1、第45講橢圓考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，了解橢圓的實(shí)際背景3理解數(shù)形結(jié)合的思想.2017全國(guó)卷，202016全國(guó)卷，112016天津卷，201.求解與橢圓定義有關(guān)的問(wèn)題；利用橢圓的定義求軌跡方程；求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；判斷橢圓焦點(diǎn)的位置2求解與橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題；求解橢圓的離心率；求解與橢圓的焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題.分值：512分1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做！_橢圓_#.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的！_焦點(diǎn)_#，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的！_焦距_#.集合PM|2a，2c，其中

2、a0，c0，且a，c為常數(shù)(1)若！_ac_#，則集合P為橢圓；(2)若！_ac_#，則集合P為線(xiàn)段；(3)若！_ac_#，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍！_a_#x！_a_#，！_b_#y！_b_#！_b_#x！_b_#，！_a_#y！_a_#對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：！_坐標(biāo)軸_#，對(duì)稱(chēng)中心：！_(0,0)_#頂點(diǎn)A1！_(a,0)_#，A2！_(a,0)_#，B1！_(0，b)_#，B2！_(0，b)_#A1！_(0，a)_#，A2！_(0，a)_#，B1！_(b,0)_#，B2！_(b,0)_#軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為！_2a_#，短軸B1B2的長(zhǎng)

3、為！_2b_#焦距！_2c_#離心率e！#，e！_(0,1)_#a，b，c的關(guān)系c2！_a2b2_#1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形()解析(1)錯(cuò)誤由橢圓的定義知，當(dāng)該常數(shù)大于時(shí)，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于時(shí)，其軌跡為線(xiàn)段F1F2，常數(shù)小于時(shí)，不存在圖形(2)正確由橢圓的定義，得2a，又2c，所以2a2c.(3)錯(cuò)誤因?yàn)閑，所以

4、e越大，則越小，橢圓就越扁(4)正確由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，其關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)也關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)2設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則(C)A4B8C6D18解析由定義知2a6.3若方程1表示橢圓，則m的范圍是(C)A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3)解析由方程表示橢圓知解得3m5且m1.4(2018廣東惠州二調(diào))設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為(D)ABCD解析如圖，設(shè)線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)MPF2，可得PF2x軸，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，.故選D5已知F1

5、，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿(mǎn)足2，PF1F230，則橢圓的離心率為！_#.解析在PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1.設(shè)1，則2，所以離心率e.一橢圓的定義及應(yīng)用橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱(chēng)為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求，通過(guò)整體代入可求其面積等【例1】 (1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(A)A

6、橢圓B雙曲線(xiàn)C拋物線(xiàn)D圓(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b！_3_#.解析(1)由折疊過(guò)程可知點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)CD對(duì)稱(chēng)，故，所以r，由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為橢圓(2)設(shè)r1，r2，則2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2.又SPF1F2r1r2b29，b3.二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21

7、(m0，n0，mn)的形式【例2】 求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過(guò)點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5,3，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線(xiàn)恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，(，)解析(1)橢圓1的焦點(diǎn)為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由于焦點(diǎn)的位置不確定，設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)由已知條件得解得a4，c2，b212.故橢圓方程為1或1.(3)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)，由解得m，n.橢圓方程為1.三

8、橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的方法(1)直接求出a，c，從而求解e，通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e，由已知條件得出a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解(3)通過(guò)特殊值或特殊位置，求出離心率【例3】 (1)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A，B是C上兩點(diǎn)，3，BAF290，則橢圓C的離心率為(D)ABCD(2)已知F1(c,0)，F(xiàn)2 (c,0)為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓1上，且滿(mǎn)足c2，則此橢圓離心率的取值范圍是(C)ABCD解析(1)由條件3，設(shè)|x，則|3x.在ABF2中，有(4x)2(2a3x)2(2ax)

9、2，整理得x(3xa)0，即3xa，x，在RtAF1F2中，有2c，(3x)2(2a3x)24c2.將x代入，得a2(2aa)24c2，解得，即e.(2)由橢圓的定義得2a，平方得2224a2.又c2，cosF1PF2c2.由余弦定理得222cosF1PF224c2.由，得cosF1PF2.又0cosF1PF21，e.2a2，2a23c2a2，a23c2，e，則此橢圓離心率的取值范圍是.故選C四直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題直線(xiàn)與橢圓綜合問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題策略(1)求直線(xiàn)方程可依題設(shè)條件，尋找確定該直線(xiàn)的兩個(gè)條件，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程(2)求面積先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進(jìn)而得出面積

10、的值(3)判斷圖形的形狀可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系(4)弦長(zhǎng)問(wèn)題利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式求解(5)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)一般利用點(diǎn)差法求解，注意判斷直線(xiàn)與橢圓是否相交【例4】 (2017全國(guó)卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足 .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x3上，且1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.解析(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 ，得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.

11、(2)由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)，由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即，又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【例5】 已知橢圓1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e，直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)(1)若直線(xiàn)l的方程為yx4，求弦|MN|的長(zhǎng)；(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線(xiàn)l方程的一般式解析(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.將4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，

12、x10，x2，所求弦長(zhǎng)|MN|x2x1|.(2)橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知B2F，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即Q的坐標(biāo)為(3，2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，且1，1，以上兩式相減得0，kMN，故直線(xiàn)MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.1(2017浙江卷)橢圓1的離心率是(B)ABCD解析根據(jù)題意知a3，b2，則c，橢圓的離心率e.故選B2(2017全國(guó)卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線(xiàn)段A1A2為直徑的圓與直線(xiàn)bxay

13、2ab0相切，則C的離心率為(A)ABCD解析以線(xiàn)段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，半徑為a，由題意，圓心到直線(xiàn)bxay2ab0的距離為a，即a23b2.又e21，所以e.故選A3(2017全國(guó)卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB120，則m的取值范圍是(A)A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)解析依題意得或所以或解得04k0，即4k5時(shí)，a3，c29(4k)5k，解得k.當(dāng)94k，即kb0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線(xiàn)xy0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為(D)ABCD1解析設(shè)F(c,0)關(guān)于直線(xiàn)xy0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(

14、m，n)，則解得m，nc，代入橢圓方程可得1化簡(jiǎn)可得e48e240，解得e1(舍去)或e1.故選D二、填空題7設(shè)橢圓1(m0，n0)的右焦點(diǎn)為(2,0)，離心率為，則此橢圓的方程為！_1_#.解析橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，m2n24，e，m2，代入m2n24，得n24，橢圓方程為1.8已知P為橢圓1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為！_7_#.解析由橢圓方程知a5，b4，c3.兩圓的圓心分別為橢圓的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)兩圓半徑分別為r1，r2，則r11，r22.所以|PM|min|PF1|r1|PF1|1，|PN|min|PF2|r

15、2|PF2|2，故|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|32a37.9橢圓1(a為定值，且a)的左焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B.若FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是！_#.解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，如圖，由橢圓定義知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周長(zhǎng)為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)右焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立此時(shí)4a12，則a3.故橢圓方程為1，所以c2，所以e.三、解答題10如圖，橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,2)，且l交橢

16、圓C于P，Q兩點(diǎn)，OPOQ，求直線(xiàn)l的方程及橢圓C的方程解析(1)|AB|BF|，a，即4a24b25a2，即4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，橢圓C：1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線(xiàn)l的方程為y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40.從而40，解得b1，滿(mǎn)足b.橢圓C的方程為y21.11設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐

17、標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，滿(mǎn)足|BM|2|MA|，直線(xiàn)OM的斜率為.(1)求橢圓E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，b)，N為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求橢圓E的方程解析(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.又kOM，所以，所以ab，c2b，故e.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得，直線(xiàn)AB的方程1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為，則線(xiàn)段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線(xiàn)AB上，且kNSkAB1，從而有解得所以a3，故橢圓E的方程為1.12如圖，已知橢圓M：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)在橢圓M中有一內(nèi)接三角形ABC，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，1)，AB所在直線(xiàn)的斜率為.(1)求橢圓M的方程；(2)當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)A