1、,第十四章 達(dá)朗貝爾原理,達(dá)朗貝爾原理,達(dá)朗貝爾原理又稱為“動(dòng)靜法”,達(dá)朗貝爾原理是在十八世紀(jì)隨著機(jī)器動(dòng)力學(xué)問題的發(fā)展而提出的，它提供了有別于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)方程的分析和解決動(dòng)力學(xué)問題的一種新的普遍方法，但卻獲得了與上述定理形式上等價(jià)的動(dòng)力學(xué)方程，尤其適用于非自由質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)求解動(dòng)約束力和彈性桿件動(dòng)應(yīng)力等問題。因此在工程技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用。,用達(dá)朗貝爾原理處理問題的關(guān)鍵:慣性力系的簡(jiǎn)化,引入慣性力,達(dá)朗貝爾原理,爆破時(shí)煙囪怎樣倒塌,第十四章 達(dá)朗貝爾原理,達(dá)朗貝爾原理, 達(dá)朗貝爾原理, 動(dòng)靜法應(yīng)用舉例, 轉(zhuǎn)子的靜平衡與動(dòng)平衡, 慣性力系簡(jiǎn)化,A,B,M,該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)基本方程為,設(shè)質(zhì)量為m的非自

2、由質(zhì)點(diǎn)M，在主動(dòng)力F和約束力FN作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，,F,FN,或,引入質(zhì)點(diǎn)的慣性力Fg =ma 這一概念，于是上式可改寫成,上式表明，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力、約束力和質(zhì)點(diǎn)的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。,一、質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗伯原理,質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗貝爾原理的投影形式,質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗伯原理,這表明，在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于每一質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和該質(zhì)點(diǎn)的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系。,上述質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理可以直接推廣到質(zhì)點(diǎn)系。將達(dá)朗貝爾原理應(yīng)用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)，得到n個(gè)矢量平衡方程。,這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。,二、質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗伯原理,對(duì)于所討論的質(zhì)點(diǎn)系，有n個(gè)形式如上

3、式的平衡方程，即有n個(gè)形式上的平衡力系。將其中任何幾個(gè)平衡力系合在一起，所構(gòu)成的任意力系仍然是平衡力系。根據(jù)靜力學(xué)中空間任意力系的平衡條件，有,質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗伯原理,考慮到上式中的求和可以對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中任何一部分進(jìn)行，而不限于對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，因此，該式并不表示僅有6個(gè)平衡方程，而是共有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。同時(shí)注意，在求和過程中所有內(nèi)力都將自動(dòng)消去。,上式表明，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束力和該點(diǎn)的慣性力所構(gòu)成力系的主矢等于零，該力系對(duì)任一點(diǎn)O的主矩也等于零。,達(dá)朗貝爾原理提供了按靜力學(xué)平衡方程的形式給出質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)方程的方法，這種方法稱為動(dòng)靜法。這些方程也稱為動(dòng)態(tài)平衡方程。,質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗伯原理

4、,例1：電機(jī)護(hù)環(huán)直徑D，環(huán)截面面積A，材料密度 （kg/m3），轉(zhuǎn)子角速度=常數(shù)。,求：護(hù)環(huán)截面張力。,解：研究對(duì)象：,運(yùn)動(dòng)分析：,慣性力,離心力作用在使葉片產(chǎn)生加速度的葉輪上,動(dòng)力學(xué)問題,形式上的靜力平衡,剛體慣性力系的簡(jiǎn)化,1剛體作平動(dòng),結(jié)論：平動(dòng)剛體的慣性力系可以簡(jiǎn)化為通過質(zhì)心的合力，其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度方向相反。,位置：,合力大小：,2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),主矢：,向轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)簡(jiǎn)化,主矩：,剛體有對(duì)稱面，且轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱面垂直。,2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),向質(zhì)心C點(diǎn)簡(jiǎn)化,結(jié)論：剛體繞與對(duì)稱面垂直的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系可以簡(jiǎn)化為對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。該力等于mac，方向與a

5、c方向相反，作用在軸(質(zhì)心)上；該力偶的矩等于Jo a(JC a)，方向與a相反。,例：圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，繞O點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為w，角加速度為a，計(jì)算桿上慣性力系向O點(diǎn)和質(zhì)心C簡(jiǎn)化的結(jié)果。,解：運(yùn)動(dòng)分析,向O點(diǎn)簡(jiǎn)化,向質(zhì)心C簡(jiǎn)化,3剛體作平面運(yùn)動(dòng),剛體有對(duì)稱面，且平行與對(duì)稱面運(yùn)動(dòng),主矢：,向質(zhì)心C點(diǎn)簡(jiǎn)化,主矩：,結(jié)論：剛體在與對(duì)稱面平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性力系可以簡(jiǎn)化為對(duì)稱面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。該力等于mac，方向與ac方向相反，作用在質(zhì)心上；該力偶的矩等于JC a，方向與a相反。,例：圖示均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為，沿水平面作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，角速度為w，角加速度為a，計(jì)算圓輪

6、上慣性力系向圓心O簡(jiǎn)化的結(jié)果。,解：運(yùn)動(dòng)分析,向圓心O簡(jiǎn)化,O,慣性力系的主矩與剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。,慣性力系的主矢與剛體的運(yùn)動(dòng)形式無關(guān)。, 注 意,與簡(jiǎn)化中心選取無關(guān),與簡(jiǎn)化中心選取有關(guān),綜上所述：,例題 2 汽車連同貨物的總質(zhì)量是m ，其質(zhì)心 C 離前后輪的水平距離分別是 b 和 c ，離地面的高度是 h 。當(dāng)汽車以加速度a沿水平道路行駛時(shí)，求地面給前、后輪的鉛直反力。輪子的質(zhì)量不計(jì)。,A,B,C,c,b,h,a,研究對(duì)象:汽車連同貨物 汽車實(shí)際受到的外力：重力 G， FNA 、 FNB 以及水平摩擦力 FB (注意：前輪一般是被動(dòng)輪，當(dāng)忽略輪子質(zhì)量時(shí)，其摩擦力可以不計(jì))。,解：,慣性力系

7、合成: Fg= ma 。,根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，寫出汽車的動(dòng)態(tài)平衡方程,汽車剎車時(shí)，前輪和后輪哪個(gè)容易“抱死”？,車輪防抱死裝置ABS: Anti-Brake System, 思考題,分析汽車剎車時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性,剎車時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性：車頭下沉； 若質(zhì)心在中間，后輪容易打滑。,A,B,例題3 如圖所示，勻質(zhì)滑輪的半徑為r，質(zhì)量為m，可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。輪緣上跨過的軟繩的兩端各掛質(zhì)量為m1 （A）和m2 （B）的重物,且m1 m2 。繩的重量不計(jì)，繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，軸承摩擦忽略不計(jì)。求重物的加速度和軸承反力。,O,A,B,r,O,系統(tǒng)為研究對(duì)象 受力：重力m1g，m2g，mg，軸承約束反力FN。,O,

8、A,B,r,y,解：,慣性力分別為：,O,MgO=JO =,慣性力偶矩：,應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程，得,解得,例題4 如圖所示，勻質(zhì)圓盤的半徑為r，質(zhì)量為m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。突然剪斷繩，求圓盤的角加速度和軸承O處的反力。,A,B,r,O,C,圓盤定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，慣性力向轉(zhuǎn)軸O簡(jiǎn)化。,解：,Fgt=matC= m r,MgO= JO =,Fgn=mr2= 0,應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程，得,FOx +Fgn=0,FOy + Fgtmg= 0,是否可以,？,A,r,O,C,y,x,慣性力系能否向C點(diǎn)簡(jiǎn)化？,應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程，得, 討論,Fgt=matC= m r,MgC= Jc =,Fgn

9、=mr2= 0,FOx +Fgn=0,FOy + Fgtmg= 0,A,r,O,C,y,x,Fgt=matC= m r,MgO= JO =,Fgn=mr2= 0,Fgt=matC= m r,MgC= Jc =,Fgn=mr2= 0,慣性力系向轉(zhuǎn)軸O和質(zhì)心C簡(jiǎn)化結(jié)果對(duì)比,例題 5 用長(zhǎng) l 的兩根繩子 AO 和 BO 把長(zhǎng) l ，質(zhì)量是 m 的勻質(zhì)細(xì)桿懸在點(diǎn) O (圖 a )。當(dāng)桿靜止時(shí)，突然剪斷繩子 BO ，試求剛剪斷瞬時(shí)另一繩子 AO 的拉力。,O,l,l,l,B,A,C,（a）,繩子剪斷后，桿AB平面運(yùn)動(dòng)；桿AB上受繩子AO的拉力F和桿的重力mg。,解：,對(duì)桿作加速度分析,以質(zhì)心C作基點(diǎn),

10、aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC (1),例題 5-6,在繩BO剛剪斷的瞬時(shí)，桿的角速度 = 0 ，角加速度 0。因此,anAC = AC 2 = 0,atAC = l2,把 (1)式投影到點(diǎn)A軌跡的法線 AO上,即,FgCx = maCx , FgCy = maCy,M gC= JCz,根據(jù)運(yùn)動(dòng)分析，加慣性力和慣性力偶矩,由動(dòng)靜法寫出桿的動(dòng)態(tài)平衡方程，有,求解，得,四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力 轉(zhuǎn)子靜平衡和動(dòng)平衡,例：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=20kg，偏心距e=0.1mm，轉(zhuǎn)速n=12000r/min。,求：當(dāng)質(zhì)心 C 轉(zhuǎn)到最低位置時(shí)軸承所受的壓力。,解：

11、研究對(duì)象:轉(zhuǎn)子,受力分析:如圖示,運(yùn)動(dòng)分析:轉(zhuǎn)動(dòng),靜反力,附加動(dòng)反力,例：兩圓盤質(zhì)量均為m，對(duì)稱偏心距均為e，=常量。,求：圖示位置A、B軸承反力。,解：研究對(duì)象:轉(zhuǎn)子,受力分析:如圖示,運(yùn)動(dòng)分析:轉(zhuǎn)動(dòng),靜反力,設(shè)有繞固定軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，在任意瞬時(shí)的角速度是，角加速度是 。取固定坐標(biāo)Oxyz如圖所示。,x,FR、Mo為主動(dòng)力系的主矢和主矩， Fgo、 Mgo慣性力系對(duì)點(diǎn)O的主矢和主矩。,根據(jù)達(dá)朗貝爾定理，列出動(dòng)態(tài)平衡方程，有,由前五個(gè)式子即可求得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承處的反力。該反力由兩部分組成：一部分為主動(dòng)力系所引起的靜反力；另一部分是由轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系所引起的附加反動(dòng)力。與此對(duì)應(yīng)，軸承所受的

12、壓力也可分為靜壓力和附加動(dòng)壓力。,D,D,剛體對(duì)y、z軸的慣性積,剛體對(duì)x、z軸的慣性積,解得,整個(gè)剛體慣性力的主矢F*在各軸上投影分別是,5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力,rz,D,5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力,rz,D,整個(gè)剛體慣性力的主矩M*在各軸上投影分別是,FRx、FRy 、 FRz分別為主動(dòng)力系主矢在坐標(biāo)軸上的投影， MRx、MRy 、 MRz分別為主動(dòng)力系對(duì)點(diǎn)O的主矩在各坐標(biāo)軸上的投影。,根據(jù)達(dá)朗貝爾定理，列出動(dòng)態(tài)平衡方程，有,5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力,由前五個(gè)式子即可求得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承處的動(dòng)反力。顯然，該動(dòng)反力由兩部分組成：一部分為主動(dòng)力系所引起的靜反力；另一部分是由轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系所引起的附加反動(dòng)力。與此對(duì)應(yīng)，軸承所受的壓力也可分為靜壓力和附加動(dòng)壓力。,根據(jù)達(dá)達(dá)朗貝爾定理，列出動(dòng)態(tài)平衡方程，有,5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承處的動(dòng)反力分析,5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體軸承處的動(dòng)反力分析,5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的動(dòng)壓力,定軸轉(zhuǎn)