1、電磁學(xué)與電動(dòng)力學(xué),胡友秋 程福臻 葉邦角 著,上冊(cè),自我介紹,單位：近代物理系 姓名：萬樹德 電話：3607715(O) 3660269(h) 電子郵箱：,考試成績(jī)由三部分組成,、期中考試（電學(xué)部分）：40分 、期終考試（磁學(xué)部分）：40分 、平時(shí)成績(jī)：20分,電磁學(xué)課程每年都要舉辦全校性的小論文競(jìng)賽，每系（每個(gè)課堂）推選一名參賽，評(píng)出一二三等獎(jiǎng)，給予相應(yīng)的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，并發(fā)證書。為鼓勵(lì)大家眷寫論文，給眷寫論文的同學(xué)適當(dāng)?shù)丶臃郑话悴怀^10分。,大學(xué)的普通物理課程是系統(tǒng)的，全面的，深入地介紹有關(guān)知識(shí)。 在理論上的嚴(yán)密性； 應(yīng)用高等數(shù)學(xué)工具； 與現(xiàn)代的科學(xué)研究接軌； 全面理解學(xué)科的發(fā)展過程。,我送

2、大家一句話,我們不知道我們將來怎樣或有什么成就，但我們每時(shí)每刻都致力于為取得成就而作準(zhǔn)備。,學(xué)習(xí)內(nèi)容,穩(wěn)定電場(chǎng)： 靜電場(chǎng)、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)、靜電能。 穩(wěn)定磁場(chǎng)： 穩(wěn)恒電流、穩(wěn)恒磁場(chǎng)、磁場(chǎng)與物質(zhì)相互作用、磁能。 變化電磁場(chǎng)： 電磁感應(yīng)、交流電。 麥克斯韋方程組,第1章 真空中的靜電場(chǎng),1.1 電荷守恒 1.2 庫侖定律 1.3 疊加原理 1.4 電場(chǎng)強(qiáng)度 1.5 高斯定理 1.6 環(huán)路定理 1.7 電勢(shì),目錄,第1章 真空中的靜電場(chǎng),靜電現(xiàn)象：,雷電,手扶金屬樓梯扶手時(shí)經(jīng)常會(huì)有被電擊的感覺,在脫衣服時(shí)，經(jīng)常會(huì)有針扎屁股的感覺,當(dāng)你靠近電視屏?xí)r感到手上的汗毛會(huì)樹立,用塑料梳子梳頭時(shí)，會(huì)發(fā)出噼

3、啪亂響的聲音,1.1 電荷守恒,一切電磁現(xiàn)象都源于物質(zhì)具有電荷的屬性。電現(xiàn)象起源于電荷。磁現(xiàn)象起源于電荷運(yùn)動(dòng)。,什么是電荷？,下面就要回答這個(gè)問題,電荷具有哪些特性？,電荷是一些粒子的基本屬性，如電子、質(zhì)子、子、介子等,自然界不存在不依附于任何物體的“單獨(dú)電荷”。電荷有兩種：正電荷、負(fù)電荷,電荷的性質(zhì)電荷（電量）是量子化的,e=1.610-19c,電荷的性質(zhì)2電荷（電量）是守恒的,電荷守恒有十分深刻的根源，或許電荷的量子性直接導(dǎo)致電荷守恒。有人聲稱找到了分?jǐn)?shù)電荷的證據(jù)，但沒有得到大家的認(rèn)可。這一課題至今仍然吸引著科學(xué)家們的注意。,一個(gè)孤立體系，沒有任何物質(zhì)出入該體系的邊界，該體系內(nèi)的電荷守恒。

4、,意義：體系內(nèi)總電荷不變 q=常數(shù)（0；me； ne），這就是電荷守恒定律,但在體系內(nèi)部允許有：物質(zhì)交換、化學(xué)反應(yīng)、核反應(yīng)裂變或聚變、電荷搬運(yùn)等,電荷守恒定律表述：,電荷守恒定律另一種表述：,孤立體系中的電荷的改變量等于流入體系邊界的靜電荷量,值得指出的是，現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)現(xiàn)了大量有關(guān)基本粒子相互轉(zhuǎn)化的事實(shí)。電子e-和正電子e+對(duì)撞湮滅，產(chǎn)生兩個(gè)光子；相反高能光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)e+e-，即：,又如，中子n衰變?yōu)橘|(zhì)子p+、電子e-和反中微子 ；介子0衰變?yōu)檎?fù)電子e+e-對(duì)和光子,反應(yīng)物、生成物總電荷不變，電荷守恒,電荷的性質(zhì)3電荷（電量）還是相對(duì)論不變量,物體的質(zhì)量、尺度隨運(yùn)動(dòng)速度不同而改變，電

5、荷電量與速度無關(guān),電荷的性質(zhì)電 荷 對(duì) 稱 性,每種帶電的基本粒子，必然存在與之對(duì)應(yīng)的、帶等量異號(hào)電荷的另一種基本粒子-反粒子。 電子和反電子；質(zhì)子和反質(zhì)子；介子和反介子,庫侖扭秤示意圖,1785年,法國物理學(xué)家?guī)靵隼脦靵雠こ友芯苛遂o止的兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力，得出了著名的庫侖定律。,同學(xué)們能不能再提出一個(gè)測(cè)量庫侖力的實(shí)驗(yàn)方案？,尤其Q1Q2為異號(hào)電荷時(shí)是無法正確測(cè)出它們間的引力,1.2.1 庫侖扭秤實(shí)驗(yàn),1.2 庫侖定律,在真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的作用力與它們所帶電量乘積成正比，與它們之間的距離平方成反比，作用力的方向沿它們的連線，同性電荷為斥力，異性電荷為吸力,這就是庫侖定律文字表述形

6、式,1.2.2 庫侖定律,q2對(duì)q1的作用力,q1對(duì)q2的作用力,這就是庫侖定律的兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，顯然是一對(duì)作用力與反作用力滿足牛頓第三定律,如果兩個(gè)點(diǎn)電荷為同性電荷，即q1q2同為正值或同為負(fù)值， 和 指向它們遠(yuǎn)離的方向，為斥力。,如果兩個(gè)點(diǎn)電荷為異性電荷，即q1q2一個(gè)為正值另一個(gè)為負(fù)值， 和 指向它們拉近的方向，為引力。,那末,所以，庫侖定律數(shù)學(xué)表達(dá)式為,庫侖定律是電學(xué)中的基本定律，是整個(gè)靜電學(xué)的基礎(chǔ)。,記憶方法： 庫侖力與電量乘積成正比，距離平方成反比，比例系數(shù)為：k。與萬有引力定律比較,1.3 疊加原理,1.3.1疊加原理的數(shù)學(xué)表達(dá),點(diǎn)電荷qo，位于 ，受位于 、 、 、處，q1、q

7、2qn，n個(gè)點(diǎn)電荷的靜電力,1.3.2 帶電體系對(duì)靜止點(diǎn)電荷的作用力,dq可視為點(diǎn)電荷，對(duì)點(diǎn)電荷q0靜電力為：,因此連續(xù)分布的體電荷V，對(duì)位于 處的點(diǎn)電荷q0的靜電力：,點(diǎn)電荷q0位于 處，受面電荷的靜電力：,帶電面S內(nèi) 處，元面積S，帶電量為q，面電荷密度,或,-點(diǎn)電荷,dq對(duì)q0的靜電力：,連續(xù)分布在S上的面電荷對(duì)q0的靜電力：,點(diǎn)電荷q0位于 處，受線電荷的靜電力：,線電荷密度,-點(diǎn)電荷,dq對(duì)q0的靜電力：,連續(xù)分布在L上的電荷對(duì)q0的靜電力,體電荷與體電荷間的靜電力。顯然，v對(duì)v的靜電力為：,1.3.3 帶電體系之間的作用力,面電荷與面電荷間的靜電力。顯然，s對(duì)s的靜電力為：,線電荷

8、與線電荷間的靜電力。顯然，L對(duì)L的靜電力為：,1.4 電場(chǎng)強(qiáng)度,電場(chǎng),力學(xué)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，力要通過介質(zhì)或力場(chǎng)傳遞。兩個(gè)相距一段距離的帶電體之間存在著相互作用的電力。兩個(gè)不相接觸的物體怎么發(fā)生相互作用呢？?jī)蓚€(gè)彼此不接觸的物體間的相互作用是如何傳遞的呢？我們認(rèn)為任何帶電體周圍都存在著電場(chǎng)，凡進(jìn)入這個(gè)電場(chǎng)中的帶電體的電荷都受到這個(gè)電場(chǎng)的作用。,1.4.1 電場(chǎng)強(qiáng)度的定義,電場(chǎng)強(qiáng)度,進(jìn)入電場(chǎng)中的電荷受到電場(chǎng)作用力。,為了描述電場(chǎng),我們引入試探點(diǎn)電荷q0，考察它在電場(chǎng)中所受到的作用力。電量q0很小，它不會(huì)引起產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷分布的改變；尺寸很小，看作點(diǎn)電荷。這樣才可考察電場(chǎng)中每一點(diǎn)的情況。,把試探點(diǎn)電荷放

9、在電場(chǎng)中，位置在 處。試探電荷受到的電場(chǎng)力為： ， 的大小與q0的大小成正比。,即,定義,這是一個(gè)與q0無關(guān)的量，反映了 處電場(chǎng)本身性質(zhì)。我們把它稱為電場(chǎng)強(qiáng)度,是矢量，電場(chǎng)是矢量場(chǎng)。,電場(chǎng)強(qiáng)度 的大小等于單位正電荷在該處受到的電場(chǎng)力的大小， 的方向?yàn)檎姾稍谠撎幨艿降碾妶?chǎng)力的方向相同。,電場(chǎng)強(qiáng)度的單位為：N/c，常用單位為：V/m,那么電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：,這就是位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式。,如果有一電量為q的點(diǎn)電荷，位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，試探電荷q0在 處，q0所受靜電力為：,點(diǎn)電荷電場(chǎng)大小與所帶電荷電量成正比、與距離平方成反比，并呈球?qū)ΨQ分布。,方向與所帶電荷電量的正

10、負(fù)有關(guān),q0，正電荷,q0，負(fù)電荷,1.4.2 場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，各類帶電體電場(chǎng)強(qiáng)度,疊加原理，我們從一個(gè)具體例子講述,處有一個(gè)試探電荷q0，N個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2、qn對(duì)q0的靜電力：,是qi對(duì)q0的靜電力,是N個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)q0的靜電力的和,處的電場(chǎng)強(qiáng)度,是qi電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)在 處的電場(chǎng)強(qiáng)度。,幾個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，這就被稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理。,由于任何帶電系統(tǒng)都可以分割成許多電荷元的集合，由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和疊加原理，可以計(jì)算出任何帶電系統(tǒng)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。舉例說明,1、點(diǎn)電荷組的電場(chǎng)強(qiáng)度 由疊加原理直接可以得到N個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)

11、度,例1.1 兩個(gè)等量的異性電荷+q、-q，相距l(xiāng)（l很小，電偶極子）。求電偶極子中垂面上任意點(diǎn)p的電場(chǎng)強(qiáng)度,解：建立坐標(biāo)系，p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：,-電偶極矩,的方向：-q指向+q,電偶極子， 是很小的，滿足 所以p點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度：,2、帶電線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度,帶電線 ，電荷密度 ，p點(diǎn)位于 處的電場(chǎng)強(qiáng)度。,首先，考慮線元 ，位于 處，看成點(diǎn)電荷電量為 ，它在p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 為：,總電場(chǎng)：,這是計(jì)算帶電線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度普遍適用的公式，真的要計(jì)算結(jié)果的話還得知道 和,*例1.2 求長(zhǎng)度為2l，總電量為q均勻帶電細(xì)棒中垂面上任意點(diǎn)p的電場(chǎng)強(qiáng)度,解:建立坐標(biāo):,電荷線密度:=q/2l為常數(shù)。,在y點(diǎn)，線元dy

12、的電量為dy=q/2l.dy-點(diǎn)電荷,該點(diǎn)電荷在p點(diǎn)（x軸）產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度：,P點(diǎn)總電場(chǎng)強(qiáng)度,其中第二項(xiàng)積分等于0,如： 則：,該題也可以用另一種方法（l為無窮長(zhǎng)）電場(chǎng)沿x方向,把變量y換成,例1.2 半徑為R，細(xì)的均勻帶電圓環(huán)，電荷密度，求圓環(huán)中垂線上p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度,解：建立坐標(biāo),長(zhǎng)細(xì)棒電場(chǎng) 方向棒的方向，0 背向棒方向向外； 0 朝向棒的方向向內(nèi),根據(jù)對(duì)稱性， 在xy平面上的投影相互抵消了，而在z方向投影是加強(qiáng)的，因此總電場(chǎng)強(qiáng)度為：,其中：,3、面電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度,這是普遍公式，只要知道和s就可以得出結(jié)果,面元ds在p點(diǎn)的電場(chǎng),曲面s在p點(diǎn)的電場(chǎng),*例1.4 半徑為R，面電荷密度為的均勻帶電

13、球面，求球面外一點(diǎn)p的電場(chǎng)強(qiáng)度。,解：建立坐標(biāo)系：,先求以o為中心，半徑為Rsin ，寬度為Rd 細(xì)環(huán)在p的電場(chǎng)強(qiáng)度。O到p點(diǎn)的距離為Z-Rcos ，電荷線密度為=Rd 。利用例1.2的結(jié)果：,可以得出：,P點(diǎn)總電場(chǎng)對(duì)積分,換成球坐標(biāo)：用r代替z，用 而q=4R2，則,-集中在中心點(diǎn)點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)。上式適合條件為rR，而rR時(shí) 的。,4、體電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度,體元dv在p點(diǎn)的電場(chǎng),P點(diǎn)總電場(chǎng),這是普遍公式，只要知道和v就可以計(jì)算出p點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度,*例1.5 半徑R均勻帶電球，球外一點(diǎn)p點(diǎn)電場(chǎng)，電荷體密度為,解：建立坐標(biāo)系,半徑為r，厚度為dr球殼為均勻帶電球面。面電荷密度=dr，有*例1.4結(jié)果

14、,得到：球殼在p點(diǎn)的電場(chǎng),P點(diǎn)的總電場(chǎng),均勻帶電球體外任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于帶電體上的電荷集中于球心的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。,以上給出了點(diǎn)、線、面、體電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。要記住這些表達(dá)式只要牢牢記住點(diǎn)電荷的空間電場(chǎng)表達(dá)式就可以了，再加上電場(chǎng)的疊加原理就很容易得出線、面、體電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度,電場(chǎng)的引入，并非是為了方便而引入的。然而，電場(chǎng)、磁場(chǎng)都是客觀存在的。有很多例子可以說明電磁場(chǎng)的存在，大量的電磁波信號(hào)在空中傳播，因此我們可以看電視、聽廣播、打手機(jī)等,電場(chǎng)、磁場(chǎng)與其它物質(zhì)一樣具有能量，是以另一存在形態(tài)存在的客觀物質(zhì)-特殊物質(zhì),我們現(xiàn)在討論的電場(chǎng)是靜電場(chǎng)，不隨時(shí)間改變,1.4.3

15、 電場(chǎng)的物質(zhì)性,電荷與電荷之間的作用，是電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與電荷之間的近距作用，不是電荷與電荷間的超距作用。,前4節(jié)學(xué)習(xí)了靜電力、靜電場(chǎng)的計(jì)算，以后幾節(jié)介紹靜電場(chǎng)特性,1.5 高斯定理,在講述高斯定理前得先建立一些新概念,1.5.1 電場(chǎng)線（電力線）與電通量,電場(chǎng)是一個(gè)矢量，為了直觀、形象地描述電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布，引入電場(chǎng)線的概念。,電場(chǎng)線是這樣的曲線，帶箭頭、它任意點(diǎn)的切線都沿該點(diǎn)的電場(chǎng)方向。這種曲線是平滑的、連續(xù)的，奇點(diǎn)除外，例如電荷所在處和電場(chǎng)為0的那些點(diǎn)。,通過電場(chǎng)線可以看出電場(chǎng)的方向,電場(chǎng)線圖并不直接給出場(chǎng)強(qiáng)大小，但可給出電場(chǎng)強(qiáng)弱分布情況，強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域電力線集聚（密集），而弱電場(chǎng)區(qū)域電力線

16、分散（稀疏）。,孤立的正電荷,孤立的負(fù)電荷,放射狀，中密、外疏；中強(qiáng)、外弱,等量異號(hào)電荷,電力線自正電荷發(fā)出終止在負(fù)電荷上,等量正電荷,電力線自正電荷發(fā)出終止在無窮遠(yuǎn)處，若同為負(fù)電荷電力線自無窮遠(yuǎn)處發(fā)出終止在負(fù)電荷上（圖上箭頭方向相反）。,電容器電線分布,理想電容器電線分布,電力線自正電荷發(fā)出1/3終止在負(fù)電荷上,+3q電荷與-q電荷力線分布,電力線的性質(zhì)：,1、靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷；或從無窮遠(yuǎn)來，或到無窮遠(yuǎn)去。電力線不會(huì)在沒有電荷的地方終止。,2、任何兩條電力線不會(huì)在沒有電荷的地方相交。,3、靜電場(chǎng)的電力線不會(huì)形成閉合曲線。,為什么？,【思考題】,一般講電力線在一定程度上

17、代表點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡。為什么？,看到錯(cuò)誤了嗎？,電力線箭頭反映電場(chǎng)的方向分布，稠密程度反映電場(chǎng)的強(qiáng)弱，電場(chǎng)線的稠密程度如何定呢？,我們讓空間一點(diǎn)電力線密度等于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。,在空間某一點(diǎn)附近，畫一個(gè)小面元s，穿過面元s有e條電場(chǎng)線， s的法線方向?yàn)?， 與該處電力線的切線方向（電場(chǎng)強(qiáng)度方向）的夾角為，定義：電力線密度：,電場(chǎng)強(qiáng)度-通過垂直于電力線單位面積的電力線的條數(shù),如果把面元用矢量表示：,則,-穿過 的電通量,對(duì)于電場(chǎng)中有限大小曲面S的電通量e為：,如果S是一個(gè)閉合曲面，則,e的物理意義是明確的，是穿過S面的電場(chǎng)線的總根數(shù)，是標(biāo)量。 e可以為正值，可以為負(fù)值。,e為正值時(shí)， 與 的

18、夾角/2 ，表明電場(chǎng)線由凹面穿入，由凸面穿出。對(duì)于封閉面而言，表明電場(chǎng)線由內(nèi)向外穿出。,e為負(fù)值時(shí)， 與 的夾角/2，表明電場(chǎng)線由凸面穿入，由凹面穿出。對(duì)于封閉面而言，表明電場(chǎng)線由外向內(nèi)穿入。,有了這些預(yù)備知識(shí)，我們可以進(jìn)入正題。,1.5.2 電場(chǎng)的高斯定理,最簡(jiǎn)單的情形：電場(chǎng)是一孤立的正電荷q形成的，一個(gè)封閉的以電荷為球心的半徑為r的球面s1，通過球面的電通量e是多少？,電場(chǎng)強(qiáng)度在球面上大小為,方向與球面法線一致（），因此,S2是一個(gè)包圍球面的封閉面，那么通過球面的電通量，一定也全部穿過s2，所以通過s2的通量為：,推理結(jié)果是一樣的。,下面我們用數(shù)學(xué)方法計(jì)算一下點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)穿過s1、s

19、2兩閉合面的電通量，s1包圍q，s2不包圍q。,S1的通量,d1-面元ds1所張的立體角,對(duì)s2來說,孤立的電荷，電場(chǎng)線自點(diǎn)電荷發(fā)出，終止在無窮遠(yuǎn)處，在空間不可能有終止的電力線，凡電力線自s2一側(cè)穿入一定從s2另一側(cè)穿出，因此：,【結(jié)論】,這就是高斯定理,一個(gè)靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，任何一個(gè)包圍該點(diǎn)電荷的閉合曲面，不管其形狀、大小如何，通過該面的電通量都等于所包圍點(diǎn)電荷電量q的 ；任何一個(gè)不包圍該點(diǎn)電荷的封閉曲面，不管其形狀、大小如何，其電通量都等于0。,【推廣】,任何一個(gè)閉合曲面，不管其形狀、大小如何，通過該面的電通量都等于曲面所包圍的電荷電量的總和除以0。任何一個(gè)不包圍電荷的封閉曲面，不管其形

20、狀、大小如何，其電通量都等于0。,1.5.3 高斯定理與庫侖定律的關(guān)系,高斯定理的成立是庫侖力與距離平方反比律的必然結(jié)果。假如庫侖定律偏離距離平方反比律,不等于常數(shù)，高斯定理不成立，通過驗(yàn)證高斯定律可以驗(yàn)證庫侖距離平方反比率。,1.5.4 高斯定理應(yīng)用舉例,根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性，選擇高斯面s以至于在該面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處相等。可用高斯定理來計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。,例1.6 無限長(zhǎng)密度為直線電荷的電場(chǎng)的計(jì)算。,解：分析對(duì)稱性,選擇高斯面為以長(zhǎng)直線為軸的柱面，半徑為r，高度為L(zhǎng),以長(zhǎng)直線為軸，半徑相等處電場(chǎng)相等，方向與 方向相同，平行長(zhǎng)直線的方向電場(chǎng)強(qiáng)度等于0，關(guān)于柱面對(duì)稱。,由高斯定理得：,則：,例1.5

21、無限大均勻帶電平板的電場(chǎng)強(qiáng)度，面電荷密度為,解：分析對(duì)稱性,電場(chǎng)方向垂直帶電平板面，電場(chǎng)線相互平行，意味著處處相等。 選擇高斯面，垂直平板的柱面，柱面端面積為S。,思考,1、為什么柱面兩底面關(guān)于平面對(duì)稱？不對(duì)稱行嗎？ 2、柱面底面要求圓的嗎？底面積可以無限大嗎？離平面的距離可以無限遠(yuǎn)嗎？,若：兩塊無限大,例1.7 均勻帶電球內(nèi)外電場(chǎng)分布，電總量為q，球半徑位R。,解：帶電體的電荷密度：,根據(jù)對(duì)稱性，高斯面選擇為與帶電體同心的球面（s1、s2）,對(duì)于s1：,或,與r成正比，rR,對(duì)于s2：,或,與 r2成反比，同點(diǎn)電荷，rR,1.6 環(huán)路定理,1.6.1 電場(chǎng)的環(huán)量,靜電場(chǎng)的環(huán)量定義為,環(huán)量表明

22、矢量場(chǎng)的“旋轉(zhuǎn)”程度。對(duì)于靜電場(chǎng)有明確的物理意義。設(shè)想有一個(gè)電量為q0的試探電荷，在靜電場(chǎng)E中沿閉合路徑繞行一周，電場(chǎng)所作的功為：,靜電場(chǎng)環(huán)量等于單位正電荷沿電場(chǎng)閉合路徑一周電場(chǎng)力所作的功,一、點(diǎn)電荷電場(chǎng)的無旋性,點(diǎn)電荷電場(chǎng)線為輻射狀的，不出現(xiàn)渦旋狀的閉合電力線。這樣的電場(chǎng)為無旋場(chǎng)。即,1.6.2 環(huán)路定理,點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度,它繞任何閉合曲線l的環(huán)量-即單位正電荷沿任何閉合曲線l一圈靜電場(chǎng)所作的功。,投影在r方向,繞行一周回到原點(diǎn)，閉合曲線始點(diǎn)和終點(diǎn)r是相等的。,無旋,二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,任何帶電體系的靜電場(chǎng)，都可以寫成：,包括連續(xù)分布的電荷的電場(chǎng)都可以寫成這樣的形式。,其中,那么,推廣 任

23、何靜電場(chǎng)都是無旋場(chǎng),1.7.1 電勢(shì)差與電勢(shì)：,對(duì)于在電場(chǎng)中閉合環(huán)路L，點(diǎn)電荷qo繞行一周電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷qo所作的功：,1.7 電勢(shì),即,-電場(chǎng)力對(duì)qo由P到Q所作的功。經(jīng)l1、l2都相等，經(jīng)l3如何？,結(jié)論 靜電力所作的功與路徑無關(guān)，只決定于受力電荷qo起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的位置-靜電力為保守力。,保守力場(chǎng)是有勢(shì)能的，電荷qo在電場(chǎng)中具有電勢(shì)能W。,qo從P到Q，靜電力 所作的功應(yīng)該等于電荷qo電勢(shì)能的減小量。即(初始勢(shì)能減去末了勢(shì)能）,電勢(shì)能差,qo在靜電場(chǎng)中的微小位移 將導(dǎo)致其電勢(shì)能的微小減小。,電勢(shì)能增量,上面兩式給出電勢(shì)能的差值定量關(guān)系。要知道電荷qo在空間某點(diǎn)電勢(shì)能的大小，必須選擇參考點(diǎn)

24、，并令qo在此點(diǎn)的電勢(shì)能值為0。通常選qo在無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)能 W()=0。,qo在P點(diǎn)電勢(shì)能,qo在Q點(diǎn)電勢(shì)能,P點(diǎn)與Q點(diǎn)的電勢(shì)能差,思考 如果電場(chǎng)不是保守力場(chǎng)，引入電勢(shì)能有意義嗎？為什么？,電勢(shì)能差并不單純反映電場(chǎng)性質(zhì)，它還與qo的大小有關(guān)。而,與qo無關(guān)，只反映靜電場(chǎng)的性質(zhì)。稱U(P)為電場(chǎng)P點(diǎn)的電勢(shì)。是標(biāo)量。也是一個(gè)相對(duì)量。只有選擇U()=0，電場(chǎng)中空間每一點(diǎn)才有一個(gè)確定值。上式也可寫成一般形式：,積分與路徑無關(guān)， 是唯一的確定值。,那么 與 之間的電勢(shì)差為:,在電場(chǎng)中移動(dòng)dl距離，電勢(shì)的改變量dU為：,負(fù)號(hào)表示沿電場(chǎng)方向，電勢(shì)減小,那么， 處的電勢(shì),點(diǎn)電荷的電場(chǎng),1.7.2 電勢(shì)的一般

25、表達(dá)式具體電荷的電勢(shì),積分路徑是任意,所以，點(diǎn)電荷的電勢(shì),這個(gè)積分路徑是沿矢徑r,電勢(shì)是標(biāo)量,點(diǎn)電荷電勢(shì)比點(diǎn)電荷電場(chǎng)分母少一r,表明 由點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電場(chǎng)的電勢(shì)，等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)的電場(chǎng)電勢(shì)的代數(shù)和。稱電勢(shì)的疊加原理。,其中,電勢(shì)必定也滿足疊加原理,電場(chǎng)滿足疊加原理,-代數(shù)和,-矢量和,求N個(gè)點(diǎn)電荷q1qn，在 處的電勢(shì),qi在 處的電勢(shì),則，N個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì),解：建坐標(biāo)系，中心為原點(diǎn),例1.9 已知電偶極子，電荷量為q，間距為l，求距電偶極子很遠(yuǎn)P（rl)處的電勢(shì)。,忽略2階小量,解法2：建立坐標(biāo)：,+q：,-q：,電偶極矩， 方向自-q至+q,電偶極子遠(yuǎn)處的電勢(shì)由電偶極矩 表征。,求

26、連續(xù)分布帶電體、面、線的電場(chǎng)的電勢(shì)，分割成小電荷元，在 r處視dq為點(diǎn)電荷，它在r處的電勢(shì)為：,體電荷分布電勢(shì),面電荷分布電勢(shì),線電荷分布電勢(shì),*例1.10 求均勻帶電球面電場(chǎng)電勢(shì)，球半徑位R，帶電量為q。,解：建立坐標(biāo),ds的分割：r割一條環(huán)帶，面積為：,而,球外r處電勢(shì),與點(diǎn)電荷電勢(shì)相同,球內(nèi) 處,常數(shù),解法二：,rR,rR,rR電勢(shì),rR,r-R電勢(shì)差,r=R電勢(shì),rR與r=R之間電勢(shì)為常數(shù)。r=R電勢(shì)也是常數(shù)，所以rR,1.7.4 等電勢(shì)面,等勢(shì)面-電勢(shì)相等的點(diǎn)連成的面稱為等勢(shì)面,內(nèi)高外低,外高內(nèi)低,左高右低,內(nèi)高外低,1.7.3 場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系,靜電場(chǎng)中，電勢(shì)U是連續(xù)變化的，位置改變 時(shí)，電勢(shì)改變dU,-在電場(chǎng)中單位正電荷所受的力。,-在電場(chǎng)中單位正電荷移動(dòng) 電場(chǎng)力所作的功，使電勢(shì)能減小，所以有一個(gè)負(fù)號(hào)。,U-單位正電荷在電場(chǎng)中的電勢(shì)能,上式把靜電場(chǎng)強(qiáng)度 與無窮小位移dl所引起的電勢(shì)改變量dU聯(lián)系在一起。, 與U的空間變化率對(duì)應(yīng)-dU/dl,在等