1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的常用思路1. 參考圓勻速圓周運(yùn)動(dòng)的投影是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。因此，對(duì)于每一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，都可以找到一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，使其投影的運(yùn)動(dòng)情況與這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)同步。這個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的“參考圓”。例1. 如圖1所示，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺懸掛于O點(diǎn)，今把擺線向右拉開(kāi)，使之與豎直線間夾一個(gè)小角度后由靜止釋放，當(dāng)擺球擺到平衡位置左側(cè)與壁發(fā)生彈性碰撞時(shí)，擺線與豎直線間的夾角為。若碰撞時(shí)間可忽略，則小球釋放后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間將再次回到釋放點(diǎn)？圖1分析：如果沒(méi)有壁的阻擋，單擺將做最大擺角為的小角度擺動(dòng)，可近似視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，于是其中，振幅與周期分別為。今由于壁的阻擋，擺球的返回點(diǎn)與平衡位置相距。畫(huà)出與擺球的運(yùn)動(dòng)相對(duì)

2、應(yīng)的“參考圓”如圖2所示。對(duì)應(yīng)擺球從釋放到與壁碰撞的過(guò)程，在“參考圓”上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)；對(duì)應(yīng)擺球從碰撞點(diǎn)返回釋放點(diǎn)的過(guò)程，在“參考圓”上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)。圖2中，由此得所求時(shí)間為圖22. 能量守恒在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，彈簧具有彈性勢(shì)能，振動(dòng)物體具有動(dòng)能，總機(jī)械能保持不變。寫(xiě)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的能量表達(dá)式，與進(jìn)行比較，求出相應(yīng)的k和m，即可解答相關(guān)問(wèn)題。例2. 在天花板下用兩根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的輕繩懸掛一塊質(zhì)量為M的光滑木板，板中央有一質(zhì)量為m的小滑塊，如圖3所示。開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，然后使板有一個(gè)水平的縱向小速度，試求系統(tǒng)的振動(dòng)周期。圖3分析：設(shè)當(dāng)繩的擺角為時(shí)，木板的速

3、度為v，此時(shí)小滑塊m只有豎直向上的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得3. 力的獨(dú)立作用原理和分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理例3. 如圖4，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O，一勁度系數(shù)為k的輕而細(xì)的彈性繩穿過(guò)小孔，繩的一端固定在地面上的A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球。彈性繩的自然長(zhǎng)度為OA，現(xiàn)將小球沿桌面拉到B處（設(shè)OB=L），并將小球沿垂直于OB的方向以速度沿桌面拋出。試求：（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)到C點(diǎn)所需的時(shí)間。（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度及OC的長(zhǎng)度。圖4分析：選OB方向?yàn)閤軸正方向，OC方向?yàn)閥軸正方向。如圖5，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到某一位置P點(diǎn)，令OP=r，此時(shí)彈性繩對(duì)小球的拉力大小為，方向指向O。將F分解，則圖5

4、由力的獨(dú)立作用原理和分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理可知，小球的運(yùn)動(dòng)可分解為沿x、y方向的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置均為O點(diǎn)，周期均為。（1）從B點(diǎn)到C點(diǎn)，小球在x方向上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了的時(shí)間，所以。（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，在y方向上的速度為零，所以此時(shí)的速度就是它在x方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最大速度，即設(shè)OC=y，根據(jù)機(jī)械能守恒，可得4. 等效法一般的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期為，對(duì)于單擺，振動(dòng)周期可表示為。求振動(dòng)周期時(shí)，常常需要進(jìn)行等效變換后才能用公式計(jì)算。常見(jiàn)的等效有：的等效、l的等效、g的等效及模型的等效四種。例4. 如圖6，在水平光滑的導(dǎo)軌上有一質(zhì)量為M的重物，重物只能沿導(dǎo)軌移動(dòng)。重物上固定一根不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩

5、上系有質(zhì)量為m的小球，試求擺球在平行和垂直于導(dǎo)軌的平面上小振動(dòng)的周期之比。圖6分析：設(shè)繩長(zhǎng)為l，則當(dāng)擺球在垂直于導(dǎo)軌的平面上振動(dòng)時(shí)，重物靜止不動(dòng)，擺球的振動(dòng)周期為當(dāng)擺球在平行于導(dǎo)軌的平面上振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心不動(dòng)。方程確定了系統(tǒng)質(zhì)心O的位置，小球到O點(diǎn)的距離為擺球以不動(dòng)點(diǎn)O為懸點(diǎn)，以為擺長(zhǎng)振動(dòng)，振動(dòng)周期為關(guān)于其它幾種等效法，同學(xué)們可以查閱相關(guān)資料。5. 微元法在平衡位置附近的小振動(dòng)問(wèn)題常用微元法求解。當(dāng)x是小量時(shí)，。例5. 如圖7所示，在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別固定電量為的點(diǎn)電荷，在中心O上放置一個(gè)質(zhì)量為m，電量為的帶電質(zhì)點(diǎn)，O點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置。設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。圖7分析：以O(shè)為原點(diǎn)，在中線AOD上設(shè)置x軸，考慮