1、第一章靜電場,基本內(nèi)容： 1-1 電場強度電位1-2 高斯定律 1-3 靜電場基本方程分界面上的銜接條件 1-4 靜電場邊值問題唯一性定理 1-5 分離變量法 1-6 有限差分法 1-7 鏡像法和電軸法 1-8 電容和部分電容1-9 靜電能量與力,1-5 分離變量法,一、分離變量方法的基本思想 分離變量方法又稱 Fourier 級數(shù)方法。其實質(zhì)是通過變量分離將偏微分方程變?yōu)楹写▍?shù)的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)。利用本征函數(shù)的完備性展開表示待求函數(shù)；把待求函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求展開系數(shù)。通過邊界條件等確定展開的系數(shù)，從而求出問題的解。,二、直角坐標(biāo)系中的分離變量法,很

2、明顯， 為x,y的函數(shù)。則可令,代入方程得,僅為x坐標(biāo)函數(shù),僅為y坐標(biāo)函數(shù),要使對任意x,y兩式相等，則須兩式均為常數(shù)。令,分離常數(shù),通過引入分離常數(shù)k，將二維拉普拉斯方程分解為兩個齊次常微分方程。分別解兩個常微方程就可以得出原問題的解。,解常微分方程（k取值不同解形式不同）：,當(dāng)k=0時：,當(dāng)k0時：,由于三角函數(shù)具有周期性，因此解中的分離變量k可以取一系列 特定的值kn(n=1,2,3），即：,由于拉普拉斯方程是線性方程，因此方程的特解的線性組合 仍然是方程的解。,將所有的特解線性組合起來，得到電位函數(shù)的通解。,解中所有未知系數(shù)和分離變量kn由邊界條件確定。,分離變量法舉例,建立求解方程：

3、,導(dǎo)體槽內(nèi)為無源區(qū)，故電位滿足拉普拉斯方程，即,問題：如圖所示無限長金屬導(dǎo)體槽，其頂面電位為u，其余三面接地，求導(dǎo)體槽內(nèi)電位分布。,（1） （2） （3） （4）,由條件（4）,由條件（1）,由條件（2）,由條件（3）,所以，接地導(dǎo)體槽內(nèi)部電位分布為,將u在（0，a)區(qū)間展開為 傅立葉級數(shù),三、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,四、分離變量方法的基本程序 提煉出定解問題的數(shù)學(xué)表達式 選取適合變量分離的正交坐標(biāo)系 把方程和邊界條件進行變量分離 求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù) 由本征函數(shù)構(gòu)造定解問題的解 利用邊界條件確定展開系數(shù)， 驗證解,【例3】 無窮長導(dǎo)體圓筒，半徑為a，厚度可以忽略不計。圓筒分

4、成相等的兩個半片，相互絕緣。其中的一半的電位為 ，另一半電位為 ，求圓筒內(nèi)的電位分布。,1-6 有限差分法,一、有限差分法的提出 對于邊值問題的求解，當(dāng)邊界形狀較簡單時，可通過分離變量等方法進行求解。當(dāng)邊界比較復(fù)雜時，只能求其近似解。（有限差分法，有限元法） 有限差分法的基本思想： 1 將待求場域用網(wǎng)格分割，將拉普拉斯方程用差分方程 式進行代換。 2 將求拉氏方程的解變成求差分方程組的解。,二、差分格式,1.差分與差商 差分： f(x)f(x+h) - f(x) 差商： 中間差商： 二階導(dǎo)數(shù)：,同理對二階偏導(dǎo)數(shù)： 可表示為 1234 400 則 在場域中列出n個方程，有n個未知數(shù)，可求出各點電

5、位。計算時用迭代法。,三、差分方程組的解,1.高斯-塞德爾迭代法： 1） 對節(jié)點（xi,yi）賦初值 2） 迭代處理 3） 結(jié)束條件 2.逐次超松弛法： 迭代過程同上，但要進行加權(quán)處理。 迭代格式 其中稱加速收斂因子，1 2,3.計算示例：,求下列邊值問題的解。 解：取網(wǎng)格h=5,得差分方程,用迭代法求解 若賦初值u1(0)= u2(0)= u3(0)=0，最大允許偏差 W510-5。 經(jīng)過6次迭代后得： u1=1.786 ，u2= 7.143 ， u3=26.786。 若以h=2.5作網(wǎng)格，需經(jīng)32次迭代。,1-7 鏡像法和電軸法,是唯一性定理的典型應(yīng)用。 1）將分片均勻媒質(zhì)看作均勻。 2）

6、用虛設(shè)簡單電荷代替實際復(fù)雜電荷(感應(yīng)、極化電荷)。 3）滿足給定的邊界條件。 一、鏡像法 1.平面鏡像法 2.球面鏡像法 二、電軸法,一、鏡像法,幾個實例：,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,求解位于接地導(dǎo)體板附近的點電荷產(chǎn)生的電位,接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。,q,非均勻感應(yīng)電荷,q,等效電荷,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,1.平面鏡像法,1）導(dǎo)體感應(yīng)電荷 求無窮大接地導(dǎo)體平板上方點電荷在上半空間的電位。 解：定解問題為： 導(dǎo)體平板上方的電位為點電荷的貢獻和導(dǎo)體平板面上感應(yīng)電荷的貢獻的疊加。如果能

7、找到一個與導(dǎo)體平板感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生電位等效的像電荷q來代替導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，那么導(dǎo)體平板上方的電位可以表示為,R1,R2,h,x,y,z,若滿足 則像電荷須滿足下列條件： 像電荷的位置不在上半空間 像電荷在原電荷與感應(yīng)電荷中心的連線上 像電荷與原電荷的符號相反 像與原電荷在平面xoy上的電位為零 即原點電荷關(guān)于無限大平面的鏡像點電荷。 原問題的解為：,進一步討論,即：無限大導(dǎo)體平面上，點電荷的鏡像電荷電量與其在導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷電量相等。,無限大接地導(dǎo)體分界面上感應(yīng)電荷,線電荷對無限大接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像,對于線電荷對于接地導(dǎo)體面的鏡像，類似地可得到等效問題,在z0空間的電位分布為

8、：,點電荷對相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像,如圖，兩半無限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。,要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個鏡像電荷。如圖所示。,對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為 ，則所有鏡像電荷數(shù)目為2n-1個。,2）介質(zhì)極化電荷,問題：點電荷位于兩種電介質(zhì)分界面上方h，求空間電位分布。,分析：在介質(zhì)分界面上將存在極化面電荷，空間電位由極化面電荷和電荷q共同產(chǎn)生。,解決問題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。,q,h,O,1,2,z,h,O,2,z,P,R2,區(qū)域1的電位由q和位于區(qū)域2中的鏡像電荷q共同產(chǎn)生,區(qū)域2的電位由q和位于區(qū)域1中的鏡像電荷q共同產(chǎn)生,在z=0面

9、上應(yīng)用電位邊界條件,2. 球面鏡像法,解：定解問題為： 鏡像電荷位于球心與電荷q連線上。 令鏡像電荷電量為q，與球心距離為d。要保持邊界條件不變，則： 在空間中任意點 處電位為：,當(dāng)電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)時，將在導(dǎo)體內(nèi)表面激勵起感應(yīng)電荷，但由于球殼接地，在球外空間不能建立起場分布（被屏蔽）。 可以求得鏡像電荷：,對點電荷位于接地導(dǎo)體球殼內(nèi)問題的討論,點電荷對不接地球面導(dǎo)體邊界的鏡像,當(dāng)球殼不接地時，導(dǎo)體球面電位不為0，球面上存在正、負(fù)感應(yīng)電荷（感應(yīng)電荷總量為0）。,處理方法：電位疊加原理,處理過程： 先假設(shè)導(dǎo)體球面接地，則球面上存在電量為q的感應(yīng)電荷，鏡像電荷可采用前面的方法確定。 斷開接地。將電量為-q的電荷加到導(dǎo)體球面上，這些電荷必然均勻分布在球面上，以使導(dǎo)體球為等勢體。 均勻分布在導(dǎo)體球面上的電荷-q可以用位于球心的等量點電荷等效。,分析可知：點電荷q對非接地導(dǎo)體球面的鏡像電荷有兩個.,鏡像電荷1：,電量：,位置：,鏡像電荷2：,電量：,位置：位于球心。,球外空間某點電位為：,二、電軸法,兩平行長直圓柱導(dǎo)體的電場 首先分析無限長直線電荷產(chǎn)生的電場,合成電位： 當(dāng)參