1、新課程高中數(shù)學(xué)選修課：數(shù)學(xué)史選講,數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計,數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計過程,數(shù)學(xué)史專題教學(xué)設(shè)計,可接受性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知水平； 實(shí)用性：數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)應(yīng)與必修課相結(jié)合，或為必修課服務(wù)，或為必修課內(nèi)容之拓展和深入； 科學(xué)性：數(shù)學(xué)史專題的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)符合史實(shí)，教學(xué)設(shè)計應(yīng)符合課程標(biāo)準(zhǔn)及有關(guān)教學(xué)理論； 可操作性：數(shù)學(xué)史專題的內(nèi)容應(yīng)為教師所易于接受，教學(xué)設(shè)計應(yīng)為教師所易于操作。,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),形數(shù)（figured numbers）理論可以上溯到畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras, 569 B.C.500 B. C.）本人。用一點(diǎn)（或一個小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個小石子）

2、代表2，三點(diǎn)（或三個小石子）代表3，等等，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系。早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎已經(jīng)熟悉利用小石子或點(diǎn)來構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員尼可麥丘（Nicomachus, 60?120?）以及稍后的泰恩（Theon, 約2世紀(jì)上半葉）則討論了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）。,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),問題1（“歸納猜想論證”第1課時 ） 依次計算數(shù)列1，1 + 2 + 1，1 + 2 + 3 + 2 + 1，1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1，的前四

3、項值，由此猜測 的結(jié)果，并加以證明。,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),正方形數(shù),案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),古希臘數(shù)學(xué)家Iamblichus（公元4世紀(jì)）在研究Nicomachus算術(shù)引論一書時發(fā)現(xiàn) = n2 Iamblichus或許正是從正方形數(shù)的構(gòu)造中發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的。,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),問題2（2006廣東數(shù)學(xué)高考題） 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4 堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第 n 堆第 n 層就放一個乒乓球，以

4、f(n) 表示第 n堆的乒乓球總數(shù)，則 f (3) =_， f (n) =_。,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),后期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼可麥丘在算術(shù)引論中將多邊形數(shù)推廣到立體數(shù)。前四個三棱錐數(shù)為 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),第n個三棱錐數(shù)為,（Nicomachus, 1世紀(jì)）,案例1 從多邊形數(shù)到棱錐數(shù),前四個四棱錐數(shù)為 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16 第n個四棱錐數(shù)為,案例 2 等比數(shù)列求和公式,萊因得紙草書（約公元前1650年）,案例 2 等比數(shù)列求和公式,萊因得紙草上的等比數(shù)列問題,案例 2 等比數(shù)列求和公式,案例 2 等比數(shù)列求和公式,

5、歐幾里得幾何原本（公元前3世紀(jì)） 第 9 卷命題 35,案例 2 等比數(shù)列求和公式,案例 3 二次冪和公式,巴比論：泥版數(shù)學(xué)文獻(xiàn) (約公元前3000年) 但我們無法判斷古代巴比倫人是否知道一 般公式。,案例 3 二次冪和公式,阿基米德（Archimedes, 前287-212） 論劈錐曲面體與球體命題2引理； 論螺線命題10,案例 3 二次冪和公式,阿基米德,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,阿基米德杠桿原理的啟示

6、物理視角下的二次冪和 Fehr（1963）： “伏爾泰曾說過：如果沒有上帝，那就有必要創(chuàng)造一個出來。同樣，我們也可以斷言：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果沒有該學(xué)科的物理應(yīng)用，那就有必要創(chuàng)造出一些來！”,案例 3 二次冪和公式,阿基米德原理（尼加拉瓜，1971）,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,阿爾海賽姆 （Al-Haitham, 9651039）： 10-11世紀(jì)波斯 數(shù)學(xué)家,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,吉爾森（R. Levi Ben Gershon, 1288-1344）計算者之書(Maaseh Hoshev),案例 3 二次冪和公式,邊長分別

7、為 1、2、3、 n 的 n 個正方形面積之和即為二次冪和,案例 3 二次冪和公式,吉爾森公式的幾何圖示：擴(kuò)縮法,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662）,案例 3 二次冪和公式,分別令 r =1，2，n，將個等式相加即得,案例 3 二次冪和公式,三角形法,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,案例 3 二次冪和公式,體積法,案例 3 二次冪和公式,案例 4 球體積公式,阿基米德,案例 4 球體積公式,案例 4 球體積公式,AH : AT = 圓柱截面:（圓錐截面球截面） (圓錐截面球截面) = 圓柱截

8、面 (圓錐AEF球) = 圓柱EG，,案例 4 球體積公式,球 = 4 圓錐ABD,案例 4 球體積公式,案例 4 球體積公式,球外切圓柱之表面積,案例 4 球體積公式,案例 4 球體積公式,劉徽（3世紀(jì)）與祖暅（5世紀(jì)）,牟合方 蓋,案例 4 球體積公式,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表人物魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽,案例 4 球體積公式,利用3DSMAX軟件制作的牟合方蓋,案例 4 球體積公式,八分之一合蓋的截面,案例 4 球體積公式,內(nèi)棋（八分之一合蓋）,案例 4 球體積公式,外棋（“立方之內(nèi)、合蓋之外”部分）,案例 4 球體積公式,倒立的陽馬,案例 4 球體積公式,開普勒（J. Kepler，1571163

9、0） 測量酒桶體積的新科學(xué)（1615） 將球體積看成是無窮多個小棱錐的體積之和，這些棱錐的頂點(diǎn)在球心，底在球面上，于是由棱錐體積公式可得球積公式,案例 4 球體積公式,開普勒,案例 4 球體積公式,卡瓦列利（B. Cavalieri，15981647）連續(xù)體不可分 量的幾何學(xué) （ 1629）,案例 4 球體積公式,圓柱截面圓錐截面半球截面,圓柱體積圓錐體積半球體積,案例 4 球體積公式,松永良弼（16901744）：算法集成,案例 4 球體積公式,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,問題1 如圖，正三角形ABC 的邊長 為2，AA1，BB1，CC1均垂直 于平面ABC， ， ， ，求幾何體的體積。,

10、案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,問題2 如圖，已知多面體ABC-DEFG 中，AB、AC、AD 兩兩垂直， 平面ABC/平面DEFG，平面 BEF/平面ADGC，AB = AD = DG=2，AC=EF=1，求該多面 體的體積。,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,劉徽原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例5 割補(bǔ)法與出入相補(bǔ)原理,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,問題 1（費(fèi)馬平面與立體軌跡引論 ） 動點(diǎn) P 到兩定點(diǎn) M 和 N 距離的平方和與三

11、角形PMN的面積之比等于給定比，求點(diǎn) P 的軌跡。 如圖3，設(shè) P為滿足已知條件的任一點(diǎn)，PZ為MN的垂線，Z為垂足。MN = a，MZ = x，ZP = y，則由已知條件得，其中k為常數(shù)。即,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,即 。其中k為常數(shù)。這就是Z沿 MN 運(yùn)動時，變線段ZP的另一端點(diǎn) P 所畫出的曲線 的方程。 那么，這是什么曲線呢？,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,取 MN 的中點(diǎn) A，過 A 作 MN 的垂線段AB，使得 4AB/a = k。 以 AB 為直徑作半圓 ACB，在 其上取點(diǎn) C，使得 AC = AN。 以B為圓心、BC 為半徑作圓， 在該圓上任取一點(diǎn) P，則

12、PM 和 PN 的平方和與三 角形 PMN 面積之比等于給定比。,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,這里，費(fèi)馬給出了方程 所確 定的軌跡的作圖法，該軌跡是一個圓。費(fèi)馬的方法 相當(dāng)于將方程化成,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,問題 2（帕普斯三線問題之特殊情形 ） 設(shè)給定3條直線AB、AD、EF，其中直線AB與EF互相平行 ，AD垂直于AB，動點(diǎn)C到3條已知直線的距離CB、CD、CF滿足 ，求C點(diǎn)軌跡。,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,問題3 （帕普斯四線問題之特殊情形） 設(shè)給定4條直線，其中AB和EF平行，AD和GH平行，且AB與AD垂直，動點(diǎn)C且

13、到它們的距離為CB、CD、CF和CH，滿足CBCF=CDCH，求C點(diǎn)軌跡。,案例6 費(fèi)馬與笛卡兒研究的軌跡問題,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,函數(shù)概念應(yīng)該成為中學(xué)數(shù)學(xué)的基石 F. Klein（1849-1925） 從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和序偶（第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。 M. Kline（1958）,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,20世紀(jì)50和60年代函數(shù)的形式化定義是一個大錯誤，我們可以將函數(shù)說成是法則、機(jī)器，但決不能把它說成是序偶的集合！ Thorpe 中學(xué)階段應(yīng)該教簡單易懂的函數(shù)概念。 M. A. Malik（198

14、0）,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,較之函數(shù)的現(xiàn)代定義，職前教師對函數(shù)的理解要狹隘得多、原始得多。既然如此，我們還能期望他們按照現(xiàn)代課本上出現(xiàn)的函數(shù)的現(xiàn)代定義來教嗎？參與者對函數(shù)的不完善的理解是有問題的，這又會導(dǎo)致他們學(xué)生的函數(shù)定義與表象之間的不一致性，使學(xué)生的函數(shù)概念表象與18世紀(jì)的表象相類似 R. Even,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,約翰伯努利（1718）： 一個變量的函數(shù)是由該變量 和一些常數(shù)以任何方式組成 的量。,Johann Bernoulli, 1667-1748,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,歐拉（1748）： 一個變量的函數(shù)是由該變量 和一些數(shù)或常量以任何方式 組成的解析式。,L

15、eonhard Euler, 1707 - 1783,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,歐拉（1755）： 如果某些量依賴于另一些量， 當(dāng)后面這些量變化時，前面 這些變量也隨之變化，則前 面的量稱為后面的量的函數(shù)。,Leonhard Euler, 1707 - 1783,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,孔多塞： 設(shè)有若干量x，y，z， F，對于x，y，z，的每 一個確定的值，F(xiàn) 有一個 或多個確定的值與之對應(yīng)， 則稱F為x，y，z，的一 個函數(shù)。,A. N. C. Condorcet, 1743-1794,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,拉克洛瓦（S. F. Lacroix, 1765-1843）（1797

16、）： 任何一個量，如果它的值依賴于一個或多個其他的量，那么它就稱為這些量的函數(shù)，不管我們知不知道這種依賴關(guān)系是通過什么運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的。,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,拉格朗日（ 1797）： 所謂一個或幾個量的函數(shù)， 是指任意一個用于運(yùn)算的 表達(dá)式，這些量以任意方 式出現(xiàn)于表達(dá)式中，表達(dá) 式中可以有（也可以沒有） 其它一些具有給定的不變 值的量，而函數(shù)的量可以 取所有可能的值。,J. L. Lagrange, 1736-1813,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,傅立葉（ 1822）： 函數(shù)f ( x)代表一系列的值或縱 坐標(biāo)，它們中的每一個都是任 意的。對于無限多個給定的橫 坐標(biāo) x 的值，有同樣多個縱

17、坐 標(biāo) f ( x) 的值。所有的值要么為 正數(shù)，要么為負(fù)數(shù)，要么是零。 無需假設(shè)這些縱坐標(biāo)滿足同一 個法則；它們可以任何方式接 續(xù)，每一個都好象是單個的量。,J. Fourier, 1768 - 1830,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,柯西分析教程 （1821）： 當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來，即 給定了這些變量中的一個值， 就可以決定所有其它變量的值 的時候，人們通常想像這些量 是用其中的一個來表達(dá)的，這 時這個量就被稱為自變量；而 用自變量表示的其它量就叫做 該變量的函數(shù)。,A. L. Cauchy, 1789 - 1857,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,羅巴切夫斯基（1834）： x 的函數(shù)是這

18、樣的一個數(shù)，它 對于每個 x 都有確定的值，并 且隨著 x 的變化而逐漸變化， 函數(shù)值或者由解析式給出，或 者由一個條件給出，這個條件 提供了一種檢驗所有的數(shù)并選 擇其中之一的方法，或者雖然 依賴關(guān)系存在但可以是未知的。,Lobachevsky, 1792-1856,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,狄里克雷（1837） 設(shè)a、b是兩個確定的值，x 是 可取a、b之間一切值的變量。 如果對于每一個 x，有惟一有 限的 y 值與它對應(yīng)，使得當(dāng) x 從 a 到 b 連續(xù)變化時，也逐漸 變化，那么 y 就稱為該區(qū)間上 x 的一個連續(xù)函數(shù)。在整個區(qū) 間上，y 無需按照同一種規(guī)律 依賴于 x，也無需單單考慮能

19、 用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表示的關(guān)系。,L. Dirichlet,1805 - 1859,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,斯托克斯（1847） 函數(shù)是這樣一個量，它的值以 任意方式依賴于構(gòu)成它的一個 或幾個變量的值。因此，函數(shù) 不必通過任何代數(shù)符號的組合 來表達(dá)，甚至在變量的很近的 界限之間也是如此。,G. G. Stokes, 1819-1903,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,黎曼（1851）： 假定z是一個變量，它可以逐 次取所有可能的實(shí)數(shù)值。若 對它的每一個值，都有不定 量 w 的惟一的值與之相對應(yīng)， 則稱 w 為 z 的函數(shù)。,B. Riemann, 1826-1866,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,布爾

20、 (1854)： 任何包含符號 x 的代數(shù) 式稱為 x 的函數(shù)，并用 一般的簡記符號f ( x)來 表示。,G. Boole, 1815-1864,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,漢克爾（1870）： x 的一個函數(shù)被稱為f(x)，如 果對于某區(qū)間內(nèi) x 的每一個 值， f(x) 都有的惟一確定的 值與之相關(guān)聯(lián)。此外， f(x) 是通過量的解析運(yùn)算還是通 過別的方式確定，根本無關(guān) 緊要。 f(x) 的值只須處處惟 一確定。,H. Hankel, 1839-1873,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,戴德金 (1887)： 函數(shù)就是系統(tǒng)S的一個映射， 對于S中每一個確定的元素s， 按照法則，都有一個確定的

21、 對象與之相關(guān)聯(lián)，這個對象 稱為s的象，以(s)將表示； 也可以說，(s)是由s通過 映射產(chǎn)生的，即s通過映射 變換成(s)。,R. Dedekind, 1831-1916,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,坦納里(1904）： 考慮不同數(shù)的集合(X)，將這些數(shù)看成是 x的取值，于是x就是一個變量。假設(shè)x的 每一個值，即集合(X)的每一個元素，對 應(yīng)于一個數(shù)，這個數(shù)可以看成是字母y的 取值；我們說y是由該集合(X)所確定的x 的函數(shù)：如果定義了對應(yīng)關(guān)系，就定義了 該集合上的一個函數(shù)。y所取的不同值的 集合(Y)是由同一個對應(yīng)關(guān)系確定的：我 們說b是(Y)的一個元素，即(X)的一個元 素a與數(shù)b對應(yīng)。

22、(X)的每一個元素對應(yīng)于 (Y)的一個元素；反之亦然；但在前面的 定義中，并沒有排除(X)的幾個不同元素 對應(yīng)于(Y)的同一個元素，換言之，(X)和 Y)之間的對應(yīng)不一定是完全的。,J.Tannery,1848 - 1910,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,維布倫： 若在變量y 的集合與另一個變 量 x的集合之間有這樣的關(guān)系 成立，即對 x的每一個值，有 完全確定的 y值與之對應(yīng)，則 稱變量 y 是變量 x 的函數(shù)。,O. Veblen, 1880 - 1960,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,皮亞諾（1911）： 函數(shù)是這樣一種關(guān)系 u，對 于任意的x，y 和 z，如果第 二個元素相同的兩個序偶 y

23、； x 和 z；x 滿足這個關(guān)系，那 么必有 y = x。,G. Peano, 1858-1932,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,豪斯道夫 （1914）： 設(shè) P 是序偶 p = (a, b)組成 的一個集合，對于每一個 ，稱 b 為 a 的象， 在特殊情況下，每個 a 只 有惟一的象 b，則被此 a 決定且與a相關(guān)的元 b稱為 a 的函數(shù)，記為 。,F. Hausdorff, 1868-1942,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,古爾薩（1923）： 函數(shù)這個詞的現(xiàn)代定義是柯西 和黎曼給出的。如果 x 的一個 值與 y 的一個值相對應(yīng)，那么 我們就說y是x的一個函數(shù)。我 們用方程 y = f (x)

24、 來表示。,E. Goursat, 1858 - 1936,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,布爾巴基學(xué)派集合論（ 1939 ）： 設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個xE，都存在惟一的yF，它滿足與x的給定關(guān)系。我們將聯(lián)系每一個元素xE和元素yF的運(yùn)算稱為函數(shù)；y稱為x處的函數(shù)值，函數(shù)是由給定的關(guān)系決定的。兩個等價的函數(shù)關(guān)系確定了同一個函數(shù)。,案例 7 歷史上的函數(shù)概念,布爾巴基學(xué)派集合論（ 1939 ）： 定義集合 X 與 Y 的積集 X Y 如下：X Y = (x, y) | xX, yY。積集 X Y中的一子

25、集 R 稱為 X 與 Y 的一個關(guān)系，若 (x, y) R，則稱 x 與 y 有關(guān)系 R，記為 x R y，現(xiàn)設(shè) f 是 x 與 y 的關(guān)系，即 f 包含于X Y，如果(x, y)、(x, z) f，必有 y =，那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù)。,案例 8 曲線的切線,歐幾里得幾何原本 圓的切線：與圓相遇、但延長 后不與圓相交的直線。 第3卷命題16推論：“過圓的直 徑的端點(diǎn)作和它成直角的直線 與圓相切。”,Euclid（about 325 BC - about 265 BC）,案例 8 曲線的切線,阿波羅尼斯圓錐曲線 命題32稱：“從圓錐曲線頂點(diǎn)作 直線與相應(yīng)縱坐標(biāo)線平行，則該 直線與圓

26、錐曲線相切，且在圓錐 曲線與該直線之間不能再插入另 外的直線?！?Apollonius （about 262 BC - about 190 BC）,案例 8 曲線的切線,命題3334：圓錐曲線的切線作圖,案例 8 曲線的切線,案例 8 曲線的切線,案例 8 曲線的切線,案例 8 曲線的切線,阿基米德論螺線,Archimedes（287 BC - 212 BC）,案例 8 曲線的切線,17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問題 一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個十分盛行的研究課題，洛必達(dá)在其無窮小分析中列專章加以討論。早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向

27、平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。,案例 8 曲線的切線,案例 8 曲線的切線,二是曲線運(yùn)動的速度問題。對于直線運(yùn)動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運(yùn)動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。 三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構(gòu)成的角牛頭角（圖10中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖11中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過很多爭議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲

28、線在交點(diǎn)處的切線。,案例 8 曲線的切線,笛卡兒：切線問題“是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問題”。,案例 8 曲線的切線,費(fèi)馬的方法,案例 8 曲線的切線,笛卡兒的方法,Ren Descartes（1596 1650）,案例 8 曲線的切線,洛必達(dá)無窮小分析 曲線的切線是曲線的內(nèi)接 “無窮邊形”一邊的延長線。,G. L Hospital（1661-1704）,案例 8 曲線的切線,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,汪聯(lián)松：北平晨報 （1938） 吳佑之：科學(xué)月刊 （1946） 楊嘉如：大陸報 （1948） 華羅庚：科學(xué)通報第三卷第六期 （1951） 中國數(shù)學(xué)雜志刊登啟事（19

29、52年8月） 數(shù)學(xué)通報再次刊登上述啟事（1953年1-2月） 數(shù)學(xué)通報第三次刊登啟事(1957年1月號) “再告企圖用規(guī)尺三等分角的同志”,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,1852年，德摩根受一位朋友的委托，審查了一位朋友的一個老鄉(xiāng)所給出的十分恐怖的三等分角作圖法，該作圖法相當(dāng)于：若是一個已知角，則,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,德摩根 (A. De Morgan, 1806-1871),案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,一位美國三等分角者如是說：“掌握科學(xué)知識的人類怎會如此愚蠢？任何一位科學(xué)家或數(shù)學(xué)家在他還未開始著手研究手頭的難題時就說它不可能，這只能說明他能力有限?！?案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,一位美國三等

30、分者如是說：“我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)代的數(shù)學(xué)權(quán)威們并不試圖去解決這些疑難，卻去寫些闡述不可能證明它們的論文。不鼓勵這些難題的解法，反而打擊他們，還封他們?yōu)榭窆帧！?美國數(shù)學(xué)家Underwood Dudley80年代搜集狂怪們的研究“成果”，得三等分角作圖法共兩百余種！,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,1951年，底特律一位82 歲高齡的 “五好牌” 向各個州的一流大學(xué)、各家著名私人研究機(jī)構(gòu)，還有包括愛因斯坦在內(nèi)的數(shù)學(xué)家，總共一百多處，通報了他的作圖法！他收到了六十多份答復(fù)，其中最好的是愛因斯坦的：“我收到的信件太多了，盡管我非常想回復(fù)所有的信件，但我實(shí)在是沒有時間！”,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,錯誤的三等分角法

31、之一（R. J., 1986）：作者聲稱：有50多位數(shù)學(xué)教授（其中許多為博士）評價了他的論文，并支持他的證明,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,1973 年，一位來自杜塞爾多夫的69 歲的退休公務(wù)員，聲稱自己在整整40 年里，花費(fèi)12,000 多小時，終于找到了這個作圖法,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,令人眼花繚亂的三等分角作圖法,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,神秘的三等分角法（K.B.S., 1972）,案例 9 數(shù)學(xué)狂怪的作品,一位美國大學(xué)校長的三 等分角作圖法（1933）,案例10 實(shí)無窮概念,研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種策略？是否具有歷史相似性？ 研究方法：測試與訪談 被試：江蘇省某中學(xué)高二

32、、高三兩個年級各一個班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識，尚未接觸過無窮集合的知識，也不曾閱讀過有關(guān)康托爾集合論方面的書籍。,案例10 實(shí)無窮概念,實(shí)無窮測試題 1、正整數(shù)集1，2，3，4，5，中的元素是否比平方數(shù)集 1，4，9，16，25，中的元素多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。 2、正整數(shù)集1，2，3，4，5，中的元素是否比偶數(shù)集 2，4，6，8，10，中的元素多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。,案例10 實(shí)無窮概念,3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較 AB和CD上的點(diǎn)，CD上的點(diǎn)是否比AB上的點(diǎn)更多？ A、是 B、否 C、不知道 解釋你的答案。,案例10 實(shí)無窮概念,4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點(diǎn)O，設(shè)P是CD上任意一點(diǎn)，連接PO，交AB于P。CD上的點(diǎn)是否比AB上的點(diǎn)更多？ A、是； B、否； C、不知道 解釋你的答案。,案例10 實(shí)無窮概念,5、設(shè) ， ，則集合A和 B是否具有同樣多的元素？ A、是; B、否; C、不知道 解釋你的答案。,案例10 實(shí)無窮概念,兩個集合 A 和 B都滿足： (1) A和B都是無窮集合； (2) B是A的真子集； (3)