1、人教版 八年級數(shù)學(xué)上冊 13.4 最短路徑問題,河北省滄縣風(fēng)化店鄉(xiāng)中學(xué) 黃慶旺 中學(xué)二級教師,前面我們研究過一些關(guān)于 “兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題,下面我們將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”,相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的 學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求 教一個(gè)百思不得其解的問題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然 后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程 最短？,將軍飲馬問題,精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫

2、稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬 問題” 你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,我們將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線,B,A,l,現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D）。,c,從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地。 在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn) 與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和。,作法： （1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)B； （2）連接AB，與直

3、線l 相交于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求,如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)，AC 與CB 的和最小？,B,C,思考：如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長度相等？,.,.,實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,C,證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不 重合），連接AC，BC，BC,由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC,AC +BC = AC +BC = AB,AC+BC = AC+BC,在ABC中， ABAC+BC,AC +BCAC+BC,即AC +BC 最短,變式練習(xí),如圖：M、N為ABC邊AB、AC上兩點(diǎn)， 在BC邊上求作一點(diǎn)P,使PMN周長最短。,（1