1、3.1.2 不等式的性質(zhì),湖南省岳陽中學(xué),性質(zhì)1：如果ab，那么bb.,性質(zhì)1表明，把不等式的左邊和右邊交換位置，所得不等式與原不等式異向，我們把這種性質(zhì)稱為不等式的對稱性。,性質(zhì)2：如果ab，bc，那么ac.,證明：根據(jù)兩個正數(shù)之和仍為正數(shù)，得,(ab)+(bc)0 ac0 ac.,這個性質(zhì)也可以表示為cb，ba，則ca. 這個性質(zhì)是不等式的傳遞性。,性質(zhì)3：如果ab，則a+cb+c.,證明：因為ab，所以ab0， 因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，,即 a+cb+c.,性質(zhì)3表明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得的不等式與原不等式同向.,a+bc a+b+(b)c+(b) a

2、cb.,由性質(zhì)3可以得出,推論1：不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊。 （移項法則）,推論2：如果ab，cd，則a+cb+d.,證明：因為ab，所以a+cb+c， 又因為cd，所以b+cb+d，,根據(jù)不等式的傳遞性得 a+cb+d.,幾個同向不等式的兩邊分別相加，所得的不等式與原不等式同向。,推論1：如果ab0，cd0，則acbd.,性質(zhì)4：如果ab，c0，則acbc；如果ab，c0，則acbc.,證明：因為ab，c0，所以acbc， 又因為cd，b0，所以bcbd，,根據(jù)不等式的傳遞性得 acbd。,幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得的

3、不等式與原不等式同向。,推論2：如果ab0，則anbn，(nN+，n1).,證明：因為,個，,根據(jù)性質(zhì)4的推論1，得anbn.,推論3：如果ab0，則， (nN+，n1).,證明：用反證法，假定 ，即 或 ，,根據(jù)性質(zhì)4的推論2和根式性質(zhì)，得ab或a=b，,這都與ab矛盾，因此,例1：應(yīng)用不等式的性質(zhì)，證明下列不等式：,（1）已知ab，ab0，求證： ；,證明：,（1）因為ab0，所以,又因為ab，所以,即,因此,（2）已知ab， cbd；,證明：（2）因為ab，cb，cd，,根據(jù)性質(zhì)3的推論2，得,a+(c)b+(d)，即acbd.,（3）已知ab0，0cd，求證：,證明：（3）因為0cd，

4、根據(jù)（1）的結(jié)論得,又因為ab0，所以,即,例2. 已知ab，不等式:（1）a2b2；（2） ；（3） 成立的個數(shù)是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,A,例3設(shè)A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，則A，B的大小關(guān)系是 。,AB,例4（1）如果30x36，2y6，求x2y及 的取值范圍。,18x2y32，,（2）若3ab1，2c1，求(ab)c2的取值范圍。,因為4ab0，1c24， 所以16(ab)c20,例5若 ，求 的取值范圍。,解：因為f(x)=ax2c,所以,解之得,所以f(3)=9ac=,因為,所以,兩式相加得1f(3) 20.,練習(xí)已知4ab1，14ab5，求9ab的取值范圍。,解：設(shè)9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，,令m+4n=