1、第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出 第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析 第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,第二講：方差分析（ANOVA）,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,先看一個(gè)例子： 考察溫度對(duì)某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度， 同一溫度做了三次試驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下： 要分析溫度的變化對(duì)得率的影響,總平均得率=89.6%,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,從平均得率來(lái)看，溫度對(duì)得率的影響? 1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗(yàn)過(guò)程中各種偶然性因素的干擾及測(cè)量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗(yàn)誤差； 2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗(yàn)中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC相比較，第一次65oC比70oC

2、 好，而后二次70oC比65oC 好。 產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗(yàn)誤差的干擾。 由于試驗(yàn)誤差的存在，對(duì)于不同溫度下得率的差異自然要提出疑問(wèn)，這差異是試驗(yàn)誤差造成的，還是溫度的影響呢?,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部15個(gè)數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或總離差)。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗(yàn)誤差，一是條件變差。 2) 方差分析解決這類問(wèn)題的思想是： a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗(yàn)誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù)量表示； b. 用條件變差和試驗(yàn)誤差在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說(shuō)明條件的變化對(duì)指標(biāo)影響不大；反之，則說(shuō)明條件的變化影響是

3、很大的，不可忽視； c. 選擇較好的工藝條件或確定進(jìn)一步試驗(yàn)的方向；,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,變差的數(shù)量表示： 有n個(gè)參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, , xn, 它們之間的差異稱為變差。 如何給變差一個(gè)數(shù)量表示呢? 1) 一個(gè)最直觀的想法是用這n個(gè)數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來(lái)表達(dá)，用R記之； 2) 變差平方和，以S記之。 S是每個(gè)數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個(gè)測(cè)度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。,其中,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,對(duì)變差平方和的進(jìn)一步討論： 例：測(cè)得某高爐的六爐鐵水含碳量為: 4.59，4.44，4.53，4.52， 4.72，4.55，求其變差平方和。,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,對(duì)變差平方和的進(jìn)一

4、步討論(2)： 我們看到S的計(jì)算是比較麻煩的，原因是計(jì)算x時(shí)有效位數(shù)增加了 因而計(jì)算平方時(shí)工作量就大大增加。另外，在計(jì)算x時(shí)由于除不 盡而四舍五入，在計(jì)算S時(shí)，累計(jì)誤差較大。為此常用以下公式:,對(duì)于前面的例子,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,自由度的提出： 例2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測(cè)了四爐鐵水，它 們是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原來(lái)的六爐共十爐，求其變方 和。,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,自由度的提出(2)： 平均數(shù)與過(guò)去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們 要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來(lái)的影響。 一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推

5、知這不是一個(gè)最好的辦法，而應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù) 就叫做自由度。,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,自由度的提出(3)： 設(shè)有n個(gè)數(shù)y1, y2, , yn, 它們的平方和 的自由度是多 少呢? 這就看yi 之間有沒(méi)有線性約束關(guān)系，如果有m個(gè)(0mn) 線性約束方程 a11y1+a12y2+ +a1nyn = 0 a21y1+a22y2+ +a2nyn = 0 am1y1+am2y2+ +amnyn = 0 并且這m個(gè)方程相互獨(dú)立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于m, 則S的自 由度是n - m.,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,自由度的提出(4)： 根據(jù)這個(gè)定義，如令yi = xi - x (i=1, 2, , n)

6、則 顯然 yi之間有一個(gè)線性約束關(guān)系，即 即m = 1, a11 = a12 = = a1n = 1 所以變差平方和的自由度 = n - m = n - 1,第一節(jié)：?jiǎn)栴}的提出,均方的概念： 平均平方和(簡(jiǎn)稱均方)等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度f(wàn). 平均平方和以MS表示， 它的開(kāi)方叫做均方差 對(duì)例1、MS = 0.043483/5 = 0.0086966, 均方差為0.09326 對(duì)例2、MS = 0.07949/9 = 0.0088322，均方差為0.09398 我們看到六爐和十爐的MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻 合的，說(shuō)明用MS反映波動(dòng)的大小是更為合理的。,假設(shè)： 單因素A有a個(gè)水平

7、A1，A2, , Aa，在水平Ai (i=1, 2, , a)下，進(jìn)行ni次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表： 我們假定在各個(gè)水平Ai下的樣本來(lái)自具有相同方差2，均值分別為i的正 態(tài)總體XiN(i , 2 )，其中i , 2均為未知，并且不同水平Ai下的樣本之間 相互獨(dú)立。,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,總離差平方和的分解: 記在水平Ai 下的樣本均值為 樣本數(shù)據(jù)的總平均值為 總離差平方和為 將ST改寫并分解得,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,總離差平方和的分解(2): 上面展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為0 若記 SA= SE= 則有： ST = SA + SE ST表示全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)與總平均值之間的差

8、異 SA表示在Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異, 是組間差 SE表示在Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異, 是組內(nèi)差， 它是由隨機(jī)誤差引起的。,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,自由度的概念: 在實(shí)際計(jì)算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動(dòng)程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要 大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來(lái)反映波動(dòng)的大小還是不夠 的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來(lái)的影響。為此引 入了自由度的概念。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)， 但應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫自由度。 ST的自由度為 ( n - 1); SA的自由度為 ( a - 1); SE的自由度為 ( n - a); 均方

9、: MSA = SA/ (a-1); MSE = SE/ (n-a),第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,F檢驗(yàn)法： 統(tǒng)計(jì)量 F = MSA/MSE F (a - 1, n - a) ，對(duì)于給出的，查出F(a - 1, n - a)的值， 由樣本計(jì)算出SA和SE， 從而算出F值。從而有如下判斷： 若F F (a - 1, n - a)，則說(shuō)明試驗(yàn)條件的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響； 若F F(a - 1, n - a)，則說(shuō)明試驗(yàn)條件的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響； 為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡(jiǎn)便計(jì)算公式： 記 i= 1, 2, , a, 則有,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,方差分析表:,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦?/p>

10、驗(yàn)的方差分析,例1：(單因素的方差分析) 人造纖維的抗拉強(qiáng)度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是 有疑問(wèn)的?，F(xiàn)確定棉花百分比的5個(gè)水平: 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每個(gè)水平中測(cè)5個(gè)抗拉強(qiáng)度的值，列于下表。問(wèn)： 抗拉強(qiáng)度是否受摻入棉花百分比的影響(0.01)?,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,解: a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, , 5), n = 25 ST, SA, SE的自由度分別為24，4，20,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,解(2): 已給出=0.01，查表得F(a-1, n-a)=F0.01(4,20)= 4.43 這里F=14.764.43=F

11、0.01(4, 20) 說(shuō)明棉花的百分比對(duì)人造纖維的抗拉強(qiáng)度有影響。,第二節(jié)：?jiǎn)我蛩卦囼?yàn)的方差分析,無(wú)交互作用的方差分析: 設(shè)兩因素A，B，A有a個(gè)水平A1，A2, , Aa，B有b個(gè)水平，B1，B2, , Bb, 在每一個(gè)組合水平(Ai, Bj)下，進(jìn)行一次無(wú)重復(fù)試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表： 設(shè)XijN(ij , 2 )，各xij相互獨(dú)立。,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,總離差平方和的分解: 記在水平Ai 下的樣本均值為 記在水平Bj 下的樣本均值為 樣本數(shù)據(jù)的總平均值為 總離差平方和為 將ST改寫并分解得 記為ST = SA (效應(yīng)平方和)+ SB (效應(yīng)平方和)+ SE (誤差平

12、方和),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,自由度: ST的自由度為 ( ab - 1); SA的自由度為 ( a - 1); SB的自由度為 ( b - 1); SE的自由度為 ( a - 1)(b-1); 均方:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,F檢驗(yàn)法: 統(tǒng)計(jì)量 對(duì)于給出的，查出F(a - 1, (a - 1)(b-1), F(b - 1, (a - 1)(b-1)的 值， 由樣本計(jì)算出F1, F2值。從而有如下判斷： 若F 1 F (a - 1, (a-1)(b-1)，則說(shuō)明因素A的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響； 若F2 F (b - 1, (a-1)(b-1)，則說(shuō)明因素B的變化對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著

13、影響； 為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡(jiǎn)便計(jì)算公式：,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,方差分析表:,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,例2：(雙因素?zé)o交互作用的方差分析) 使用4種燃料，3種推進(jìn)器作火箭射程試驗(yàn)，每一種組合情況 做一次試驗(yàn)，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料(Ai)與 各種推進(jìn)器(Bj)對(duì)火箭射程有無(wú)顯著影響(=0.05),第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,解: 這里a=4, b=3, ab=12,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,解(2): 給出的=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14 因?yàn)镕1=0.434.76, F2=0.925.14 故不同的燃料、不同的推進(jìn)器對(duì)火箭射程均無(wú)顯著影響。,第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析,有交互作用的方差分析(分