1、普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材傅里葉光學(xué)第2版電子教案,周哲海 呂乃光 編著,機(jī)械工業(yè)出版社,第五章 光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性,本章主要內(nèi)容,1、透鏡的成像性質(zhì) 2、成像系統(tǒng)的一般分析 3、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 5、像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響 6、相干和非相干成像系統(tǒng)的比較 7、光學(xué)鏈*,0、序 言,光學(xué)成像系統(tǒng)是信息傳遞的系統(tǒng): 光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）從物平面?zhèn)鞑サ较衿矫妫敵鱿竦馁|(zhì)量完全取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。,輸入圖像信息 （圖像的細(xì)節(jié)、對(duì)比、色彩等）,物平面,像平面,光學(xué)系統(tǒng),輸出圖像信息,（傳遞特性

2、）,在一定條件下，成像系統(tǒng)可看作空間不變的線性系統(tǒng)，因而可以用線性系統(tǒng)理論來研究它的性能。將線性系統(tǒng)理論與傅里葉分析方法相結(jié)合，可以全面研究系統(tǒng)的空間頻率特性或傳遞函數(shù)。 20世紀(jì)50年代，霍普金斯完整提出了光學(xué)傳遞函數(shù)的概念和處理方法。它是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的科學(xué)方法，并成為成像理論的重要基礎(chǔ)。,1、透鏡的成像性質(zhì),回顧一下，透鏡為什么具有傅里葉變換和成像功能？ 什么是成像？ 所謂成像就是指照明一個(gè)置于透鏡之前的物體，使其經(jīng)由透鏡在另一位置出現(xiàn)與物體非常相似的光場(chǎng)強(qiáng)度分布。 所成的像包括實(shí)像和虛像兩類。,1、透鏡的成像性質(zhì),本節(jié)只討論最簡(jiǎn)單的情況：?jiǎn)紊庹彰飨?，一個(gè)薄的無像差的正透

3、鏡對(duì)透射物體成實(shí)像。,分析思路： 按照光波的傳播方向，逐面確定光場(chǎng)分布，從而確定出系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，即,1、透鏡的成像性質(zhì),利用菲涅耳衍射公式，可得,又知，透鏡的復(fù)振幅透過率為,則透鏡后的透射場(chǎng)分布為,Step 1：,1、透鏡的成像性質(zhì),光波傳播距離di，再次利用菲涅耳衍射公式，可確定Ui，,Step 2：,1、透鏡的成像性質(zhì),將 代入上式，并進(jìn)行整理，舍棄常數(shù)位相因子，可得到,若滿足成像關(guān)系，則為1,該位相因子不再依賴于(x0,y0)，可以舍去！, 若點(diǎn)物產(chǎn)生的響應(yīng)是一個(gè)很小的像斑。,1、透鏡的成像性質(zhì),于是，上式得到簡(jiǎn)化,其中，G0是U0的傅里葉變換。上式表明成像過程經(jīng)歷了兩次傅里葉變換

4、，物的頻率成分在傳遞過程中將受到有限大小光瞳的截取。,由于,并且令光瞳函數(shù)的傅里葉變換為,1、透鏡的成像性質(zhì),則利用卷積定理有,根據(jù)光波傳播的線性性質(zhì)，Ui可由下述疊加積分表示,將兩式進(jìn)行對(duì)比，有 1）幾何光學(xué)理想像點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足 2） 可看做系統(tǒng)脈沖響應(yīng)，而且,1、透鏡的成像性質(zhì),定義一個(gè)新函數(shù)表示幾何光學(xué)的理想像，即,假如不考慮衍射效應(yīng)，即認(rèn)為透鏡孔徑無限大，此時(shí)P(,)=1，則,此時(shí)， （1）系統(tǒng)脈沖響應(yīng)是函數(shù)，即點(diǎn)物可成點(diǎn)像； （2）幾何光學(xué)的理想像是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)，它的像平面是倒立的，而且 尺寸經(jīng)過縮放。,1、透鏡的成像性質(zhì),實(shí)際上，必須考慮透鏡有限孔徑產(chǎn)生的衍射效應(yīng)，此時(shí),顯然，脈

5、沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯和菲衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn),輸出光場(chǎng)為,像的光場(chǎng)分布是幾何光學(xué)理想像和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積。,(產(chǎn)生放大或縮小的幾何像）,* 因此整個(gè)成像過程可描述為下圖：前一過程實(shí)現(xiàn)圖像的縮放，后一過程實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算，會(huì)損失信息。,1、透鏡的成像性質(zhì),（1）上述卷積關(guān)系表明，由透鏡構(gòu)成的成像系統(tǒng)可看作是線性空間不變系統(tǒng)，其輸入物和輸出像之間的關(guān)系由卷積積分確定。,（2）可以從疊加性質(zhì)和不變性兩方面理解卷積成像的物理意義，右圖是卷積成像的示意圖。,2、成像系統(tǒng)的一般分析,任意的成像系統(tǒng)都可以分成三個(gè)部分，即從物面到入瞳的第一部分，從入瞳到出瞳的第二部分和從出瞳到像面的第三部分； 光

6、波在一、三部分的傳播可按菲涅耳衍射討論； 對(duì)于第二部分即透鏡系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它看作“黑箱”，只要能夠確定它兩端的邊端性質(zhì)，整個(gè)透鏡組的性質(zhì)就可以確定下來。 對(duì)于實(shí)際的透鏡組，邊端性質(zhì)差別很大，但總可以分為兩類：衍射受限系統(tǒng)和有像差系統(tǒng)。,2.1 成像系統(tǒng)的普遍模型,2、成像系統(tǒng)的一般分析,衍射受限系統(tǒng)是指系統(tǒng)可以不考慮像差的影響，僅僅考慮光瞳產(chǎn)生的衍射限制。它的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會(huì)聚球面波。 有像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)是：物面上任一點(diǎn)光源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，通過透鏡組后，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。,2、成像系統(tǒng)的一

7、般分析,2.2 阿貝成像理論,1873年，阿貝基于對(duì)顯微鏡成像的研究，提出了其衍射成像理論。它認(rèn)為成像過程包括兩次衍射過程： 從物體到透鏡焦平面的一次衍射夫朗和費(fèi)衍射：受物體調(diào)制的光場(chǎng)復(fù)振幅分布被分解為各頻譜分量； 從透鏡焦平面到像面的二次衍射：各頻譜分量又復(fù)合為像。,2、成像系統(tǒng)的一般分析,實(shí)際上，兩次衍射過程也是兩次傅里葉變換過程，即從物面到焦平面的傅立葉變換，焦平面就是頻譜面； 從焦平面到像面的傅里葉逆變換。,物面 透鏡 焦平面 像面,傅里葉變換,傅里葉逆變換,根據(jù)之前的分析，因?yàn)橥哥R有限孔徑大小的緣故，光學(xué)系統(tǒng)類似于一個(gè)低通濾波器，濾掉物體的高頻成分，而只讓一定范圍內(nèi)的低頻成分通過系統(tǒng)

8、，所以光學(xué)系統(tǒng)不能傳遞物面的全部信息，像并不是物體的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。,2、成像系統(tǒng)的一般分析,2.3 單色光照明的衍射受限系統(tǒng),當(dāng)單色光照明時(shí)，由于光波傳播的線性性質(zhì)，像面復(fù)振幅分布可以用疊加積分表示：,其中，U0是物面復(fù)振幅分布，h是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，它表示(x0,y0)處的點(diǎn)源在像平面(xi,yi)處產(chǎn)生的復(fù)振幅。,2、成像系統(tǒng)的一般分析,對(duì)于衍射受限系統(tǒng)，h是由從出瞳向理想像點(diǎn)(Mx0,My0)會(huì)聚的球面波產(chǎn)生的。由系統(tǒng)的邊緣性質(zhì)，出瞳面上受到出瞳大小限制的會(huì)聚球面波的旁軸近似是：,在像面上產(chǎn)生的光場(chǎng)分布可由菲涅耳公式寫出,2、成像系統(tǒng)的一般分析,結(jié)果表明，單色光照明時(shí)，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是

9、光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫朗和費(fèi)衍射圖樣，其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn)(Mx0,My0)處。而且該表達(dá)式表明該脈沖響應(yīng)具有空間不變性！ 根據(jù)前面的分析，不難確定像的復(fù)振幅分布Ui是幾何光學(xué)預(yù)言的理想像Ug與系統(tǒng)出瞳所確定的復(fù)振幅脈沖響應(yīng)h的卷積：,將U(,)代入上式并進(jìn)行整理，最終得到,其中， 是理想像的坐標(biāo)，M為系統(tǒng)放大率，,2、成像系統(tǒng)的一般分析,2.4 非單色光照明,實(shí)際的照明光源絕不是理想單色的。事實(shí)上，照明光束的振幅和位相隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，將會(huì)對(duì)成像系統(tǒng)的性能產(chǎn)生重要影響。,非單色光照明時(shí)，xy平面光擾動(dòng)隨時(shí)間變化，可以用復(fù)值函數(shù)u(x,y;t)表示,其中， 是光波的平均頻率，U(x,y;t

10、)稱為相幅矢量，是空間和時(shí)間坐標(biāo)的函數(shù)。,當(dāng)采用非單色光照明物體時(shí)，每一物點(diǎn)的振幅和位相隨時(shí)間作無規(guī)則變化；在像平面，與每一物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)也將隨時(shí)間作無規(guī)則變化。最終像的強(qiáng)度分布將取決于這些脈沖響應(yīng)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，也正是取決于物面上被照明各點(diǎn)振幅和位相的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。,2、成像系統(tǒng)的一般分析,考慮兩種典型的物體照明方式：空間相干和非相干照明。 相干成像系統(tǒng)對(duì)復(fù)振幅是線性的，可直接利用單色光照明的分析結(jié)果； 非相干成像系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)度這一物理量是線性的，強(qiáng)度變換的脈沖響應(yīng)正比于相干系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的平方。,3、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),3.1 相干傳遞函數(shù),相干成像系統(tǒng)的物像關(guān)系由卷積積分描述，即

11、,其中，,M為系統(tǒng)放大倍數(shù)， Ug是幾何光學(xué)理想成像的復(fù)振幅分布， 是復(fù)振幅脈沖響應(yīng)(或相干脈沖響應(yīng)）。,衍射受限的相干傳遞系統(tǒng)對(duì)于復(fù)振幅的傳遞是線性空間不變系統(tǒng)。,3、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),下面從頻域的角度來分析成像過程： 選擇復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基元物分布，考察系統(tǒng)對(duì)各種頻率成份的傳遞特性。定義系統(tǒng)的輸入頻譜Gg(fx,fy)和輸出頻譜Gi(fx,fy)分別為,把相干脈沖響應(yīng)的傅里葉變換定義為相干傳遞函數(shù)(CTF )，即,則三者具有如下關(guān)系：,Hc表征了衍射受限的相干成像系統(tǒng)在頻域中的作用，它使輸入頻譜轉(zhuǎn)換為輸出頻譜。Hc決定于系統(tǒng)本身的物理結(jié)構(gòu)，其與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系為,3、衍

12、射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),相干傳遞函數(shù) (CTF ) Hc為,相干傳遞函數(shù)正比于經(jīng)過坐標(biāo)反射的光瞳函數(shù)； 考慮實(shí)際光瞳的有限大小，光瞳函數(shù)總是取0和1兩個(gè)值，所以相干傳遞函數(shù)也是如此。也就是說系統(tǒng)是一個(gè)低通濾波器，系統(tǒng)在頻域中有一個(gè)有限的通頻帶，此通帶內(nèi)全部頻譜分量通過系統(tǒng)時(shí)不產(chǎn)生振幅和位相畸變，通帶以外的頻譜分量不能通過系統(tǒng)。 也可以借用單色光場(chǎng)傳播的角譜方法來解釋相干傳遞系統(tǒng)在頻域的響應(yīng)。,相干傳遞函數(shù)為： 光瞳本身的透過率函數(shù)就是頻域的傳遞函數(shù)：,傾角(x,y)超過某一范圍的平面波分量將被系統(tǒng)濾出，即超過某一頻率范圍的平面波將被系統(tǒng)濾出，如右圖所示。,3、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻

13、率響應(yīng),3.2 相干傳遞函數(shù)的計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例,例1 衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是邊長(zhǎng)為l的正方形，光瞳函數(shù)是,則相干傳遞函數(shù)為,其中， 為截止頻率。,3、衍射受限的相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),例2 衍射受限的相干成像系統(tǒng)，其出瞳是直徑為l的圓形孔徑，光瞳函數(shù)是,其中， 為截止頻率。,則相干傳遞函數(shù)為,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),4.1 非相干照明時(shí)的物像關(guān)系式,非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度變換的線性系統(tǒng)，物像關(guān)系滿足如下卷積積分,其中， k是實(shí)常數(shù)； Ig是幾何光學(xué)理想像的強(qiáng)度分布； Ii為像的強(qiáng)度分布； hi是光強(qiáng)度脈沖響應(yīng)(或非相干脈沖響應(yīng)、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù))，它是點(diǎn)物產(chǎn)生的衍射光斑的強(qiáng)度分

14、布，而且有,上式卷積積分關(guān)系表明，把點(diǎn)源作為輸入的基元物，它將在像面上產(chǎn)生以幾何光學(xué)理想像點(diǎn)為中心的像斑，物體上所有點(diǎn)源產(chǎn)生的像斑按強(qiáng)度疊加的結(jié)果就給出像面的強(qiáng)度分布。,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),4.2 光強(qiáng)的空間頻譜,由于光強(qiáng)脈沖響應(yīng)hI是實(shí)函數(shù)，余弦函數(shù)是非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)；因而可以選擇余弦的光強(qiáng)分量作為基元物。,定義Ag(x,y)和Ai (x,y)分別為輸入光強(qiáng)頻譜和輸出光強(qiáng)頻譜，即,對(duì)應(yīng)的歸一化光強(qiáng)頻譜為,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),4.3 光學(xué)傳遞函數(shù)的定義及物理意義,(卷積定理),其中，HI是光強(qiáng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換，對(duì)于零頻成分則有：,定義非相干成

15、像系統(tǒng)的歸一化傳遞函數(shù)為,通常把它稱為非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)(OTF)，它描述了非相干成像系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)。,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),因?yàn)镺TF通常是復(fù)函數(shù)，所以可表示為,其中，,調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF),相位傳遞函數(shù)(PTF),MTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量對(duì)比度的傳遞特性，而PTF描述系統(tǒng)對(duì)各頻率分量施加的相移。,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),4.4 OTF與CTF的聯(lián)系,CTF和OTF分別是描述同一成像系統(tǒng)采用相干照明和非相干照明時(shí)的傳遞函數(shù)，它們都取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，所以兩者之間必然存在一定的聯(lián)系。聯(lián)系的紐帶就是：,其中，CTF和OTF分別定義為,利用傅

16、里葉變換的自相關(guān)定理不難得出,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),4.5 衍射受限系統(tǒng)的OTF,已知OTF為,對(duì)于相干照明的衍射受限系統(tǒng)，已知,則得到上述OTF的表達(dá)式為,衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)。 幾何解釋：分母是光瞳的總面積S0，分子代表中心為(-difx,dify)的經(jīng)過平移的光瞳與原光瞳的重疊面積S(fx,fy)，求衍射受限的OTF只不過是歸一化的重疊面積的計(jì)算問題：,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),衍射受限系統(tǒng)的OTF的幾何解釋和一些特性：,(1) H(fx,fy)非負(fù)，因此系統(tǒng)只改變個(gè)頻率分量的調(diào)制度，而不產(chǎn)生相移，它只需要計(jì)算MTF,(2) H

17、(0,0)=1,(3) H(0,0)H(fx,fy),4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),4.6 衍射受限系統(tǒng)的OTF計(jì)算和運(yùn)用實(shí)例,例1 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)，其出瞳為邊長(zhǎng)為l的正方形，求其OTF,Answer:,f0是同一系統(tǒng)采用相干照明時(shí)的截止頻率,4、衍射受限的非相干成像系統(tǒng)的頻率響應(yīng),例2 衍射受限的非相干成像系統(tǒng)，其出瞳為直徑為l的圓形孔徑，求其OTF,是用極坐標(biāo)表示的空間頻率坐標(biāo)；非相干截止頻率為相干,的兩倍。,其中，,截止頻率,5、像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響,當(dāng)系統(tǒng)必須考慮像差時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)則不同，在相干和非相干照明下，傳遞函數(shù)往往是復(fù)函數(shù)，即系統(tǒng)對(duì)各頻率成分的對(duì)

18、比和位相都產(chǎn)生影響。 對(duì)于實(shí)際的有像差的成像系統(tǒng)，可以把物平面分成許多小區(qū)域(等暈區(qū))，在每個(gè)等暈區(qū)里認(rèn)為系統(tǒng)近似是空間不變的，找出相應(yīng)的脈沖效應(yīng)和傳遞函數(shù)。,5.1 廣義光瞳函數(shù) 系統(tǒng)像差的效應(yīng)集中表現(xiàn)為出瞳面上波前對(duì)于理想球面的偏離，其大小 用波像差,表示。像差所產(chǎn)生的位相偏差為,以及光瞳孔徑對(duì)出射波前大小的限制,可以合并起來考慮，用廣義光瞳函數(shù)來表示，即,5、像差對(duì)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響,5.2 像差對(duì)CTF的影響,根據(jù)CTF的定義，不難得到,上式表明，考慮像差以后，相干成像系統(tǒng)的通頻帶沒有改變，但在通頻帶內(nèi)引入了位相畸變，使像質(zhì)變壞。,5.3 像差對(duì)OTF的影響,考慮像差時(shí)，利用廣義光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)函數(shù)計(jì)算OTF,各空間頻率余弦分量的調(diào)制度進(jìn)一步降低，且由于系統(tǒng)PTF的影響，使各頻率分量有相對(duì)相移，于是成像質(zhì)量下降。,由于,6、相干與非相干成像系統(tǒng)的比較,截止頻率：OTF的截止頻率是CTF截止頻率的兩倍，但前者是對(duì)強(qiáng)度而言，后者是對(duì)復(fù)振幅而言的，兩者由于對(duì)應(yīng)物理量不同，不能從數(shù)值上簡(jiǎn)單比較。成像好壞也與物體本身有關(guān)。 兩點(diǎn)分辨率：根據(jù)瑞利分辨率判據(jù)，對(duì)兩個(gè)等強(qiáng)度的非相干點(diǎn)光源