1、1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系,1.四種命題的相互關(guān)系,p,q,q,p,2.四種命題的真假關(guān)系 (1)一般地,四種命題的真假性有且僅有下面四種情況:,真,真,假,真,假,真,假,假,(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系: 兩個(gè)命題互為_(kāi),它們有相同的真假性. 兩個(gè)命題為_(kāi)或_,其真假性沒(méi)有關(guān)系.,逆否命題,互逆命題,互否命題,1.判一判(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)互逆命題的真假性相同.() (2)若兩個(gè)命題為互否命題,則它們的真假性肯定不相同.() (3)對(duì)于一個(gè)命題的四種命題,可以一個(gè)真命題也沒(méi)有.(),【解析】(1)錯(cuò)誤.兩個(gè)互逆命題的真假性沒(méi)有關(guān)系. (2)錯(cuò)誤.兩個(gè)命題為互

2、否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系,但也可能相同,故此說(shuō)法錯(cuò)誤. (3)正確.一個(gè)命題的四種命題中,可能都是假命題,如若01,此命題的四種命題均為假命題. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)命題“若x21,則x1”的否命題是(填“真”或“假”)命題. (2)若命題p的逆否命題是真命題,則命題p是命題.(填“真”或“假”) (3)命題“若ab,則a2b2”的逆否命題為,其真假情況為(填“真命題”或“假命題”).,【解析】(1)由于否命題是“若x2=1,則x=1”,是假命題. 答案:假 (2)由于原命題與其逆否命題等價(jià),故命題p是真命題. 答案:真 (3)逆否命題為

3、:若a2b2,則ab,由于原命題是假命題,故其逆否命題也是假命題. 答案:若a2b2則ab假命題,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 四種命題間的關(guān)系 對(duì)四種命題相互關(guān)系的三點(diǎn)認(rèn)識(shí) (1)四種命題中原命題具有相對(duì)性,任意確定一個(gè)為原命題,其逆命題、否命題、逆否命題就確定了,所以“互逆”“互否”“互為逆否”具有對(duì)稱性.,(2)在原命題、逆命題、否命題與逆否命題這四種命題中,有兩對(duì)互逆命題,兩對(duì)互否命題,兩對(duì)互為逆否命題.它們分別為: 兩對(duì)互逆命題:原命題與逆命題,否命題與逆否命題. 兩對(duì)互否命題:原命題與否命題,逆命題與逆否命題. 兩對(duì)互逆否命題:原命題與逆否命題,逆命題與否命題. (3)由于原命題與其逆否命

4、題的真假性相同,所以原命題與其逆否命題是等價(jià)命題,因此當(dāng)直接證明原命題困難時(shí),可以轉(zhuǎn)化證明其逆否命題.,【知識(shí)拓展】等價(jià)命題的證法與反證法 在解答命題的過(guò)程中,注意借助逆否命題證明真命題與利用反證法證明真命題有本質(zhì)區(qū)別,運(yùn)用逆否命題的證法實(shí)質(zhì)是把命題等價(jià)轉(zhuǎn)化,而反證法是先假設(shè)結(jié)論不成立,接著推出矛盾,從而得出假設(shè)不成立.,【微思考】 (1)在四種命題中,它們的真假性有什么關(guān)系? 提示:互為逆否的兩個(gè)命題具有相同的真假性,互逆或互否的兩個(gè)命題的真假性沒(méi)有必然的聯(lián)系. (2)原命題的逆命題與原命題的否命題真假性相同嗎? 提示:相同.因?yàn)樵}的逆命題與否命題互為逆否命題.,【即時(shí)練】 原命題、逆命

5、題、否命題和逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)是_個(gè). 【解析】因?yàn)樵}與逆否命題同真假,逆命題與否命題同真假,因此真命題的個(gè)數(shù)為0個(gè)或2個(gè)或4個(gè). 答案:0或2或4,【題型示范】 類型一 四種命題的相互關(guān)系 【典例1】 (1)若命題p的逆命題為q,命題q的否命題為r,則p是r的() A.逆命題 B.否命題 C.逆否命題 D.以上判斷都不對(duì),(2)命題“若p不正確,則q不正確”的逆命題的等價(jià)命題是 () A.若q不正確,則p不正確B.若q不正確,則p正確 C.若p正確,則q不正確 D.若p正確,則q正確,【解題探究】1.題(1)中命題p的條件與結(jié)論與命題r的條件與結(jié)論有什么關(guān)系? 2.題(2)中原命題

6、的逆命題是什么?逆命題的等價(jià)命題是什么? 【探究提示】1.命題p的條件與結(jié)論分別是命題r的結(jié)論的否定與條件的否定. 2.原命題的逆命題是“若q不正確,則p不正確”, 逆命題的等價(jià)命題是:“若p正確,則q正確”.,【自主解答】(1)選C.因?yàn)槊}p與q的條件與結(jié)論交換,命題q的條件與結(jié)論分別是r的條件與結(jié)論的否定. 所以p與r的條件與結(jié)論既交換又否定,故選C. (2)選D.原命題的逆命題是“若q不正確,則p不正確”. 因此逆命題的等價(jià)命題為“若p正確,則q正確”.,【延伸探究】題(2)中“逆命題的等價(jià)命題”若換為“否命題的等價(jià)命題”,其結(jié)果又如何呢? 【解析】選A.原命題的否命題為“若p正確,則

7、q正確”,其等價(jià)命題為“若q不正確,則p不正確”.,【方法技巧】判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法 方法一:利用四種命題的定義判斷; 方法二:可以巧用“逆、否”兩字進(jìn)行判斷,如“逆命題”與“逆否命題”中不同有“否”字,是互否關(guān)系;而“逆命題”與“否命題”中不同有“逆、否”二字,其關(guān)系為逆否關(guān)系.,【變式訓(xùn)練】(2014陜西高考)原命題為“若 an, nN+,則an為遞減數(shù)列”,關(guān)于逆命題,否命題,逆否命題真 假性的判斷依次如下,正確的是() A.真,真,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假,【解題指南】因?yàn)樵}和其逆否命題同真假,逆命題和否命題同真假,所以只要判斷原命題和它的逆命題

8、的真假即可. 【解析】選A.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也是真;而它的逆命題為真,所以它的否命題亦為真,故選A.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】若命題p的否命題是q,命題q的逆命題是s,則p是s的命題.,【解析】設(shè)命題p“若a,則b”, 因?yàn)閜的否命題是q, 則q“若不是a,則不是b”, 又因?yàn)閝的逆命題是s, 則s“若不是b,則不是a”, 顯然命題p與s的條件a和結(jié)論b交換位置且同時(shí)否定,所以互為逆否命題. 答案:逆否,類型二 等價(jià)命題的應(yīng)用 【典例2】 (1)命題:“已知a,x為實(shí)數(shù),若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2 0的解集為空集,則a2”的逆否命題是命題(填“真” 或“假

9、”). (2)證明:如果p2+q2=2,則p+q2.,【解題探究】1.題(1)中解集為空集的含義是什么?需要具備哪些條件? 2.題(2)中命題的逆否命題是什么? 【探究提示】1.題(1)中不等式的解集為空集,即此不等式無(wú)解,需要相應(yīng)的2則p2+q22.,【自主解答】(1)先判斷原命題的真假. 因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集,所以相 應(yīng)二次方程的判別式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-70,所以a 2. 所以原命題為真命題. 又因?yàn)樵}和它的逆否命題是等價(jià)命題. 所以此命題的逆否命題為真命題. 答案:真,(2)該命題的逆否命題為:若p+q2,則p2+q22

10、. p2+q2 (p+q)2. 因?yàn)閜+q2,所以(p+q)24,所以p2+q22. 即p+q2時(shí),p2+q22成立. 所以如果p2+q2=2,則p+q2成立.,【延伸探究】在題(1)中,寫出命題的逆命題,并判斷其真假. 【解析】逆命題:已知a,x為實(shí)數(shù),若a2,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集為空集, 由題(1)可知=4a-7. 所以當(dāng) a2時(shí),0,解集不為空集; 當(dāng)a 時(shí),0,解集為空集. 所以不等式的解集為空集是假命題,故逆命題是假命題.,【方法技巧】“正難則反”的處理原則 (1)當(dāng)原命題的真假不易判斷,而逆否命題較容易判斷真假時(shí),可通過(guò)判斷其逆否命題的真假來(lái)判斷原

11、命題的真假. (2)在證明某一個(gè)命題的真假性有困難時(shí),可以證明它的逆否命題為真(假)命題,來(lái)間接地證明原命題為真(假)命題.,【變式訓(xùn)練】證明:已知函數(shù)f(x)是(-,+)上的增函數(shù),a,bR,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),則a+b0. 【解題指南】由于原命題不易證明,可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題為真命題. 【證明】原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(-,+)上的增函數(shù),a,bR, 若a+b0, 則f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”.,若a+b0, 則a-b,b-a, 又因?yàn)閒(x)在(-,+)上是增函數(shù), 所以f(a)f(-b),f(b)f(-a). 所以f(a)+f(b

12、)f(-a)+f(-b), 即逆否命題為真命題. 所以原命題為真命題.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知全集U的兩個(gè)子集A,B,命題“若xA,則xB” 是真命題,則下列結(jié)論正確的是() A.B A B.( )B=U C.( )A=U D.A( )= 【解析】選C.“若xA,則xB”等價(jià)于“若xB,則xA”為真 命題,即BA.故( )A=U.,【規(guī)范解答】由等價(jià)命題求參數(shù)的取值范圍 【典例】(12分)(2013臨沂高二檢測(cè))命題:對(duì)任意xR,ax2-2ax-30不成立是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,【審題】抓信息,找思路,【解題】明步驟,得高分,【點(diǎn)題】警誤區(qū),促提升 失分點(diǎn)1:解題時(shí)若在處對(duì)原命題的等價(jià)命題寫錯(cuò),則會(huì)導(dǎo)致本例不得分. 失分點(diǎn)2:本例若對(duì)不等式考慮不全面,即忽略處對(duì)參數(shù)a的討論,漏掉一解,則本例最多得8分. 失分點(diǎn)3:若解題步驟不規(guī)范,漏掉處最后的歸納,則本例最多得10分,【悟題】提措施,導(dǎo)方向 1.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 在解決原命題遇到困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為其等價(jià)命題解決,如本例中的不成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題解決. 2.分類討論意識(shí) 在解決含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)