1、第六節(jié) 空間直角坐標(biāo)系,基礎(chǔ)梳理,1. 空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念,(1)空間直角坐標(biāo)系:從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸,就建立了空間直角坐標(biāo)系O-xyz,其中點(diǎn)O叫做 ,x軸、y軸、z軸叫做 ,這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè) ,分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.,(2)右手直角坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,若中指指向 的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,坐標(biāo)平面,x軸,y軸,z軸,(3)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 空間任意一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫

2、做點(diǎn)A的 ,記作 .,2. 空間中兩點(diǎn)間的距離公式 空間中的兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離 ,特別地,空間任一點(diǎn)P(x,y,z)與原點(diǎn)O的距離 .,坐標(biāo),A(x,y,z),典例分析,題型一 空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定 【例1】設(shè)正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長(zhǎng)均為a,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求點(diǎn)S、P1、P2、P3和P4的坐標(biāo).,分析 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，以各點(diǎn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單方便為宜.,解 正四棱錐S-P1P2P3P4如圖所示,其中O為底面正方形的中心, P1P2Oy軸,P1P4Ox軸,SO在Oz軸上. d(P1,P2)=a,而P1、P2、P3、P4均

3、在xOy平面上, 在xOy平面內(nèi),P3與P1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P4與P2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱, 又d(S,P1)=a,d(O,P1)= , 在RtSOP1中,d(S,O)= , S(0,0, ).,學(xué)后反思 （1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，如底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建系;底面是菱形的直四棱柱，以對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建系.本例是正四棱錐，以底面中心為原點(diǎn)建系. （2）要盡量把空間點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上，或某一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，使其坐標(biāo)書寫簡(jiǎn)單、方便，便于運(yùn)算.,舉一反三 1. 如圖，長(zhǎng)方體OABCOABC中，OA=3，OC=4，OO=3,AC與BO相

4、交于點(diǎn)P，則點(diǎn)C,B,P的坐標(biāo)分別為 , , .,答案： (0,4,0)(3,4,3)( ,2,3),題型二 空間中點(diǎn)的對(duì)稱問題 【例2】已知ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).,解 平行四邊形對(duì)角線互相平分, AC的中點(diǎn)即為BD的中點(diǎn). 設(shè)D(x,y,z),又AC的中點(diǎn)O( ,4,-1), 則 x=5,y=13,z=-3. 故D(5,13,-3).,分析 本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算公式.,學(xué)后反思 注意分清線段的端點(diǎn)與中點(diǎn).,2. 已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),且A(1,0,-1),C(2,2,-3).求點(diǎn)B的坐標(biāo).,舉一反三,解析

5、： 設(shè)B(x,y,z), 則 , x=3,y=4,z=-5,B(3,4,-5).,題型三 空間中兩點(diǎn)的距離公式 【例3】（14分）正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0a ). (1)求MN的長(zhǎng)度; (2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)度最短？,分析 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.,解 (1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,ABBE, BE平面ABCD.4 AB，BC，BE兩兩垂直, 故以B為原點(diǎn)，以BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖

6、所示的空間直角坐標(biāo)系.7 則 , ,. 10 .12 (2)由(1)可知當(dāng)a= 時(shí)，|MN|最短為 .14,學(xué)后反思 考慮到所給幾何圖形中出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線，所以可以以此建立空間直角坐標(biāo)系，通過點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得線段MN的長(zhǎng)度，并利用二次函數(shù)的最值，求出線段MN的長(zhǎng)度的最小值，體現(xiàn)了空間直角坐標(biāo)系這一重要工具的應(yīng)用.,3. 空間坐標(biāo)系中,A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),求AB的最小值.,舉一反三,解析： 當(dāng)t= 時(shí),等號(hào)成立,即AB的最小值為 .,考點(diǎn)演練,10. 已知A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)，aR，求|AB|的最小值.,解析： 當(dāng)a=-1時(shí)，,11. 如圖,正方體邊長(zhǎng)為1,以正方體的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系O xyz,點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上,點(diǎn)Q在正方體的棱CD上.當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn),點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),求PQ的最小值.,解析: 由題意知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為 設(shè)Q的坐標(biāo)為(0,1,z),其中0z1, 則 所以當(dāng)z= 時(shí), 有最小值 , 從而PQ有最小值 .,12. 如圖所示，已知PA平面ABCD,ABCD為矩形，M、N分別是AB、