1、二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的應(yīng)用,應(yīng)用,目的用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).,理論分析,近似計(jì)算,泰勒公式,特點(diǎn):,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分應(yīng)用中已知近似公式 :,需要解決的問(wèn)題,如何提高精度 ?,如何估計(jì)誤差 ?,x 的一次多項(xiàng)式,1. 求 n 次近似多項(xiàng)式,要求:,故,令,則,2. 余項(xiàng)估計(jì),令,(稱為余項(xiàng)) ,則有,公式 稱為 的 n+1 階泰勒公式 .,公式 稱為n+1 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .,泰勒(Taylor)中值定理 :,階的導(dǎo)數(shù) ,時(shí), 有,其中,則當(dāng),泰勒,公式 稱為n+1 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng) .,在不需要余項(xiàng)

2、的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為,注意到,特例:,(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見(jiàn),誤差,稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .,則有,在泰勒公式中若取,則有誤差估計(jì)式,若在公式成立的區(qū)間上,麥克勞林,由此得近似公式,二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,麥克勞林公式,類似可得,其中,其中,麥克勞林公式,已知,其中,因此可得,麥克勞林公式,三、泰勒公式的應(yīng)用,1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用,誤差,M 為,在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,例1. 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值

3、 , 使誤差不超過(guò),解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此,的麥克勞林公式為,2. 利用泰勒公式求極限,例2. 求,解:,由于,用洛必達(dá)法則不方便 !,3. 利用泰勒公式證明不等式,例3. 證明,證:,內(nèi)容小結(jié),1. 泰勒公式,其中余項(xiàng),當(dāng),時(shí)為麥克勞林公式 .,2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式,3. 泰勒公式的應(yīng)用,(1) 近似計(jì)算,(3) 其他應(yīng)用,求極限 , 證明不等式 等.,(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),例如,泰勒多項(xiàng)式逼近,泰勒多項(xiàng)式逼近,思考與練習(xí),計(jì)算,解:,原式,第四節(jié),泰勒 (1685 1731),英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),線性透視論(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,麥克勞林 (1698 1746),英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:,流數(shù)論(1742)