1、第十九章 達(dá)朗貝爾原理,達(dá)朗貝爾原理 剛體慣性力系的簡化,前面介紹的動力學(xué)普遍定理, 為解決質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了一種普遍的方法。達(dá)朗貝爾原理為解決非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點是：用靜力學(xué)研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題, 因此這種方法又叫動靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問題的方法比較簡單, 也容易掌握, 因此動靜法在工程中被廣泛使用。,引言,設(shè)一質(zhì)點質(zhì)量為m, 加速度為a, 作用于質(zhì)點的主動力為F, 約束反力為FN 。由牛頓第二定律，有,將上式改寫成,令,19.1 質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理,FI具有力的量綱, 且與質(zhì)點的質(zhì)量有關(guān)，稱其為質(zhì)點的慣性力。它的大小等于

2、質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積, 方向與質(zhì)點加速度的方向相反。,即：在質(zhì)點運(yùn)動的任一瞬時, 作用于質(zhì)點上的主動力、約束反力和假想加在質(zhì)點上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理。,則有,應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，質(zhì)點并非處于平衡狀態(tài)，這樣做的目的是將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題求解。達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)。,19.1 質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理,例1 球磨機(jī)的滾筒以勻角速度w 繞水平軸O轉(zhuǎn)動, 內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料, 鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁, 然后沿拋物線軌跡自由落下, 從而擊碎物料, 如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r, 試求鋼球的脫離角a。,解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球為研究對

3、象, 受力如圖。鋼球未脫離筒壁前, 作圓周運(yùn)動, 其加速度為,慣性力FI的大小為,假想地加上慣性力, 由達(dá)朗貝爾原理,O,M,r,w,a,q,這就是鋼球在任一位置q 時所受的法向反力, 顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時, FN0 , 由此可求出其脫離角a為,設(shè)質(zhì)點系由 n 個質(zhì)點組成, 其中任一質(zhì)點i的質(zhì)量為mi, 其加速度為ai, 把作用在此質(zhì)點上的力分為主動力的合力Fi、約束力的合力為FNi，對這個質(zhì)點上假想地加上它的慣性力FIi-miai , 則由質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理, 有,19.2 質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,即：質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達(dá)朗貝

4、爾原理。,把作用在第i個質(zhì)點上的所有力分為外力的合力為Fi(e), 內(nèi)力的合力為Fi(i)，則有,19.2 質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,質(zhì)點系中第個質(zhì)點上作用的外力、內(nèi)力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。由靜力學(xué)知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對于任一點的主矩等于零，即,因為質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對出現(xiàn), 且等值、反向、共線, 因此有Fi(i) = 0和MO(Fi(i) = 0, 于是的有,即：作用在質(zhì)點系上的所有外力與虛加在每個質(zhì)點上的慣性力在形式上組成平衡力系。這是質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理的又一表述。,19.2 質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,稱FIi為慣性力系的主矢， MO(FIi)為慣性力系的主

5、矩。,例2 重P長l的等截面均質(zhì)細(xì)桿AB, 其A端鉸接于鉛直軸AC上, 并以勻角速度w 繞該軸轉(zhuǎn)動, 如圖。求角速度w 與角q 的關(guān)系。,解：以桿AB為研究對象, 受力如圖。,桿AB勻速轉(zhuǎn)動, 桿上距A點x 的微元段dx 的加速度的大小為,微元段的質(zhì)量dmPdx/gl。在該微元段虛加慣性力dFI, 它的大小為,x,dx,dFI,an,q,w,B,A,C,y,x,q,B,A,x,d,P,FAx,FAy,FI,于是整個桿的慣性力的合力的大小為,設(shè)力FI 的作用點到點A的距離為d, 由合力矩定理, 有,即,假想地加上慣性力, 由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,q,B,A,x,d,P,FAx,FAy,FI,代入

6、FI 的數(shù)值, 有,故有q0或,例 3 已知：m ，R， 。求：輪緣橫截面的張力。,解： 取上半部分輪緣為研究對象,用質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理求解質(zhì)點系的動力學(xué)問題，需要對質(zhì)點內(nèi)每個質(zhì)點加上各自的慣性力，這些慣性力也形成一個力系，稱為慣性力系。下面用靜力學(xué)力系簡化理論，求出慣性力系的主矢和主矩。,以FIR表示慣性力系的主矢。由質(zhì)心運(yùn)動定理及質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,19.3 剛體慣性力系的簡化,得,此式表明：無論剛體作什么運(yùn)動, 慣性力系的主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積, 方向與質(zhì)心加速度的方向相反。,19.3 剛體慣性力系的簡化,由靜力學(xué)中任意力系簡化理論知，主矢的大小和方向與簡化中心的位

7、置無關(guān)，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。下面就剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動和平面運(yùn)動討論慣性力系的簡化結(jié)果。,剛體平移時，剛體內(nèi)任一質(zhì)點i的加速度ai與質(zhì)心的加速度aC相同，有ai aC，任選一點O為簡化中心，主矩用MIO表示，有,1. 剛體作平移,1. 剛體作平移,19.3 剛體慣性力系的簡化,式中，rC為質(zhì)心C到簡化中心O的矢徑。若選質(zhì)心C為簡化中心，主矩以MIC表示，則rC0，有,綜上可得結(jié)論： 平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力, 其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積,合力的方向與加速度方向相反。,2. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動,如圖所示, 具有質(zhì)量對稱面且繞垂直于質(zhì)量對稱面的軸轉(zhuǎn)動的剛體。其上任一點

8、的慣性力的分量的大小為,方向如圖所示。該慣性力系對轉(zhuǎn)軸O的主矩為,19.3 剛體慣性力系的簡化,FIin,FIit,i,O,MIO,ri,w,a,一般證明,由于FIin通過O點, 則有 MO( FIin )= 0, 所以,即,19.3 剛體慣性力系的簡化,綜上可得結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系, 可以簡化為通過轉(zhuǎn)軸O的一個慣性力FIR和一個慣性力偶MIO。力FIR的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積, 方向與質(zhì)心加速度的方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；力偶MIO的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積, 轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。,現(xiàn)在討論以下三種特殊情況：,2. 當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動時

9、, a0, 若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心, 慣性力系簡化為一慣性力FI , 且FI maC, 同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸O。,1. 當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時, aC0, FI0, MICJCa。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。,3. 當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時, FI0, MIC0, 慣性力系自成平衡力系。,19.3 剛體慣性力系的簡化,3. 剛體作平面運(yùn)動(平行于質(zhì)量對稱面）,工程中，作平面運(yùn)動的剛體常常有質(zhì)量對稱平面，且平行于此平面運(yùn)動。當(dāng)剛體作平面運(yùn)動時，其上各質(zhì)點的慣性力組成的空間力系，可簡化為在質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面力系。,19.3 剛體慣性力系的簡化,取質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面圖形如圖所示, 取質(zhì)心C為基

10、點, 設(shè)質(zhì)心的加速度為aC，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度為w，角加速度為a，與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動相似，此時慣性力系向質(zhì)心C簡化的主矩為,綜上可得結(jié)論：有質(zhì)量對稱平面的剛體，平行于此平面運(yùn)動時，剛體的慣性力系簡化為在此平面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力通過質(zhì)心，其大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積, 其方向與質(zhì)心加速度的方向相反；這個力偶的矩等于剛體對過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積, 轉(zhuǎn)向與角加速度相反。,19.3 剛體慣性力系的簡化,例3 如圖所示, 均質(zhì)桿AB的質(zhì)量m40 kg, 長l4 m, A點以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦, 當(dāng)小車以加速度a15 m/s2向左運(yùn)動時, 求D處和

11、鉸A處的約束反力。,解：以桿為研究對象, 受力如圖, 建立如圖坐標(biāo)。,桿作平動, 慣性力的大小為FIma。假想地加上慣性力, 則由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,于是得,代入數(shù)據(jù), 解之得：,例4 均質(zhì)桿AB長l, 重W, B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶, 借助于細(xì)繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。,解：先以輪和重物為研究對象, 受力如圖。假想地加上慣性力,由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,代入MIB 和FIC得,再以整體為研究對象, 受力如圖, 假想地加上慣性力,代入MIB 和FIC解得,由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,質(zhì)量為m, 長為l的均質(zhì)直桿AB的一端A焊接于半徑為r的

12、圓盤邊緣上, 如圖。今圓盤以角加速度a 繞其中心O轉(zhuǎn)動。求圓盤開始轉(zhuǎn)動時, AB桿上焊接點A處的約束反力。,解：以桿為研究對象, 受力如圖, 建立如圖坐標(biāo)。,將慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化, 慣性力的大小為,由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,將已知數(shù)值代入以上三式, 解之得,例6 重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為q 的斜面向下滾動。求輪心C的加速度, 并求圓輪不滑動的最小摩擦系數(shù)。,解：以圓輪為研究對象, 受力如圖, 建立如圖坐標(biāo)。,圓輪作平面運(yùn)動, 輪心作直線運(yùn)動, 則,將慣性力系向質(zhì)心簡化, 慣性力和慣性力偶矩的大小為,q,C,r,則由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,解之得,由于圓輪沒有滑動, 則Ff N, 即,由此得

13、,所以, 圓輪不滑動時, 最小摩擦系數(shù),例題 9 已知兩均質(zhì)直桿自水平位置無初速地釋放。求兩桿的角加速度和O、A處的約束反力。,解: (1) 取系統(tǒng)為研究對象,(2) 取AB 桿為研究對象,B,A,(3) 取AB 桿為研究對象,(4) 取系統(tǒng)為研究對象,例7 均質(zhì)桿的質(zhì)量為m, 長為2l, 一端放在光滑地面上, 并用兩軟繩支持, 如圖所示。求當(dāng)BD繩切斷的瞬時, B點的加速度AE繩的拉力及地面的反力。,解：以AB桿為研究對象,桿AB作平面運(yùn)動, 如圖, 以B點為基點, 則C點的加速度為,其中,將慣性力系向質(zhì)心C簡化, 得慣性力FIFIeFIr , 其中FIe maB , FIr matCB m

14、la 和慣性力偶, 其力偶的矩為,在BD繩切斷的瞬時, 受力如圖, 建立如圖坐標(biāo)。,由質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理,以B為基點, 則A點的加速度為,其中,將上式投影到x 軸上得,聯(lián)立求解（1）（4）式, 得,例8：如圖所示, 均質(zhì)桿AB長為l, 重為Q, 上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（R=l ）, 下端A以鉸鏈和均質(zhì)圓輪中心A相連, 圓輪重P, 半徑為r, 放在粗糙的地面上, 由靜止開始滾動而不滑動。若運(yùn)動開始瞬時桿與水平線所成夾角 , 求此瞬時A點的加速度。,輪和桿均作平面運(yùn)動, 將慣性力系分別向質(zhì)心簡化, 則慣性力和慣性力偶的矩的大小分別為,解：設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動的初瞬時, 圓輪中心的加速度為 , 角加速度為 ；AB桿的角加速度為 , 質(zhì)心C的加速度為 、 。如圖。,先以整體為研究對象, 受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶,