1、石家莊市2020學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再判斷對(duì)應(yīng)象限.【詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.在建立兩個(gè)變量與的回歸模型時(shí)，分別選擇了4個(gè)不同的模型，這四個(gè)模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.25、0.50、0.98、0.80，則其中擬合效果最好的模型是（ ）A. 模型1B. 模型2C. 模型3D. 模型

2、4【答案】C【解析】【分析】相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1，擬合效果越好，據(jù)此得到答案.【詳解】四個(gè)模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.25、0.50、0.98、0.80相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1，擬合效果越好故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1，擬合效果越好.3.某班級(jí)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)以及參與獎(jiǎng)，且獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為：一等獎(jiǎng)20元、二等獎(jiǎng)10元、三等獎(jiǎng)5元、參與獎(jiǎng)2元，獲獎(jiǎng)人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說(shuō)法正確的是（ ）A. 參與獎(jiǎng)總費(fèi)用最高B. 三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用是二等獎(jiǎng)總費(fèi)用的2倍C. 購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的平均數(shù)為9.25元D. 購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為

3、2元【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算參與獎(jiǎng)的百分比，分別計(jì)算各個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望，中位數(shù)，逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】參與獎(jiǎng)的百分比為：設(shè)人數(shù)為單位1一等獎(jiǎng)費(fèi)用： 二等獎(jiǎng)費(fèi)用： 三等獎(jiǎng)費(fèi)用： 參與獎(jiǎng)費(fèi)用： 購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的平均數(shù)為： 參與獎(jiǎng)的百分比為，故購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了平均值，中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.4.某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是（ ）A. 甲的極差是29B. 甲的中位數(shù)是24C. 甲罰球命中率比乙高D. 乙的眾數(shù)是21【答案】B【解析】【分析】通過(guò)

4、莖葉圖找出甲的最大值及最小值求出極差判斷出A對(duì)；找出甲中間的兩個(gè)數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即數(shù)據(jù)的中位數(shù)，判斷出D錯(cuò)；根據(jù)圖的數(shù)據(jù)分布，判斷出甲的平均值比乙的平均值大，判斷出C對(duì)【詳解】由莖葉圖知甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故A對(duì)甲中間的兩個(gè)數(shù)為22，24，所以甲的中位數(shù)為故B不對(duì)甲的命中個(gè)數(shù)集中在20而乙的命中個(gè)數(shù)集中在10和20，所以甲的平均數(shù)大，故C對(duì)乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以D對(duì)故選：B【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過(guò)莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估

5、計(jì)總體情況5.5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數(shù)為（）A. 18B. 24C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數(shù)為： 故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡(jiǎn)單題.6.有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：1、2、6號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾乙猜測(cè)：4、5、6號(hào)選手都不可能獲得第一名；觀眾丙猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾丁猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案

6、】B【解析】【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁猜對(duì)比賽結(jié)果，逐一判斷得到答案.【詳解】假設(shè)甲猜對(duì)比賽：則觀眾丁猜測(cè)也正確，矛盾假設(shè)乙猜對(duì)比賽：3號(hào)得第一名，正確假設(shè)丙猜對(duì)比賽：則觀眾丁猜測(cè)也正確，矛盾假設(shè)丁猜對(duì)比賽：則觀眾甲和丙中有一人正確，矛盾故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.7.在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別討論三種情況，然后求并集得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)圖形知：或 當(dāng)時(shí)：不成立當(dāng)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞減根據(jù)圖形知：綜上所述：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖像判斷函數(shù)的

7、單調(diào)性，意在考查學(xué)生的讀圖能力.8.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對(duì)函數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線方程公式得到答案.【詳解】函數(shù) 切點(diǎn)為：切線方程為：故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9.由曲線，所圍成圖形的面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算交點(diǎn)，再根據(jù)定積分計(jì)算面積.【詳解】曲線，交點(diǎn)為： 圍成圖形的面積： 故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10.一個(gè)盒子里有7只好的晶體管、5只壞的晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的條件下，

8、第二次也取到好的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】第一次取到好的條件下，第二次即：6只好的晶體管、5只壞的晶體管中取到好的概率，計(jì)算得到答案.【詳解】第一次取到好的條件下，第二次即：6只好的晶體管、5只壞的晶體管中取到好的概率 故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，將模型簡(jiǎn)化是解題的關(guān)鍵，也可以用條件概率公式計(jì)算.11.已知正三角形的邊長(zhǎng)是，若是內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到三角形三邊的距離之和是定值.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長(zhǎng)都等于的正四面體中，若是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到正四面體各面的距離之和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將正四面體體積

9、分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和，計(jì)算得到答案.【詳解】棱長(zhǎng)都等于的正四面體：每個(gè)面面積為： 正四面體的高為： 體積為： 正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了體積的計(jì)算，將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和是解題的關(guān)鍵.12.定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算特殊值，解得不等式值.【詳解】構(gòu)造函數(shù)因?yàn)閱握{(diào)遞減.故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.二、填空題（每題5分，滿分

10、20分，將答案填在答題紙上）13.若的展開(kāi)式中的系數(shù)是_【答案】35【解析】【分析】利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得答案.【詳解】的展開(kāi)式： 取 故答案為35【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的展開(kāi)式，屬于簡(jiǎn)單題.14.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則_【答案】【解析】【分析】直接利用二項(xiàng)分布公式得到答案.【詳解】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題目.15.將一邊長(zhǎng)為的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒，當(dāng)?shù)扔赺時(shí)，方盒的容積最大【答案】【解析】【分析】先求出方盒容積的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)單調(diào)性求最大值.【詳解】方盒的容積為： 當(dāng)時(shí)函數(shù)遞減

11、，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最大值的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.16.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形最大內(nèi)角小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為.根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】函數(shù)表示的是點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)C（1，0）的距離與到點(diǎn)B（-1，0），到A（0，2）的距離之和，連接這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了三角形ABC，由角DOB為，角DOC為，OD=，OC=，OA=，距離之和為：2OC+OA，求和即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖像并建系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)函數(shù)表示的是點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)

12、C（1，0）的距離與到點(diǎn)B（-1，0），到A（0，2）的距離之和，設(shè)三角形這個(gè)等腰三角形的費(fèi)馬點(diǎn)在高線AD上，設(shè)為O點(diǎn)即費(fèi)馬點(diǎn)，連接OB，OC，則角DOB為，角DOC為，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距離之和為：2OC+OA=+=2+.故答案為：.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了點(diǎn)點(diǎn)距的公式，以及解三角形的應(yīng)用，解三角形的范圍問(wèn)題常見(jiàn)兩類(lèi)，一類(lèi)是根據(jù)基本不等式求范圍，注意相等條件的判斷；另一類(lèi)是根據(jù)邊或角的范圍計(jì)算，解題時(shí)要注意題干信息給出的限制條件.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、2

13、3題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，分別求導(dǎo)數(shù)大于零小于零的范圍，得到單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)區(qū)間得到最大值.【詳解】解：（1） 當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為（2）分析可知的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由于，所以當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最大值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18.某大學(xué)“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)合計(jì)男8436120女3

14、24880合計(jì)11684200（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系”？（2）用分層抽樣方法在上述80名女生中按照“非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”與“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”隨機(jī)抽取10名，再?gòu)某榈降倪@10名女生中抽取2人，記抽到“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系”詳見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)公式計(jì)算，與

15、臨界值表作比較得到答案.（2）根據(jù)分層抽樣計(jì)算“非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”與“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”人數(shù)，計(jì)算各種情況的概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，因 所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系”（2）用分層抽樣方法在上述80名女生中按照“非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”與“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”隨機(jī)抽取10名，那么抽到“非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”4名，抽到“統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)”6名， 所以的分布列為012 【點(diǎn)睛】本題考查了列聯(lián)表，分布列，分層抽樣，數(shù)學(xué)期望，屬于常考題型.19.已知函數(shù).（1）若在處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）函數(shù)在上遞增，在上遞減【解析】【分

16、析】（1）求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)，值為0，解得.（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?又， 依題有，解得 （2） 當(dāng)時(shí)， 令，解得 ，（舍） 當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減； 所以函數(shù)在上遞增，在上遞減【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線，函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20.全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，旨在全面提高國(guó)民體質(zhì)和健康水平.某市的體育部門(mén)對(duì)某小區(qū)的4000人進(jìn)行了“運(yùn)動(dòng)參與度”統(tǒng)計(jì)評(píng)分（滿分100分），得到了如下的頻率分布直方圖：（1）求這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的平均得分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；（2）由

17、直方圖可認(rèn)為這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分服從正態(tài)分布，其中，分別取平均得分和方差，那么選取的4000人中“運(yùn)動(dòng)參與度”得分超過(guò)84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？（3）如果用這4000人得分情況來(lái)估計(jì)全市所有人的得分情況，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取4人，記“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分不超過(guò)84.81分的人數(shù)為，求.（精確到0.001）附：，；，則，；.【答案】（1）平均成績(jī)?yōu)?0.5分（2）人（3）【解析】【分析】（1）先計(jì)算中間值和對(duì)應(yīng)概率，相乘再相加得到答案.（2）先計(jì)算服從正態(tài)分布，根據(jù)公式得到答案.（3）先計(jì)算概率，再利用二項(xiàng)分布公式得到答案.【詳解】（1）由題意知：中間值45556

18、5758595概率0.10.150.20.30.150.1，這4000人“運(yùn)動(dòng)參與度”得分的平均成績(jī)?yōu)?0.5分 （2）依題意服從正態(tài)分布，其中，服從正態(tài)分布， 而， 這4000人中“運(yùn)動(dòng)參與度”得分超過(guò)84.81分的人數(shù)估計(jì)為人人（3）全市所有人的“運(yùn)動(dòng)參與度”得分不超過(guò)84.81分的概率而， 【點(diǎn)睛】本題考查了平均值，正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，概率.綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，恒成立.【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí),求導(dǎo)數(shù)，將切點(diǎn)橫坐標(biāo)帶入導(dǎo)數(shù)得到斜率，再計(jì)算切線方程.（2）求導(dǎo)，取導(dǎo)數(shù)0，參數(shù)分離得到，設(shè)右邊為新函數(shù)，求出其單調(diào)性，求得取值范圍得到答案.（3）將導(dǎo)函數(shù)代入不等式，化簡(jiǎn)得到，設(shè)左邊為新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)， ，又 ，即 函 數(shù) 在點(diǎn)處的切線方程為 （2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，可得，當(dāng)時(shí)，方程僅有一解， 令則由題可知直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)又，且當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為 （3）要證對(duì)任意，恒成立即證成立即證成立設(shè)時(shí)，易知