1、3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,宿遷青華中學(xué) 徐守高,1、實(shí)際問題中的應(yīng)用.,在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的 最大(小)值的問題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.,在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.,在實(shí)際問題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值, 那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值. 這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.,滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.,3、求最大（最?。┲祽?yīng)用題的一般方法,(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)關(guān)系式

2、，這是關(guān)鍵一步。,(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn)。,(3)比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小， 結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn)。,2、實(shí)際應(yīng)用問題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來。,首先，通過審題，認(rèn)識(shí)問題的背景，抽象出問題的實(shí)質(zhì)。 其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再解。,4.問題類型,1.幾何方面的應(yīng)用,2.物理方面的應(yīng)用.,3.經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用,(面積和體積等的最值),(利潤方面最值),(功和功率等最值),解:設(shè)箱底邊長為x cm，,箱子容積為V=x2 h,例1 在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱

3、底邊長為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？,則箱高,V =60 x3x/2,令V =0，得x=40, x=0,(舍去),得V (40)=16000,答：當(dāng)箱底邊長為x=40時(shí),箱子容積最大，最大值為16000cm3,在實(shí)際問題中，如果函數(shù) f ( x )在某區(qū)間內(nèi) 只有一個(gè)x0 使f (x0)=0,而且從實(shí)際問題本身又可 以知道函數(shù)在 這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn) 比較， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間),11年應(yīng)用題是全卷的焦點(diǎn) 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角

4、三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm （1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？ （2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值。課本例題的改編導(dǎo)數(shù)解決放到17題位置相對(duì)簡單。,練習(xí)2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí),如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?,R,h,解 設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R.,則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判斷S(R)只有一個(gè)極

5、值點(diǎn),且是最小值點(diǎn).,答 罐高與底的直徑相等時(shí), 所用材料最省.,200817如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處AB20km，BC10km為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO記鋪設(shè)管道的總長度為ykm （1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式： （i）設(shè) （rad），將表示成的函數(shù)； （ii）設(shè) （km），將表示成的函數(shù)； （2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短。 【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用,例3.已知某商品生

6、產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q, 價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為 求產(chǎn)量q為何值 時(shí),利潤L最大。,分析:利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格.由此可得出 利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.,求得唯一的極值點(diǎn),因?yàn)長只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最大值.,答:產(chǎn)量為84時(shí),利潤L最大.,解:設(shè)B(x,0)(0x2), 則 A(x, 4x-x2).,從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積 為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以當(dāng) 時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為 時(shí),矩形的最大面積是,例4，如圖，設(shè)

7、鐵路AB之間距離為50km，C到AB的距離為10km，現(xiàn)將貨物從A運(yùn)往C，已知單位距離鐵路費(fèi)用為2a元，公路費(fèi)用為4a元，問在AB上何處修筑公路至C，可使運(yùn)費(fèi)由A至C最??？,解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為,令 ,在 的范圍內(nèi)有 唯一解x=15.,所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.,注:可以進(jìn)一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的 最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離 不超過15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)

8、重合.,練習(xí)1、把長為100cm的鐵絲分為兩段，各圍成正方形，怎樣分法才能使兩個(gè)正方形面積之和最??？,x,解:設(shè)分成一段長為4xcm,則第一個(gè)正方形面積為另一個(gè)面積為,所以面積之和為,所以4x-50=0得x=12.5 ,當(dāng)x12.5時(shí)，s0,故當(dāng)x=12.5時(shí)s最大值為312.5平方厘米,答：當(dāng)一段為4x50cm時(shí)，面積之和最小，此時(shí)另一段也為50cm,練習(xí)2、同一個(gè)圓的內(nèi)接三角形中，等邊三角形面積最大。,提示：設(shè)圓的半徑為R（常數(shù)），等腰三角形的底的邊心距為x，則高為Rx,底邊長為_,等腰三角形的面積為,A,B,C,R,X,R,此時(shí)可求得ABACBC,練習(xí)3、做一個(gè)容積為256升的方底無蓋水

9、箱，它的高為多少時(shí)最省材料?,練習(xí)4、用鐵皮剪一個(gè)扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，扇形的圓心角多大時(shí)容積最大？,a,x,解3、設(shè)水箱的高為xdm,則它的底邊長為 a= dm,水箱所用的材料的面積為,因?yàn)閟(x)只有一個(gè)極值，故高為4dm時(shí)最省料,升 立方分米,4、設(shè)圓鐵皮半徑為R，扇形的圓心角為弧度，則圓錐底半徑為,R,圓錐的高為,圓錐形容器的容積為,因過小或過大都會(huì)使V變小，故時(shí)，容器的容積最大。,r,R,h,練習(xí)5、已知海島A與海岸公路BC的距離AB為50KM，B、C間的距離為100KM，從A到C，先乘船，船速為25KM/h，再乘車，車速為50KM/h，登陸點(diǎn)選在何處所用時(shí)間最少？,A,B,C,D,解：設(shè)登陸點(diǎn)選在D處，使BDxKM，則乘船距離為， 乘車距離為(100 x)KM,所用時(shí)間,（舍去負(fù)值）,因?yàn)楫?dāng)x 時(shí)，t0,故當(dāng) 登陸點(diǎn)選在距離BKM處時(shí)所用時(shí)間最少。,練習(xí)4:已知x,y為正實(shí)數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=