1、1,教師需要怎樣的數(shù)學(xué)觀華東師范大學(xué) 李士錡 2014. 7,1,2,數(shù)學(xué)觀對數(shù)學(xué)的基本看法,與教學(xué)有關(guān)： 教學(xué)目標(biāo) 教師角色 教學(xué)方式 教學(xué)重點 教學(xué)活動 數(shù)學(xué)過程,2,3,數(shù)學(xué)觀對數(shù)學(xué)的基本看法,與教師的角色有關(guān)： 命令者 解釋者 推動者,3,4,數(shù)學(xué)是一種怎樣的形式？,例：教科書 平面幾何系統(tǒng)： 公理 公設(shè) 定義 定理證明 定理證明 ,4,5,數(shù)學(xué)是一種怎樣的形式？,例：數(shù)學(xué)論文 命題（定理） 定義 引理證明 引理證明 證明,5,6,一個令人吃驚的例子：,證明“任何三角形都是等邊三角形”,6,7,7,8,8,9,10,10,11,對交點在哪里有疑問？,12,12,13,13,14,疑點在

2、哪里？,14,15,15,16,16,我們可以得到什么啟示？,數(shù)學(xué)是要有事先規(guī)定的，包括公理系統(tǒng) 規(guī)定是在遇到實際困境時才設(shè)立的 設(shè)立后再放到最前面去，成為起點 歐氏幾何的公理系統(tǒng)并不完備 數(shù)學(xué)的表達(dá)形式，與產(chǎn)生過程的次序正好相反 問題：數(shù)學(xué)，應(yīng)該是按表達(dá)形式，還是按產(chǎn)生過程教？,17,18,數(shù)學(xué)觀對數(shù)學(xué)的基本看法,靜態(tài)的數(shù)學(xué)觀 形式的、精確的、邏輯的科學(xué) 一批孤立的法則、公式 動態(tài)的數(shù)學(xué)觀 解題過程為主的科學(xué) 應(yīng)用于社會和生活,18,19,教師中最常見的數(shù)學(xué)觀： 數(shù)學(xué)就是解題 數(shù)學(xué)就是解題技巧的掌握和應(yīng)用 數(shù)學(xué)就是知道一大套法則公式，去解題 數(shù)學(xué)是思考和解決問題的方法和過程 有什么樣的數(shù)學(xué)觀

3、，就會有什么樣的教學(xué)法,19,對數(shù)學(xué)教育來說 我們需要怎樣的數(shù)學(xué)觀？問題：數(shù)學(xué)結(jié)論如何形成？數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性如何建立？,20,21,經(jīng)驗主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀,21,22,Euler 多面體公式及其證明 V - E + F = 2,22,23,23,24,1. 去掉一個面，鋪平,24,25,25,26,只要證明: V - E + F = 1,26,27,2. 對圖形作三角形剖分,27,28,28,29,仍證明: V - E + F = 1,3. 簡化圖形:,29,30,30,31,31,32,3. 簡化圖形: 1) 去掉一條線, 減少一個面, 仍證明: V - E + F = 1,32,33,33,34

4、,34,35,35,36,36,37,3. 簡化圖形: 1) 去掉一條線, 少了一個面 2) 去掉兩條線,一個點, 少了一個面, 仍應(yīng)證明: V - E + F = 1,37,38,38,39,39,40,40,41,觀察結(jié)果: V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1,41,42,反駁: 只有兩種化簡方法?,42,43,43,44,44,45,45,46,46,47,47,48,48,49,49,50,50,51,51,52,52,53,53,54,再反駁: 去掉一個面, 就一定能鋪平?,54,55,N = 4,55,56,多面體定義,原定義: 任何由平面圍成的立體, 或: 由多邊

5、形面組成其表面的立體 新定義: 由一個多邊形系統(tǒng)組成的曲面,56,57,新的反駁,57,58,N = 3,58,59,N = 3,59,60,必須考慮“連通性” !,60,61,N = 12-30+12 = - 6,但又有反例:,61,62,按新定義: 由一個多邊形系統(tǒng)組成的曲面,五角星算不算 “多邊形” ？,62,63,什么是多邊形? 多邊形是這樣的棱的系統(tǒng): 1) 每個頂點恰有二棱相交 2) 除頂點外各棱沒有公共點,63,64,新的兩重反例 N = 3,64,65,“多面體” “凸多面體”,65,66,本質(zhì)性的問題：必須考慮“凸性”! “多面體” “凸多面體”,66,67,多面體的定義回歸

6、性地不斷改進(jìn),多面體定義 連通性 多邊形定義 凸性,67,68,(“最后”) 定理: 所有帶單連通面的準(zhǔn)凸多面體, 有: V - E + F = 2,68,69,拉卡托斯的思想: 數(shù)學(xué)的發(fā)展，是依靠猜想、證明、批判、反駁，不斷地改進(jìn)結(jié)論和推理的過程 數(shù)學(xué)是可錯的，而不是一帆風(fēng)順發(fā)展，定理數(shù)量單調(diào)增長的 證明（乃至數(shù)學(xué)）：是一個實驗或準(zhǔn)實驗: 思想實驗 數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性: 嵌入一套“熟悉的背景知識”,69,70,數(shù)學(xué)的發(fā)展，是依靠猜想、證明、批判、反駁，不斷地改進(jìn)結(jié)論和推理的過程 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)看作為一個過程，而不只是一個結(jié)果。 數(shù)學(xué)及其思維，在其內(nèi)部發(fā)展的過程中需要猜想、證明、批判、反駁等等機(jī)制。 教

7、學(xué)僅展示正確的過程是不夠的，也應(yīng)暴露其中的曲折。,70,71,數(shù)學(xué)是可錯的，而不是一帆風(fēng)順發(fā)展、定理數(shù)量單調(diào)增長的 數(shù)學(xué)，不是一開始就是正確、精確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。在嘗試、探究、前進(jìn)的過程中，充滿了錯誤，曲折，回旋,71,72,證明（乃至數(shù)學(xué)）：是一個實驗或準(zhǔn)實驗: 思想實驗 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維, 就是一個反復(fù)嘗試、探究的過程，不斷修正、改進(jìn)、完善的過程。例如，不僅要改進(jìn)證明過程，也可能要改進(jìn)原命題、原猜想。,72,73,數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性: 嵌入一套“熟悉的背景知識” 數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性是相對的，特別是，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的水平和能力來決定 例：判斷函數(shù) f (x) = 的單調(diào)性 當(dāng) x1 x2時, f(x1) f(x

8、2) = ,73,74,問題：,科學(xué)的數(shù)學(xué)與教育的數(shù)學(xué)是否一樣？ 區(qū)別在哪里？ 嚴(yán)謹(jǐn)性 抽象性 廣泛應(yīng)用性,74,75,認(rèn)識：,需要區(qū)分科學(xué)的數(shù)學(xué)與教育的數(shù)學(xué) “數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)與數(shù)學(xué)的教育形態(tài)” 例：平面幾何中的“邊邊邊公理” 例：代數(shù)中的分式的定義,75,76,認(rèn)識：,又要看到它們之間的聯(lián)系 例：數(shù)學(xué)歸納法背后的皮亞諾公理 例：“任何三角形都是等邊三角形”,76,77,數(shù)學(xué)觀對數(shù)學(xué)的基本看法,教學(xué)中反面的例子: 數(shù)列問題：找規(guī)律寫出第三個數(shù)： 61，52，？，94，46，18,77,78,例：寫出數(shù)列的下一行： 1 1 1 2 1 1 2 1 11 1 1 2 2 1,78,79,例：船長問

9、題 有一艘船，裝有75頭牛，34只羊，問船長多少歲,79,80,實際問題：意義不當(dāng)?shù)挠?xùn)練，與訓(xùn)練目的、內(nèi)容、時機(jī)、方法等有密切關(guān)系 經(jīng)驗教訓(xùn)：教師的數(shù)學(xué)觀將直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)觀,80,案例：分?jǐn)?shù)化小數(shù)的方法,81,案例：一組減法算術(shù)題,4225 = 4326 = 4427 = 4528 = 4629 = 4730 = ,82,83,數(shù)學(xué)觀對數(shù)學(xué)的基本看法,與教學(xué)有關(guān)： 教學(xué)目標(biāo) 教師角色 教學(xué)方式 教學(xué)重點 教學(xué)活動 數(shù)學(xué)過程,83,“活動教學(xué)”,小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的例子：表揚, 拍手, 發(fā)小紅旗 質(zhì)疑: 課堂活動的實際效果如何考慮?,84,A B C 質(zhì)疑: 如何設(shè)置情境 ?,“情境教學(xué)”,“最短

10、救火路程”問題,85,“探究教學(xué)”,正弦定理的教學(xué)：請同桌同學(xué)任意畫一個三角形，測量它的各角大小和各邊的長，并用計算器分別計算 c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么結(jié)果？,86,得到一些結(jié)果：,87,教師問：根據(jù)計算結(jié)果和小組的交流情況，同學(xué)們有什么看法？ 同學(xué)們猜出結(jié)果 教師根據(jù)大家的意見，寫出正弦定理 緊接著，教學(xué)轉(zhuǎn)入正弦定理的應(yīng)用 質(zhì)疑：這樣的教學(xué)過程存在問題嗎？,88,數(shù)學(xué)探究的目的是什么? 靠測量和觀察, 得到的是什么? 數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)該靠什么來確認(rèn)?,89,這個課題的本質(zhì)：數(shù)學(xué)的理性思維 得到的命題必須加以證明 使用演繹方式，在系統(tǒng)內(nèi)證明 但是上述教學(xué)過程放棄了這個本質(zhì) 正弦定理的更深刻的實質(zhì)意義：平面幾何“大邊對大角”關(guān)系的數(shù)量化，即，三角形邊角關(guān)系的理性化,90,基本經(jīng)驗和教訓(xùn)： 數(shù)學(xué)教育，核心是教好數(shù)學(xué)。要防止“去數(shù)學(xué)化”的傾向 數(shù)學(xué)教師最重要的基本功是數(shù)學(xué)功底 教學(xué)方法，是為學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容服務(wù)