1、第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析，4.1信號分解成正交函數(shù)4.2傅立葉級數(shù)4.3周期信號的頻譜4.4非周期信號的頻譜傅立葉變換4.5傅立葉變換性質(zhì)4.6周期信號的傅立葉變換4.7系統(tǒng)的頻域分析4.8采樣定理，點擊目錄進入相關(guān)章節(jié)，第四章是連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析，4.1信號分解成正交函數(shù)，1。矢量正交和正交分解，時域分析，以脈沖函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可以分解成一系列脈沖函數(shù)；yf(t)=h(t)*f(t)。本章以正弦信號和虛指數(shù)信號ejt為基本信號，將任意輸入信號分解成一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號。這里，用于系統(tǒng)分析的自變量是頻率。這叫做頻域分析。矢量Vx=(vx1，vx2，vx3)與Vy=(

2、vy1，vy2，vy3)正交，其內(nèi)積為0。也就是說，4.1信號被分解成正交函數(shù)，并且由成對正交向量組成的向量集被稱為正交向量集。例如，在三維空間中，由向量VX=(2，0，0)、vy=(0，2，0)和VZ=(0，0，2)組成的集合是正交向量集合。例如，三維空間中的向量A=(2，5，8)可以由三維正交向量集vx、vy和vz的分量的線性組合來表示。也就是說，A=vx 2.5 vy 4 vz向量空間的正交分解的概念可以擴展到信號空間，并且可以找到幾個相互正交的信號作為信號空間中的基本信號，使得信號空間中的任何信號都可以表示為它們的線性組合。4.1信號分解成正交函數(shù)，2。信號正交性和正交函數(shù)集，1。定義

3、：在區(qū)間(t1，t2)中定義的兩個函數(shù)1(t)和2(t)，如果它們被滿足(兩個函數(shù)的內(nèi)積為0)，那么1(t)和2(t)在區(qū)間(t1，t2)中是正交的。正交函數(shù)集：如果n個函數(shù)1(t)、2(t)和n(t)形成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)中被滿足時，那么這個函數(shù)集被稱為區(qū)間(t1，t2)中的正交函數(shù)集。4.1信號被分解成正交函數(shù)3。完全正交函數(shù)集：如果除了正交函數(shù)集1(t)、2(t)、n(t)之外，沒有滿足的函數(shù)(t)(0)，那么這個函數(shù)集稱為完全正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1，2和虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，它們是區(qū)間(t0，t0

4、T)(T=2/)中兩個典型的完全正交函數(shù)集。(i=1，2，n)，4.1。信號被分解成正交函數(shù)。第三，信號的正交分解具有n個函數(shù)1(t)、2(t)和n(t)，它們在區(qū)間(t1，t2)中形成正交函數(shù)空間。如果任何函數(shù)f(t)由這n個正交函數(shù)的線性組合近似，它可以表示為f(t)C11 C22 Cnn。如何選擇每個系數(shù)Cj，以最小化f(t)和區(qū)間(t1，t2)中近似函數(shù)之間的誤差。這通常會最小化均方誤差(稱為均方誤差)。均方差為4.1。信號被分解成正交函數(shù)。為了最小化上述公式，上述公式中的被積函數(shù)被展開并得到導(dǎo)數(shù)。上述公式中只有兩個項不是0，其被寫成，因此，系數(shù)4.1信號被分解成正交函數(shù)，并且通過替換

5、獲得最小均方誤差(參見教科書中的推導(dǎo)過程)。當(dāng)用正交函數(shù)逼近f(t)時，得到的項越多，即n越大，均方誤差越小。當(dāng)n是一個完整的正交函數(shù)集時，均方誤差為零。此時，上述公式被稱為(帕塞瓦爾)Bassewal公式，它表明包含在區(qū)間(t1，t2) f(t)中的能量總是等于在完全正交函數(shù)集中由f(t)分解的每個正交分量的能量之和。函數(shù)f(t)可以分解成無限正交函數(shù)的和、4.2傅立葉級數(shù)、4.2傅立葉級數(shù)和1。傅立葉級數(shù)的三角形式。假設(shè)周期信號f(t)的周期為t，角頻率為2/t。當(dāng)滿足狄利克雷條件時，它可以分解成以下三角形系列，稱為f(t)傅立葉系列和系數(shù)4.2傅立葉系列，其中A0=a0。上述公式表明，周

6、期信號可以分解為D可以看出，An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)，An=Ancosn，bn=Ansin，n=1，2，可以寫成：4.2傅里葉級數(shù)；2.波形的對稱性和諧波特性；1 .f(t)是偶函數(shù)的對稱縱坐標；bn=0，擴展為余弦級數(shù)。2 .f(t)是與原點對稱的奇數(shù)函數(shù)，an=0，它被展開成正弦級數(shù)。實際上，任何函數(shù)f(t)都可以分解成奇數(shù)函數(shù)和偶數(shù)函數(shù)，即f(t)=fod(t) fev(t)，因為f(-t)=fod(-t)fev(-t)=-fod(t)fev(t)，4.2傅立葉級數(shù)此時，傅立葉級數(shù)只包含奇數(shù)諧波分量，而不包含偶數(shù)諧波分量，即a0=a2=b2=b4=。第三，傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式和三

7、角形式含義明確，但操作往往不方便，所以經(jīng)常使用傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式。它可以從三角形形式推導(dǎo)出來：用cosx=(ejx ejx)/2，4.2傅立葉級數(shù)，上面公式中的第三項n被n代替，A n=安，n=n，那么上面的公式就寫成，讓A0=A0ej0ej0t，0=0，那么4.2傅立葉級數(shù)就叫做復(fù)傅立葉系數(shù)。n=0，1，2，這表明任何周期信號f(t)都可以分解成許多不同頻率的虛指數(shù)信號的和。F0=A0/2是DC分量。4.2傅立葉級數(shù)，4。周期信號功率的帕塞瓦爾方程，電阻1上DC和第n諧波分量消耗的平均功率之和。在n0，|Fn|=安/2。通常，周期信號是功率信號，它們的平均功率是4.3周期信號的頻譜、4.3

8、周期信號的頻譜和特征。首先，信號頻譜的概念，從廣義上講，信號的某一特征量與其頻率變化之間的關(guān)系稱為信號頻譜，所畫的圖稱為信號頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各諧波的幅值和相位與頻率之間的關(guān)系，即an和n之間的關(guān)系畫在水平軸的平面上，分別稱為幅值譜和相位譜。因為n0，這個光譜被稱為單邊光譜。你也可以畫出|Fn|和n之間的關(guān)系，這叫做雙邊譜。如果Fn是實數(shù)，你也可以直接畫Fn。4.3、周期信號的頻譜，例如：周期信號f(t)=試求周期信號的基波周期t和基波角頻率，畫出其單邊頻譜圖并求出f(t)的平均功率。首先，用三角公式改寫f(t)的表達式，也就是說，很明顯，1是信號的DC分量。周期T1=8，周

9、期T2=6，因此f(t)的周期t為24，基本角頻率為2/t=/12。根據(jù)Pasval方程，其功率為P=，4.3，是f(t)的三次諧波分量。is/3/12=f(t)的四次諧波分量。畫出f(t)的單邊振幅譜和相位譜，如圖4.3周期性信號的頻譜，2。周期信號頻譜的特征，例如，有一個振幅為1、脈沖寬度為t的周期矩形脈沖，如圖所示。找到頻譜。設(shè)Sa(x)=sin(x)/x(采樣函數(shù))，4.3周期信號的頻譜，n=0，1，2，F(xiàn)n為實數(shù)，可直接繪制為頻譜。讓T=4畫。零點是，其特征是：(1)周期信號的頻譜是諧波(離散的)。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)它一般是收斂的?？偟内厔菔窍陆?。4.3周期信號的頻譜、譜

10、線結(jié)構(gòu)和波形參數(shù)之間的關(guān)系：(1)T是常數(shù)，變小，此時(譜線間隔)保持不變。兩個零點之間的譜線數(shù)：1/=(2/)/(2/T)=T/增加。如果確定，t增加，間隔減小，頻譜變得更密集。振幅減小。如果周期t無限增長(則成為非周期信號)，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散譜將過渡到非周期信號的連續(xù)譜。每個頻率分量的振幅也接近無窮大。4.4傅里葉變換，4.4非周期信號的頻譜傅里葉變換，1。傅立葉變換，非周期信號f(t)可以看作周期t的周期信號，指出當(dāng)周期t趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮大，因此頻率設(shè)(單位頻率上的頻譜)，稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。4.4傅立葉變換，考慮：t，無窮小，記錄為d；n(從離

11、散量到連續(xù)量)，同時，傅里葉變換公式“-”，傅里葉逆變換公式，以及F(j)都稱為傅里葉變換或f(t)的譜密度函數(shù)，簡稱為頻譜。F(t)被稱為傅里葉逆變換或F(j)的原始函數(shù)。根據(jù)傅立葉級數(shù)和4.4傅立葉變換，它也可以縮寫為：F(j)=F f(t) f(t)=F 1F(j)或f (t) f (j)，它一般是一個復(fù)函數(shù)，寫成F(j)=| F(j)| E(j)可以證明函數(shù)f(t)存在傅立葉變換的充分條件是：(2)用下列關(guān)系式計算一些積分也很方便：4.4傅里葉變換，2。常用函數(shù)的傅立葉變換，單側(cè)指數(shù)函數(shù)f(t)=et(t)，0實數(shù)，2。雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=et，0，4.4傅里葉變換4。脈沖函數(shù)(t)

12、，(t)，4.4傅立葉變換，5。常數(shù)1。有些函數(shù)不滿足絕對可積的充分條件，如1，(t)，但傅里葉變換存在。根據(jù)定義很難直接解決?？梢詷?gòu)造函數(shù)序列fn(t)來逼近f (t)，即fn(t)滿足絕對可積條件，并且由fn(t)的傅立葉變換形成的序列Fn(j)是非常收斂的。f(t)的傅立葉變換F (j)可以定義為，這樣定義的傅立葉變換也稱為廣義傅立葉變換。4.4傅立葉變換，構(gòu)造f(t)=e-t，0，所以，因此，12()，另一個解：(t)1被代入逆變換定義，有，t，t-，然后根據(jù)傅立葉變換定義，6。符號函數(shù)，4.4傅立葉變換，7。2.函數(shù)F:(t)，(t)，e-t (t)，g (t)，SGN (t)，e

13、| t |，1，2，(4.5傅里葉變換性質(zhì)，4.5傅里葉變換性質(zhì)，4.5傅里葉變換性質(zhì)證明：f AF1 (t) BF2 (t)，=AF1 (j) BF2 (j)，AF1 (t) BF2 (t) AF1 (j) BF2 (j)，4.5傅里葉變換性質(zhì)，例如F(j)=？ans:f (t)=f1 (t) G2 (t)，f1 (t)=12()，G2 (t) 2sa()，f (j)=2 ()-2sa()，-，4.5傅立葉變換屬性，第二，時移屬性(時間)其中“t0”為實常數(shù)。證明： F(t0)，4.5傅立葉變換的性質(zhì)，例如F(j)=？ans:f1 (t)=g6 (t-5)，F(xiàn)2 (t)=G2 (t-5)，g

14、6 (t-5)，G2 (t-5)，f(j)=4.5傅里葉變換的性質(zhì)，3。對稱性質(zhì)證明：(1)，在(1) t，t然后，(2)，在(2)-然后，f (j t) 2f()結(jié)束，f (JT) 2f()，4.5傅立葉變換性質(zhì)，例如，F(xiàn)(j)=？Ans:if=1、* if，F(xiàn)(j)=？4.5傅立葉變換的性質(zhì)，4 .頻移性質(zhì)，如果f (t) f (j)那么，證明：其中“0”是實常數(shù)。f ej0t f (t)，=f j (-0)端，例如1，f (t)，Ans : 1 2(ej3t 1 2(-3)，4.5傅立葉變換的性質(zhì)，例如2，f(t)=cos0t F(j)=?Ans:F(j)=(0) (-0)，例如3，假設(shè)f(t) F(j)，調(diào)制信號f(t)共0t？4.5傅立葉變換的性質(zhì)，5?？s放變換屬性，如果f (t) f (j)那么，其中“a”是非零實常數(shù)。證明：f f (a t)=，對于a 0，f f (a t)，對于a 0，F(xiàn) f (a t)，即f (a t)，同樣，字母a=-1，f (-t) f (-j)，演示，4.5傅立葉變換屬性，例如1，假定f