1、有限元法原理及應(yīng)用Finite Element Method and Its Applications,Institute of Mechanical Engineering and Automation IMEA,Hsiang Jiawei, Ph D School of Mechantronic Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin, 541004, P.R.C. TelE-mail: ,桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院機(jī)械工程及自動化所,2020/8/7,2,3 彈性力學(xué)有限單

2、元法原理,第3節(jié) 小波平面彈性板單元,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,第4節(jié) 結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,Institute of Mechanical Engineering and Automation,第1節(jié) 概述,第5節(jié) 小結(jié),2020/8/7,3,第1節(jié) 概 述,有限元方法起源于彈性力學(xué)問題求解，最先發(fā)展的是平面三角形位移元。經(jīng)過半個多世紀(jì)的發(fā)展，發(fā)展了一批具有不同精度的單元，也是有限元單元技術(shù)發(fā)展最成熟的領(lǐng)域，應(yīng)用最成功的領(lǐng)域是土木工程結(jié)構(gòu)靜動力學(xué)分析中。在彈性力學(xué)問題位移元方法中，有限元法一般包括以下幾個步驟：,概述,Institute of Mechanical

3、 Engineering and Automation,將連續(xù)體離散化，即將連續(xù)求解域離散為一組由虛擬的點、線、面構(gòu)成的有限個“單元”的組合體，這樣的組合體能夠解析地模擬或逼近求解區(qū)域。 假設(shè)上述“單元”由位于單元邊界上的節(jié)點相互連接在一起，以這些節(jié)點位移作為基本未知量。 利用節(jié)點未知量，選擇一組插值函數(shù)唯一地定義每一個單元內(nèi)相應(yīng)物理場(位移、應(yīng)力、應(yīng)變等)的分布，即選擇單元位移模式或單元列式。,2020/8/7,4,第1節(jié) 概 述,概述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,將各種類型的載荷變換為只作用在節(jié)點上的等效載荷，建立基

4、本未知量與等效節(jié)點載荷之間的基本方程。 求解基本方程，得到基本未知量的解答。,整個求解區(qū)域的未知場函數(shù)可由各個單元節(jié)點上的數(shù)值以及插值函數(shù)近似表示。這樣一來，在一個問題的有限元分析中，未知場函數(shù)的有限個節(jié)點值就成為待求全部的未知量，從而使一個連續(xù)體的無限自由度問題簡化為有限自由度問題。,2020/8/7,5,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,彈性力學(xué)假設(shè),Institute of Mechanical Engineering and Automation,彈性力學(xué)與我們十分熟悉的材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精

5、確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡化計算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：,2020/8/7,6,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,彈性力學(xué)假設(shè),Institute of Mechanical Engineering and Automation,物體是連續(xù)的，亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。 物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物

6、體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。 物體是均勻的，也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。,2020/8/7,7,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,彈性力學(xué)假設(shè),Institute of Mechanical Engineering and Automation,各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，整個物體所有各點

7、的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。,2020/8/7,8,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,作用于彈性體的外力(或稱荷載)可能有兩種： 表面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個成分，

8、用記號 來表示。 體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分，用記號X、Y、Z表示。 彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,2020/8/7,9,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,10,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個角碼，例如，正應(yīng)力x是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著x

9、軸方向作用的。,正應(yīng)力,加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力xy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。,剪應(yīng)力,2020/8/7,11,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,應(yīng)力的正負(fù) 如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為負(fù)。 相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸正方向為負(fù)。,剪應(yīng)力互等定律 作

10、用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號也相同)。因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào)。即：,2020/8/7,12,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以證明：如果 這六個量在P點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應(yīng)力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個應(yīng)力分量的總體，可以

11、用一個列矩陣 來表示：,2020/8/7,13,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,14,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述： 1、給出各點的位移；2、給出各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點的位移，用此位移在x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)

12、方向為負(fù)。這三個投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。,2020/8/7,15,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,體素的變形(應(yīng)變)可以分為兩類： 一類是長度的變化，一類是角度的變化。 任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變(或稱正應(yīng)變)，用符號 來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。當(dāng)線素伸長時，其線應(yīng)變?yōu)檎?。反之，線素縮短時，其線應(yīng)變?yōu)樨?fù)。這與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)。 任意兩個原來彼此正交

13、的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號 來表示。兩坐標(biāo)軸之間的 角應(yīng)變則加上相應(yīng)的角碼分別用 來表示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時為正，變大時為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng) (正的 引起正的 ，等等)。,2020/8/7,16,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,17,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,1

14、8,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,19,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,20,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點，已知這三個垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三

15、個剪應(yīng)變，則該點任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個量可以完全確定該點的應(yīng)變分量，它們就稱為該點的應(yīng)變分量。 六個應(yīng)變分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：,2020/8/7,21,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,22,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,23

16、,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,24,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,25,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式(11)改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，并將式(

17、10)代入，可得物理方程的第二種形式：,2020/8/7,26,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,式(12)可用矩陣的形式表示如下：,式(13)可簡寫為由彈性體性質(zhì)決定的物理方程：,2020/8/7,27,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,D稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)E和,2020/8/7,28,Institute of Mechanical Engin

18、eering and Automation,總結(jié)-彈性力學(xué)基本方程（分量形式）,一、平衡方程,二、幾何方程,三、本構(gòu)關(guān)系,四、協(xié)調(diào)方程,五、邊界條件(應(yīng)力,位移),位移,應(yīng)力,2020/8/7,29,Institute of Mechanical Engineering and Automation,總結(jié)-彈性力學(xué)基本方程（矩陣形式）,位移列陣,體積力列陣,應(yīng)力列陣,應(yīng)變列陣,表面外法線方向余弦矩陣,微分算子列陣,表面力列陣,已知位移列陣,2020/8/7,30,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,彈性力學(xué)的變分原理,Institute of Mechanical Engineering and Aut

19、omation,彈性力學(xué)變分原理包括基于自然變分原理的最小位能/勢能原理和最小余能原理，以及基于約束變分原理的胡海昌-鷲津久一郎廣義變分原理(二類變量變分原理)，HellingerReissner混合變分原理，Hamilton變分原理等等。,2020/8/7,31,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,最小位能/勢能原理,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,32,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,Hamilton變分原理,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020

20、/8/7,33,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,Hamilton變分原理,Institute of Mechanical Engineering and Automation,(20),2020/8/7,34,第2節(jié) 彈性力學(xué)變分原理,原理的具體應(yīng)用,Institute of Mechanical Engineering and Automation,在本章3、4、5、6節(jié)中，詳細(xì)討論如何從彈性力學(xué)勢能/能量泛函，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動能和勢能出發(fā)，建立與相應(yīng)問題對應(yīng)的單元和單元求解方程。3、4節(jié)討論基于小波插值基函數(shù)的小波單元構(gòu)造3，而傳統(tǒng)多項式插值基函數(shù)構(gòu)造單元的過程與其類似，區(qū)別在于插值基函數(shù)是多項式。其

21、目的在于對解決彈性力學(xué)問題的有限元單元構(gòu)造技術(shù)有一個概念性的了解，以引導(dǎo)準(zhǔn)備從事有限元方法研究的研究者。,2020/8/7,35,第3節(jié)小波平面彈性板單元,構(gòu)造過程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,36,第3節(jié)小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,37,第3節(jié)小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020

22、/8/7,38,第3節(jié)小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,二維C0型單元轉(zhuǎn)換矩陣,2020/8/7,39,第3節(jié)小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,40,第3節(jié)小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,41,第3節(jié)小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechan

23、ical Engineering and Automation,2020/8/7,42,第3節(jié) 小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,43,第3節(jié) 小波平面彈性板單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,44,第3節(jié) 小波平面彈性板單元,算例分析,Institute of Mechanical Engineering and Automation,算例 圖示L板問題，彈性模量E=1500/1

24、6，泊松比=0.25，參數(shù)見圖所示，分析線EF上的應(yīng)力x分布。,圖 L 板 (、分別代表劃分的子域),L板問題在角點o附近具有局部應(yīng)力奇異性,2020/8/7,45,第3節(jié) 小波平面彈性板單元,算例分析,Institute of Mechanical Engineering and Automation,應(yīng)力求解精度相當(dāng)，求解規(guī)模 只有傳統(tǒng)單元(ANSYS軟件)的1/89,2020/8/7,46,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,構(gòu)造方法,Institute of Mechanical Engineering and Automation,單元質(zhì)量矩陣,單元陀螺和阻尼矩陣

25、,單元剛度矩陣,2020/8/7,47,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,48,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,49,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,(35)

26、,2020/8/7,50,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,(38),2020/8/7,51,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,52,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8

27、/7,53,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,54,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,55,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,56,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,57,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,2020/8/7,58,第4節(jié)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的小波Timoshenko梁單元,單元推導(dǎo),Institute of Mechanical Engineering and Automation,該方程如何