1、運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問(wèn)題： 手在空間的運(yùn)動(dòng)與各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。 正問(wèn)題： 已知關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)， 求手的運(yùn)動(dòng)。 逆問(wèn)題： 已知手的運(yùn)動(dòng)， 求關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。,數(shù)學(xué)模型： 手的運(yùn)動(dòng)位姿變化位姿矩陣M 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化關(guān)節(jié)變量qi，i=1，n 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： M=f(qi)， i=1，n 正問(wèn)題：已知qi，求M。 逆問(wèn)題：已知M，求qi。,2.1 機(jī)器人的位姿描述 2.2 齊次變換及運(yùn)算 2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng) 習(xí)題,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示 2.1.2 機(jī)器人的坐標(biāo)系,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示 機(jī)器人的位姿主要是指機(jī)器人手部在空間的位置和姿態(tài)，有時(shí)也會(huì)

2、用到其它各個(gè)活動(dòng)桿件在空間的位置和姿態(tài)。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示 位置可以用一個(gè)31的位置矩陣來(lái)描述。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示 姿態(tài)可以用坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩夾角的 余弦值組成33的姿態(tài) 矩陣來(lái)描述。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示 例：右圖所示兩坐標(biāo)系的姿態(tài)為：,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.2 機(jī)器人的坐標(biāo)系 手部坐標(biāo)系參考機(jī)器人手部的坐標(biāo)系，也稱(chēng)機(jī)器人位姿坐標(biāo)系，它表示機(jī)器人手部在指定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。 機(jī)座坐標(biāo)系參考機(jī)器人機(jī)座的坐標(biāo)系，它是機(jī)器人各活動(dòng)桿件及手部的公共參考坐標(biāo)系。 桿件坐標(biāo)

3、系參考機(jī)器人指定桿件的坐標(biāo)系，它是在機(jī)器人每個(gè)活動(dòng)桿件上固定的坐標(biāo)系，隨桿件的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。 絕對(duì)坐標(biāo)系參考工作現(xiàn)場(chǎng)地面的坐標(biāo)系，它是機(jī)器人所有構(gòu)件的公共參考坐標(biāo)系。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.2 機(jī)器人的坐標(biāo)系 手部坐標(biāo)系h 機(jī)座坐標(biāo)系0 桿件坐標(biāo)系i i=1，n 絕對(duì)坐標(biāo)系B,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.2.1 直角坐標(biāo)變換 2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,坐標(biāo)之間的變換關(guān)系： 平移變換 旋轉(zhuǎn)變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,1、平移變換 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，若用 矢量表示坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j原點(diǎn)之間的矢

4、量，則坐標(biāo)系j就可以看成是由坐標(biāo)系i沿矢量 平移變換而來(lái)的，所以稱(chēng)矢量 為平移變換矩陣，它是一個(gè)31的矩陣，即：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,1、平移變換 若空間有一點(diǎn)在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j中分別用矢量 和 表示，則它們之間有以下關(guān)系： 稱(chēng)上式為坐標(biāo)平移方程。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j的 原點(diǎn)重合，但它倆的姿態(tài)不同。 則坐標(biāo)系j就可以看成是由坐 標(biāo)系i旋轉(zhuǎn)變換而來(lái)的，旋轉(zhuǎn) 變換矩陣比較復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的 是繞一根坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。 下面以此來(lái)對(duì)旋轉(zhuǎn)變換矩陣作 以說(shuō)明。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,

5、2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角 坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j 的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)系j的 坐標(biāo)軸方向相對(duì)于坐標(biāo)系 i繞軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角。 角的正負(fù)一般按右 手法則確定，即由z軸的 矢端看，逆時(shí)鐘為正。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角變換矩陣推導(dǎo) 若空間有一點(diǎn)p，則其 在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j中 的坐標(biāo)分量之間就有以下關(guān)系：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角 若補(bǔ)齊所缺的有些項(xiàng)，再作適當(dāng)變形，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角 將上式寫(xiě)成矩陣的形式，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,

6、2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角 再將其寫(xiě)成矢量形式，則有： 稱(chēng)上式為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方程，式中： p點(diǎn)在坐標(biāo)系i中的坐標(biāo)列陣（矢量）； p點(diǎn)在坐標(biāo)系j中的坐標(biāo)列陣（矢量）； 坐標(biāo)系j變換到坐標(biāo)系i的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，也稱(chēng)為方向余弦矩陣。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角 旋轉(zhuǎn)變換矩陣，也稱(chēng)為方向余弦矩陣， 是一個(gè)33的矩陣，其中的每個(gè)元素就是坐標(biāo)系i和 坐標(biāo)系j相應(yīng)坐標(biāo)軸夾角的余弦值，它表明坐標(biāo)系j 相對(duì)于坐標(biāo)系i的姿態(tài)（方向）。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞z軸旋轉(zhuǎn)角 旋轉(zhuǎn)變換矩陣：,2.2 齊次變換

7、及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞x軸旋轉(zhuǎn)角的 旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 繞y軸旋轉(zhuǎn)角的 旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣 旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣既可以用線性代數(shù)的方法求 出，也可以用逆向的坐標(biāo)變換求出。 以繞z軸旋轉(zhuǎn)角為例，其逆向變換即為繞z軸旋轉(zhuǎn) -角，則其旋轉(zhuǎn)變換矩陣就為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣 比較以下兩式： 結(jié)論：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,3、聯(lián)合變換 設(shè)坐

8、標(biāo)系i和坐標(biāo)系j之間存在先平移變換， 后旋轉(zhuǎn)變換，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j 中的矢量之間就有以下關(guān)系： 稱(chēng)上式為直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)聯(lián)合變換方程。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,例：已知坐標(biāo)系B的初始位置與坐標(biāo)系A(chǔ)重合，首 先坐標(biāo)系B沿坐標(biāo)系A(chǔ)的x軸移動(dòng)12個(gè)單位， 并沿坐標(biāo)系A(chǔ)的y軸移動(dòng)6個(gè)單位，再繞坐標(biāo)系 A的z軸旋轉(zhuǎn)30，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換 矩陣。假設(shè)某點(diǎn)在坐標(biāo)系B中的矢量為： ，求該點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中的矢量？,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為： 則：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)

9、變換,3、聯(lián)合變換 若坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平 移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？ 問(wèn)題： 當(dāng)坐標(biāo)系之間存在多次變換時(shí)，直角坐標(biāo)變換就無(wú) 法用同一規(guī)整的表達(dá)式表示了！,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,1、齊次坐標(biāo)的定義 空間中任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量用 表示，若有四個(gè)不同時(shí)為零的數(shù) 與三個(gè)直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,則稱(chēng) 是空間該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。,1、齊次坐標(biāo)的定義 齊次坐標(biāo)的幾點(diǎn)說(shuō)明： .空間中的任一點(diǎn)都可用齊次坐標(biāo)表示； .空間中的任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)是單值的，但其對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)是多值的； .k是比例

10、坐標(biāo)，它表示直角坐標(biāo)值與對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)值之間的比例關(guān)系； .若比例坐標(biāo)k=1，則空間任一點(diǎn)(x, y, z)的齊次坐標(biāo)為(x, y, z, 1) ，以后用到齊次坐標(biāo)時(shí)，一律默認(rèn)k=1 。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）,若坐標(biāo)系j是i先沿矢量 平移，再繞z軸旋轉(zhuǎn)角得到的，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo) 系i和坐標(biāo)系j中的矢量和對(duì)應(yīng)的變換矩陣之間就 有 ，寫(xiě)成矩陣形式則為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 再用坐標(biāo)分量等式表示，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H

11、矩陣） 引入齊次坐標(biāo)，補(bǔ)齊所缺各項(xiàng)，再適當(dāng)變形，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 再將其寫(xiě)成矩陣形式則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 由此可得聯(lián)合變換的齊次坐標(biāo)方程為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,齊次坐標(biāo)變換矩陣， 它是一個(gè)44的矩陣。,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義 若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義 意義： 左上角的33矩陣是兩個(gè)

12、坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩 陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系。 右上角的31矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩 陣，它描述了位置關(guān)系。 所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱(chēng)為位姿矩陣。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義 齊次變換矩陣的通式為： j的原點(diǎn)在i中的坐標(biāo)分量； j的x軸對(duì)i的三個(gè)方向余弦； j的y軸對(duì)i的三個(gè)方向余弦； j的z軸對(duì)i的三個(gè)方向余弦。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣 平移變換的齊次矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊

13、次變換矩陣（D-H矩陣） 單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣 旋轉(zhuǎn)變換的齊次矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣 同理可得：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系 觀察以下三個(gè)齊次變換矩陣的關(guān)系：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系 經(jīng)觀察可得：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣

14、的關(guān)系 任何一個(gè)齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個(gè)平移變 換矩陣與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關(guān)系 當(dāng)空間有n個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，若已知相 鄰坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，則： 由此可知，建立機(jī)器人的坐標(biāo)系， 將機(jī)器人手部在空間的位姿用齊次坐標(biāo) 變換矩陣描述出來(lái)，從而建立機(jī)器人的 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 相對(duì)變換 坐標(biāo)系之間多步齊次變換矩陣等于每次單獨(dú)變換 的齊次變換矩陣的乘積，而相對(duì)變換則決定這些矩陣 相乘的順序，其分為左乘和右乘

15、： .若坐標(biāo)系之間的變換是始終相對(duì)于原來(lái)的參 考坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣左乘； .若坐標(biāo)系之間的變換是相對(duì)于當(dāng)前新的坐標(biāo) 系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣右乘。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 相對(duì)變換 例：已知坐標(biāo)系B是繞坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸旋轉(zhuǎn) 90，再繞A的xA軸旋轉(zhuǎn)90，最后沿矢量： 平移得到的，求坐標(biāo)系A(chǔ)與坐標(biāo)系 B之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 相對(duì)變換 解：由題意可知滿(mǎn)足左乘原則，即有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）

16、 相對(duì)變換 解：若滿(mǎn)足右乘原則，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 逆變換 已知i通過(guò)先平移， 后旋轉(zhuǎn)變成j，則變換 矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 逆變換 逆變換時(shí)： 變換順序顛倒 先平移，后旋轉(zhuǎn)先旋轉(zhuǎn)，后平移 變換參數(shù)取反 旋轉(zhuǎn)（） （ -） 平移（px，py，pz） （-px，-py，-pz）,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 逆變換 則j到i的變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D

17、-H矩陣） 逆變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 逆變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 逆變換 若齊次變換矩陣為： 則：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） 逆變換 若齊次變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟 1、建立坐標(biāo)系 2、確定參數(shù) 3、相鄰桿件的位姿矩陣 4、建立方程 2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,回顧：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的模型： M

18、=f(qi)， i=1，n M機(jī)器人手在空間的位姿 qi機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,1、建立坐標(biāo)系 機(jī)座坐標(biāo)系0 桿件坐標(biāo)系i i=1，2，n 手部坐標(biāo)系h 注意： 桿件編號(hào) 關(guān)節(jié)編號(hào),2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系 機(jī)座坐標(biāo)系0 建立原則： z軸垂直， x軸水平， 方向指向手部所在平面。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系 桿件坐標(biāo)系i，i=1，2，n 建立原則： z軸與關(guān)節(jié)軸線重合， x軸與兩關(guān)節(jié)軸線的距離重合，方向指向下一個(gè)桿件。 桿件坐標(biāo)系有兩種： 第一種： z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合 第二

19、種： z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系 桿件坐標(biāo)系i 第一種坐標(biāo)系： z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系 桿件坐標(biāo)系i 第二種坐標(biāo)系： z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系 手部坐標(biāo)系h 在第一種桿件坐標(biāo)系下，h與末端桿件坐標(biāo)系n重合。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系 手部坐標(biāo)系h 在第二種桿件坐標(biāo)系下，h建立在手部中心，方向與末端桿件坐標(biāo)系n保持一致。,2.3 機(jī)器

20、人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2、確定參數(shù) 桿件幾何參數(shù)（不變） I、桿件長(zhǎng)度li： 兩關(guān)節(jié)軸線的距離。 II、桿件扭角i： 兩關(guān)節(jié)軸線的夾角。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2、確定參數(shù) 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù) I、關(guān)節(jié)平移量di： 相鄰桿件的長(zhǎng)度 在關(guān)節(jié)軸線上的距離。 II、關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)量i： 相鄰桿件的長(zhǎng)度 在關(guān)節(jié)軸線上的夾角。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2、確定參數(shù) 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù) 關(guān)節(jié)變量： di平移關(guān)節(jié)； i回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 建立坐標(biāo)系

21、 i-1、i。 試分析i-1i 的變換過(guò)程!,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 I、i-1i變換過(guò)程 a、Trans（0，0，di）； b、Rot（z，i）； c、Trans（li，0，0）； d、Rot（x，i）。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,a、Trans（0，0，di）,b、Rot（z，i）,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3

22、.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,c、Trans（li，0，0）,d、Rot（x，i）,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第一種坐標(biāo)系 注意：特例！,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第二種坐標(biāo)系 建立坐標(biāo)系 i-1、i。 試分析i-1i 的變換過(guò)程！,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩

23、陣 第二種坐標(biāo)系 I、i-1i變換過(guò)程 a、Trans（li-1，0，0）； b、Rot（x，i-1）； c、Trans（0，0，di）； d、Rot（z，i）。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第二種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,a、Trans（li-1，0，0）,b、Rot（x，i-1）,3、相鄰桿件位姿矩陣 第二種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,c、Trans（0，0，di）,d、Rot（z，i）,3、相鄰桿件位姿矩陣 第二

24、種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣 第二種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,4、建立方程,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,例：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖所示。 設(shè)機(jī)器人桿件1、2、3 的長(zhǎng)度為l1，l2，l3。試建立 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（1）建立坐標(biāo)系(第一種) a、機(jī)座坐標(biāo)系0 b、桿件坐標(biāo)系i c、手部坐標(biāo)系h （與末端桿件坐 標(biāo)系n重合）,2.3 機(jī)器人

25、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第一種） di相鄰坐標(biāo)系x軸之間的距離； i相鄰坐標(biāo)系x軸之間的夾角； li相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的距離； i相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的夾角。 注意：根據(jù)方向確定參數(shù)的正負(fù)！,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一

26、種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種） 將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種） 若用矩陣形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種） 若用方程組形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（1）建立坐標(biāo)系(第二種) a、機(jī)座坐標(biāo)系0 b、桿件坐標(biāo)系i c、手部坐標(biāo)系h （與末端桿件坐 標(biāo)系n方向 一致）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2

27、.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第二種） li-1相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的距離； i-1相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的夾角； di相鄰坐標(biāo)系x軸之間的距離； i相鄰坐標(biāo)系x軸之間的夾角。 注意：根據(jù)方向確定參數(shù)的正負(fù)！,解：（2）確定參數(shù)(第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3

28、.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種） 將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種） 若用矩陣形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種） 若用方程組形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,回顧： 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的模型： M0h=f(qi)， i=1，n 正問(wèn)題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值，求手在空間的位姿M0h。 逆問(wèn)題

29、：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,1、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解 正問(wèn)題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值， 求手在空間的位姿M0h。 正解特征：唯一性。 用處：檢驗(yàn)、校準(zhǔn)機(jī)器人。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解 逆問(wèn)題：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。 逆解特征分三種情況：多解、唯一解、無(wú)解。 多解的選擇原則：最接近原則。 計(jì)算方法：遞推逆變換法，即,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,例：已知四軸平面關(guān)節(jié)SCARA機(jī)器 人如圖所示。 試計(jì)算： （1）機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

30、； （2）當(dāng)關(guān)節(jié)變量取 qi=30，-60，120，90T 時(shí)，機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)； （3）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)學(xué) 表達(dá)式。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 a、建立坐標(biāo)系（第一種） 機(jī)座坐標(biāo)系0 桿件坐標(biāo)系i 手部坐標(biāo)系h,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 b、確定參數(shù)（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)

31、器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 d、建立方程（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（2）已知qi=30，-60，120，90T， 代入（1）中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，則得：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，用通式表示為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)

32、學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 聯(lián)立方程：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 由上面（a）、（b）兩式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 由上面（c）、（d）兩式平方再相加可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 由上面（c）、（d）兩式展開(kāi)可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 由上面兩式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 由上面兩式可得

33、 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 已知1，2可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 最后由（e)式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2.4.1 微分變換 2.4.2 雅可比矩陣,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),設(shè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)鏈中某一桿件相對(duì)于機(jī)座坐標(biāo)系的位姿為 ，經(jīng)過(guò)微運(yùn)動(dòng)后該桿件的位姿變?yōu)?，若位姿是某個(gè)變量q的函數(shù)，則： 若位姿是若干個(gè)變量的函數(shù)，則：,2.4.1 微分變換,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),例：已知一個(gè)2自由度機(jī)器人及其坐標(biāo)系如圖所示。 若因桿件1下關(guān)節(jié)軸承裝配或制造 不當(dāng)，使桿件1沿關(guān)節(jié)軸線有0.05 單位的偏差，又由于兩桿件的執(zhí)行 器運(yùn)動(dòng)不準(zhǔn)確，旋轉(zhuǎn)執(zhí)行器