1、一、條件概率,二、乘法定理,三、全概率公式與貝葉斯公式,四、小結(jié),第五節(jié)條件概率,將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.,分析,事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為,1. 引例,一、條件概率,同理可得,為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.,2. 定義,3. 性質(zhì),二、 乘法定理,例1 一盒子裝有4 只產(chǎn)品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 從中取產(chǎn)品兩次, 每次任取一只, 作不放回抽樣. 設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品” 、事件B

2、為“第二次取到的是一等品”試求條件概率 P(B|A).,解,由條件概率的公式得,例2 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為 0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè) 20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以上的概率是 多少?,設(shè) A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有,解,例3 五個(gè)鬮, 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有” 字， 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 ，五人依次抓取, 問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?,解,則有,抓鬮是否與次序有關(guān)?,依此類推,故抓鬮與次序無關(guān).,摸球試驗(yàn),解,例4,此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.,例5 設(shè)某

3、光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.,1. 樣本空間的劃分,三、全概率公式與貝葉斯公式,2. 全概率公式,全概率公式,圖示,證明,化整為零 各個(gè)擊破,說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.,例6 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 2

4、0%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% ， 1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?,設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,稱此為貝葉斯公式.,3. 貝葉斯公式,貝葉斯資料,證明,例7,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由貝葉斯公式得,解,例8,由貝葉斯公式得所求概率為,上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫 做先驗(yàn)概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后驗(yàn)概率.,先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率,解,例9,由貝葉斯公式得所求概率為,即平均1000個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人 患有癌癥.,1.條件概率,全概率公式,貝葉斯公式,四、小結(jié),乘法定理,貝葉斯資料,Thomas Bayes,Born: 1702 in Lo