1、第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,要點(diǎn), 用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問(wèn)題。,3-1 多項(xiàng)式解答,3-2 矩形截面梁的純彎曲,3-3 簡(jiǎn)支梁受均布荷載,3-4 楔形體受重力和液體壓力,3-5 級(jí)數(shù)式解答,3-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向荷載,主 要 內(nèi) 容,3-1 多項(xiàng)式解答,適用性：,由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。,目的：,考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題。,逆解法,其中： a、b、c 為待定系數(shù)。,檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程：,顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。,（1）,1. 一次多項(xiàng)式,（2）,（3）,對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：,不考慮體力

2、作用,結(jié)論1：,（1）,（2）,一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)面力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；,在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。,2. 二次多項(xiàng)式,（1）,其中： a、b、c 為待定系數(shù)。,(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0),檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有,（2）,(可作為應(yīng)力函數(shù) ),（3）,由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：,2c,2c,2a,2a,結(jié)論2：,二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。,第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.1 多項(xiàng)式解答,結(jié)論：可解決矩形板在y方向受均布拉力（a0）或均布?jí)毫Γ╝0）作用的問(wèn)題。,第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.1

3、 多項(xiàng)式解答,結(jié)論：可解決矩形板受均布剪力作用的問(wèn)題。,第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.1 多項(xiàng)式解答,結(jié)論：可解決矩形板在x方向受均布拉力（c0）或均布?jí)毫Γ╟0）作用的問(wèn)題。,試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。,例：,3. 三次多項(xiàng)式,（1）,其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。,檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有,（2）,(可作為應(yīng)力函數(shù) ),(假定：X =Y = 0),（3）,由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：,結(jié)論3：,三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。,第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.1 多項(xiàng)式解答,（3）三次多項(xiàng)式,討論：,可算得：,圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：,可見(jiàn)：, 對(duì)應(yīng)于矩形截面

4、梁的純彎曲問(wèn)題。,常數(shù) d 與彎矩 M 的關(guān)系：,(1),由梁端部的邊界條件：,(2),可見(jiàn)：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，,說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。,說(shuō)明：,(1),組成梁端力偶 M 的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。,(2),若按其它形式分布，如：,則此結(jié)果不精確，有誤差；,但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。,(3),當(dāng) l 遠(yuǎn)大于 h 時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。,4. 四次多項(xiàng)式,（1）,檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程,（2）,代入：,得,可見(jiàn)，對(duì)于函數(shù)：,其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)力函數(shù)：,（3）,應(yīng)力分量：, 應(yīng)力分量為 x

5、、y 的二次函數(shù)。,第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.1 多項(xiàng)式解答,（4）四次多項(xiàng)式,總結(jié)：,（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)）,（1）,多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。,多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足 。,多項(xiàng)式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。,（2）,一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)面力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。,二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。,（3）,（4）,用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法 逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問(wèn)題）。,第三章

6、 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.2 矩形梁的純彎曲,設(shè)有矩形截面梁，長(zhǎng)為l，高為h，在兩端受大小相等方向相反 的力偶作用而彎曲，如圖。為分析方便，取單位厚度的梁， 并不計(jì)體力。令每單位厚度上力偶的矩為M。,3-2 矩形梁的純彎曲,第三章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,3.2 矩形梁的純彎曲,選取應(yīng)力函數(shù)為：,代入應(yīng)力邊界條件：, 滿足, 滿足, 滿足,則：,1. 應(yīng)力函數(shù)逆解法,2. 應(yīng)力分量,3. 形變分量與位移分量,應(yīng)力分量為：,平面應(yīng)力情況下的物理方程：,（1）形變分量,(a),將式（a）代入得：,(b),（2）位移分量,將式（b）代入幾何方程得：,(c),將式（c）前兩式積分，得：,(d),將

7、式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：,整理得：,（僅為 x 的函數(shù)）,（僅為 y 的函數(shù)）,要使上式成立，須有,(e),式中：為常數(shù)。,積分上式，得,將上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),討論：,式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。,當(dāng) x = x0 =常數(shù), u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。,說(shuō)明： 同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。,橫截面保持平面, 材力中“平截面假定”成立。,（2）,說(shuō)明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即, 材料力學(xué)中撓曲線微分方程,4. 位移邊界條件的利用,（1）兩端簡(jiǎn)支,其邊界條件：,將其代入(f)式，有,將其代回(f)式，有,

8、(3-3),梁的撓曲線方程：, 與材力中結(jié)果相同,（2）懸臂梁,邊界條件,由式（f）可知，此邊界條件無(wú)法滿足。,邊界條件改寫(xiě)為：,（中點(diǎn)不動(dòng)）,（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）,代入式（f），有,可求得：,(3-4),撓曲線方程：,與材料力學(xué)中結(jié)果相同,3-3 簡(jiǎn)支梁受均布荷載,要點(diǎn), 用半逆解法求解梁、長(zhǎng)板類(lèi)平面問(wèn)題。,1. 應(yīng)力函數(shù)的確定,(1),分析：, 主要由彎矩引起；, 主要由剪力引起；,由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。,又 q =常數(shù)，不隨 x 變化。,假設(shè)：,(2),由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：,積分得：,(a),(b), 任意的待定函數(shù),(3),由 確定：,代入相容方程：,方程的特點(diǎn)：

9、,關(guān)于 x 的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。,由“高等數(shù)學(xué)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：,對(duì)前兩個(gè)方程積分：,(c),此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng),對(duì)第三個(gè)方程得：,積分得：,(d),此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),(c),(d),將(c) (d) 代入 (b) ，有,(e),式中含有9個(gè)待定常數(shù)。,(e),2. 應(yīng)力分量的確定,(f),(g),(h),(f),(g),(h),3. 對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用,（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：,由 q 對(duì)稱、幾何對(duì)稱：, x 的偶函數(shù), x 的奇函數(shù),由此得：,要使上式對(duì)任意的 y 成立，須有：,（2）邊界條

10、件的應(yīng)用：,(a) 上下邊界（主要邊界）：,由此解得：,代入應(yīng)力公式,( i ),( j ),( k ),(b) 左右邊界（次要邊界）：,（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）, 難以滿足，需借助于圣維南原理。,靜力等效條件：,軸力 N = 0；,彎矩 M = 0；,剪力 Q = ql；,可見(jiàn)，這一條件自動(dòng)滿足。,(p),截面上的應(yīng)力分布：,注意：,按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：,說(shuō)明式（3-6）在兩端不適用。,材力中幾個(gè)參數(shù)：,截面寬：b=1 ,截面慣矩：,靜矩：,彎矩：,剪力：,將其代入式 ( p ) ，有,（3-6）,比較，得：,（1）,第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。,第二項(xiàng)為修

11、正項(xiàng)。當(dāng) h / l1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng) h / l較大時(shí)，須修正。,（2）,為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。,（3）,與材力中相同。,解題步驟小結(jié)：,（1）,（2）,（3）,根據(jù)問(wèn)題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（ ）的變化形式。,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。,（4）,（5）,將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。,由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力分量 。,由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。,用半逆解法求解梁、矩形長(zhǎng)板類(lèi)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基

12、本步驟：,附：,應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”,要點(diǎn)：,利用材料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。,適用性：,直梁、長(zhǎng)板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。,應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋?設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個(gè)函數(shù)。,材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：,式中：,M(x) 彎矩方程；,Q(x) 剪力方程。,當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力 ，,同時(shí)，橫向分布力q(x)的擠壓作用時(shí)，對(duì)軸向應(yīng)力 也產(chǎn)生影響。,應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：,然后由：,確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。,例：,懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：

13、應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。,解：,(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定,取任意截面，其內(nèi)力如圖：,取 作為分析對(duì)象，可假設(shè)：,（a）, f(y)為待定函數(shù),由 與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：,（b）,對(duì) x 積分一次，有：,對(duì) y 再積分一次，有：,其中：,（c）,（c）,由 確定待定函數(shù)：,（d）,要使上式對(duì)任意的x，y成立，有,（e）,（f）,由式（ e）求得,（g）,由式（ f）得,（h）,（i）,積分式（ h）和（i）得,（j）,（k）,( l ),包含9個(gè)待定常數(shù)，由邊界條件確定。,(2) 應(yīng)力分量的確定,( m ),(3) 利用邊界條件確定常數(shù),( o ),代入可確定常數(shù)為：,代入式（m）得,注：,也可利

14、用 M（x）= 0，考慮,進(jìn)行分析。此時(shí)有：,為待定函數(shù)，由相容方程確定。,剪力：,可假設(shè)剪應(yīng)力：,3-4 楔形體受重力和液體壓力,要點(diǎn),半逆解法（因次或量綱分析法）,問(wèn)題的提法：,楔形體，下部可無(wú)限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形體的容重）；,求：楔形體應(yīng)力分量 。,1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量,(1) 分析：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,的量綱為：,顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。,(2) 應(yīng)力分量,考慮到：X = 0，Y = （常體力）,(a),2. 邊界條件的利用,(1) x=0 （應(yīng)力邊界）：,代入

15、式（a），則應(yīng)力分量為：,(b),(2) （應(yīng)力邊界）：,其中：,將(b)代入，有,代入，可求得：,代入式（b），有：,(3-7), 李維（Levy）解答,沿水平方向的應(yīng)力分布,與材力結(jié)果比較：, 沿水平方向不變，在材力中無(wú)法求得。, 沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同。, 沿水平方向線性分布，材力中為拋物線分布。, 關(guān)于重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。,注：在求應(yīng)變和位移時(shí)，注意這是一個(gè)平面應(yīng)變問(wèn)題。,平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,一、多項(xiàng)式解答,逆解法,二、梁、長(zhǎng)板類(lèi)彈性體應(yīng)力函數(shù)方法材料力學(xué)法,三、三角形板、楔形體的求解方法因此分析法（量綱分析法）,因次分析法（

16、量綱分析法）：,楔形體，下部可無(wú)限延伸。,側(cè)面受水壓作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形體的容重）；,分析思路：,(a), 的量綱為：,的量綱為：,(b),由 推理得：,應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。,應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：,例：,圖示矩形板，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問(wèn)題。式中k、q為常數(shù)（ lh ）。,解：,(1),應(yīng)力分量：,邊界條件：,顯然，上下邊界無(wú)面力作用。,上下邊界,(2),可證滿足相容方程,為應(yīng)力函數(shù)。,左邊界,右邊界,結(jié)論：可解決懸臂梁左端受集中力問(wèn)題。,例：,圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，受有三角形分布荷載作用，體

17、力不計(jì)。試求其應(yīng)力分布。,解：,（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定,梁截面上彎矩和剪力為：,由材料力學(xué)方法可確定應(yīng)力分量的分離變量形式：,取應(yīng)力分量 分析，,由應(yīng)力分量 與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：,對(duì)此式積分：,為待定函數(shù),（2）由相容方程確定待定函數(shù),代入,要使上述方程對(duì)任意的 x 成立，有,(a),(b),(c),積分式（a），得,將上式代入（b）積分，得,積分式（c），得,(d),(e),(f),將求得的,代入應(yīng)力函數(shù)，有,（3）計(jì)算應(yīng)力分量,(g),(h),（3）利用邊界條件確定待定常數(shù),上邊界：,(i),(j),(k),下邊界：,(l),(m),(n),左邊界：,右邊界：,(o),(p),(q),(r

18、),(s),(t),聯(lián)立求解式（i）（t）,可得具體的應(yīng)力分量。,注：位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。,（1）,（2）,試按材料力學(xué)中確定應(yīng)力的方法，寫(xiě)出圖示兩梁所有應(yīng)力分量形式。（含有待定函數(shù)）,思考：,3-5 級(jí)數(shù)式解答,問(wèn)題的提出,多項(xiàng)式解答：,只能求解載荷簡(jiǎn)單，且連續(xù)分布的問(wèn)題。,不能求解載荷復(fù)雜，且間斷分布的問(wèn)題。,級(jí)數(shù)式解答：,其基本思路是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于 xy 的兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積。 分離變量法。,（屬逆解法）,載荷復(fù)雜，且間斷分布的問(wèn)題，可由級(jí)數(shù)式解答解決。,(3-8),顯然，式(3-8) 滿足相容方程，可作為應(yīng)力函數(shù)。且在其上再加若干個(gè)滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)，仍可作為

19、應(yīng)力函數(shù)。,1. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù),?。?2. 級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力分量,將上述應(yīng)力函數(shù) 代入應(yīng)力分量表達(dá)式（2-26），有,(3-9),式（3-9）滿足相容方程、平衡方程，只要適當(dāng)選?。?使其滿足邊界條件，即為某問(wèn)題的解。,3-6 簡(jiǎn)支梁受任意橫向荷載,邊界條件,上下邊界：,左右邊界：,（a）,（b）,（c）,（d）,可求得全部系數(shù) ，代入式（3-10）求得應(yīng)力分量。,說(shuō)明：,（1）,級(jí)數(shù)求解計(jì)算工作量很大，通常由有關(guān)計(jì)算軟件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。,（2）,結(jié)果在梁的端部誤差較大；另外，當(dāng)梁的跨度與高度相當(dāng)時(shí)結(jié)果誤差也較大。,本章重點(diǎn)和難點(diǎn),第三章 平

20、面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答,本章重點(diǎn)和難點(diǎn),（1）應(yīng)力函數(shù)的選擇；,（2）邊界條件的應(yīng)用；,（3）圣維南原理的應(yīng)用。,（多項(xiàng)式解答、材料力學(xué)方法、因次分析法）,(1),圖示矩形板，長(zhǎng)為 l ，高為 h ，體力不計(jì)，試證以下函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問(wèn)題。式中q為常數(shù)。,作 業(yè),作 業(yè),習(xí)題：3 2,彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論小結(jié),一、兩類(lèi)平面問(wèn)題及其特征,體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。,體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。,z 方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸（等截面長(zhǎng)柱體）,二、平面問(wèn)題的基

21、本方程,（1）平衡微分方程,（2-2）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）,（2）幾何方程,（2-9）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）,（3）物理方程,(2-15),（平面應(yīng)力）,(2-16),（平面應(yīng)變）,（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）,三、平面問(wèn)題的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個(gè)量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-20）,位移表示的平衡方程,（2-21）,（2-17）,位移表示的應(yīng)力邊界條件,位移邊界條件,（2）按應(yīng)力求解,思路：,以應(yīng)力 為基本未知量，將基本方程用只有 的3個(gè)方