行顯著性檢驗,R2 0.64，解析變量對總效應約貢獻了64%，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。 所以，身高

9、對體重的效應比隨機誤差的效應大得多 r=0.8 說明身高對體重的正相關(guān)強,；,一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。,（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）。,（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.,（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。,（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。,問題五：歸納建立回歸模型的基

10、本步驟,問題六：若兩個變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系，如何解決？ （分析例2）,例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：,（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。 （2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？,畫散點圖,假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a,選 模 型,方法一：一元函數(shù)模型,假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a,所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,當x=28時，y =19.8728-463.73 93,y= c1 x2+c2 變換 y= c1 t+c2 非線性關(guān)系 線性關(guān)系,t=x2,方法二，二元

11、函數(shù)模型,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,變換 y=bx+a 非線性關(guān)系 線性關(guān)系,對數(shù),方法三：指數(shù)函數(shù)模型,由計算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程 相關(guān)指數(shù) 因此y關(guān)于x的非線性回 歸方程為,當x=28 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98%的產(chǎn)卵數(shù)的變化,r=0.9899說明y與x成正相關(guān)，相關(guān)性很強,最好的模型是哪個?,顯然，指數(shù)函數(shù)模型最好！,利用殘差計算公式：,由殘差平方和：,故指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果比二次函數(shù)的模擬效果好.,或由條件R2分別為0.98和0.80，同樣可得它們的效果.,在散點圖中，樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩

12、個變量之間的關(guān)系.,令z=lny，則變換后樣本點應該分布在直線z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周圍.,利用線性回歸模型建立y和x之間的非線性回歸方程.,當回歸方程不是形如y=bx+a時，我們稱之為非線性回歸方程.,根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線 的周圍，其中c1和c2是待定參數(shù).,高考連接（2011年安徽）某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：,（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程 （2）利用（1）中所求出的直線方程預測該地2012年的糧食需求量,數(shù)據(jù)處理如下：,回歸分析的基本思想及其初步應用,探索無止境,探索無止境,探索無止境

13、,探索無止境,課堂知識延伸,我們知道，刑警如果能在案發(fā)現(xiàn)場提取到罪犯的腳印，即將獲得一條重要的破 案線索，其原因之一是人類的腳掌長度和身高存在著相關(guān)關(guān)系，可以根據(jù)一個人的 腳掌長度來來預測他的身高 我們還知道，在統(tǒng)計史上，很早就有人收集過人們的身高、前臂長度等數(shù)據(jù)， 試圖尋找這些數(shù)據(jù)之間的規(guī)律 在上述兩個小故事的啟發(fā)下，全班同學請分成一些小組，每組4-6名同學，在老 師的指導下，開展一次數(shù)學建模活動，來親自體驗回歸分析的思想方法，提高自己的 實踐能力。,數(shù)學建模的題目是：收集一些周圍人們的腳掌長度、前臂長度中的一個數(shù)據(jù)及其身高，來作為兩個變量畫散點圖，如果這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，就求出回歸直線方程，另選一個人的這兩個變量的數(shù)據(jù)，作一次預測，并分析預測結(jié)果。 最后以小組寫出數(shù)學建模報告，報告要求過程清晰，結(jié)論明確，有關(guān)數(shù)學論述準 確，以下兩個問題需要注意： （1）如果腳掌長度不方便，可改量腳印的長度。 （2）數(shù)據(jù)盡量取得分散一些。,練習1：下表是某廠1到4月份用水量（單位：百噸）的