1、周易中的數(shù)學(xué)文化,主講人：秦少青,周易是我國最古老、最有權(quán)威、最著名的一部經(jīng)典著作，是中華民族聰明智慧的結(jié)晶。它是保羅萬象的百科全書，具有多學(xué)科性，包括自然、社會、思維各大領(lǐng)域，內(nèi)容渉及哲學(xué)、地理、天文、醫(yī)學(xué)、樂理、物理、相對論、場論、信息論、，甚至若干現(xiàn)代尖端科學(xué)的淵源都可追溯到周易，如：遺傳密碼、軍事戰(zhàn)略、計算機(jī)、未來學(xué)等。 周易同時也是一部“數(shù)學(xué)巨著”。,周易的作者大致以兩種猜測：,周文王：公元前1182公元前1135： 伏曦、周文王、孔丘等所做。 伏曦完成其中八卦，周文王將其演化為64卦，以此研究天文、地理及用人之道，為他出獄后啟用姜子牙，滅商紂王作精心準(zhǔn)備。,孔子作為春秋時期的思想家

2、、教育家，及儒家的創(chuàng)史人。在他中年以后卻從頭去學(xué)周易，成語“韋編三絕”就是指孔子學(xué)習(xí)周易的故事。 人們認(rèn)為周易中的易傳部分由孔子所作。 周易分為易經(jīng)與易傳兩部分，易經(jīng)要早于易傳七百多年。,易經(jīng)：是具有哲學(xué)思想萌芽的巫書，內(nèi)容東鱗西爪、文字簡古難讀。易經(jīng)記載了六十四卦，每卦六爻。乾卦另有“用九爻” (多一卦)，坤卦另有“用六爻” ( 也多一卦 ），講述六十四卦為“經(jīng)”，所有這些卦合起來共有386爻。 (6462=386). 易傳：是解釋易經(jīng)的書，是具有濃厚哲學(xué)思想的書。有七種十篇。,一、八 卦 的 形 成,要了解周易的宇宙觀，了解八卦是怎樣形成的，了解從太極到六十四卦的演化，首先我們必須懂得周易

3、系辭中的一些東西的含義。如 “易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，”。,“易有太極”,“易有太極”：是指陰陽未分，天地混沌時期。太極就是太一，不是數(shù)學(xué)意義上的一，而是哲學(xué)意義的、整體的、絕對的一。 太極，是大到極點(diǎn)，物極必反，就會出現(xiàn)分化，故陰陽分離，形成了天和地。,太極生兩儀,太極生兩儀：體現(xiàn)了數(shù)的可分性。兩儀就是天和地，古人用符號 “ ” 和 “ ”分別來表示 “陽爻” 和 “陰爻” 陽爻： 代表天、火、男、白天 陰爻： 代表地、水、女、黑夜,兩儀圖（陰陽魚）,（易學(xué)家繪制的太極圖）,兩儀中的數(shù)學(xué),陽爻 ： 代表正數(shù)、奇數(shù)、加號、數(shù)字1，。 陰爻： 代表負(fù)數(shù)、偶數(shù)、減號 -、數(shù)字0

4、，。 兩儀的面積正好相等。兩個對稱圓的面積正好為大圓面積的一半。,R,r,“兩儀生四象”,四象是在兩儀一奇一偶之上復(fù)生一奇一偶而產(chǎn)生的，它象征著春、夏、秋、冬四季以及東、南、西、北四個方向。 四象分成 太陰： 少陰 少陽 太陽,“四象”在坐標(biāo)中的圖像表示,中國人將“笛卡爾直角坐標(biāo)系”的四個部分稱為四個象限，各象限的正、負(fù)值完全符合易經(jīng)中的四象。,少 陰,太 陽,太 陰,少 陽,（，）,（，）,（，）,（，）,“四象生八卦”,在四象之上再生一陰一陽，就產(chǎn)生第三爻。以陰陽三爻錯綜復(fù)雜的排列，最終可得八種卦形： 1 乾卦 2 兌卦 3 離卦 4 震卦 （天） （澤） （火） （雷） 5 巽卦 6 坎

5、卦 7 艮卦 8 坤卦 （風(fēng)） （水） （山） （地） 八卦象征著世界形成了八種基本物質(zhì)。,八卦與“笛卡爾”直角坐標(biāo)系中卦限符號的關(guān)系,1（，） 2（, ， ） 3（，） 4（，） 5（，） 6（，） 7（，） 8（，）,O,y,z,三個互相垂直的平面將空間 分為8個部分，每一個部分我們 稱他為一個“卦限”,x,八 卦 的 卦 德,乾：健也。乾象天，不息的運(yùn)轉(zhuǎn)，性質(zhì)剛??； 坤：順也。坤象地，順承天而行，性質(zhì)柔順； 震：動也。震為雷，雷能驚動萬物，性質(zhì)我動： 巽：入也。巽為風(fēng)，風(fēng)無孔不入，性質(zhì)為入： 坎：陷也。坎為水，水流入底處，性質(zhì)為陷; 離：麗也。離為火，火付著可燃之物，性質(zhì)為附麗： 艮：止

6、也。艮為山，山魏然不動，性質(zhì)為停止； 兌：悅也。悅為澤，澤氣洋溢，性質(zhì)為悅。,八 卦 的 卦 象,乾象：乾為天、為君、為父、為夫、為天子 坤象：坤為地、為后、為臣、為妻、為群 震象：震為雷、為帝、為長子、為主、為諸侯 巽象：巽為風(fēng)、為霜、為長女、為處女、為婦 坎象：坎為水、為月、為江河、為大川、為云 離象：離為火、為日、為電、為大人、為妹 艮象：艮為山、為石、為沙、為門庭、為少男 兌象：兌為澤、為少女、為朋、為友、為巫。,周易中的八卦太極圖,中央的圓圈為太極，黑白魚形圖為兩儀，圍繞著太極的是八卦。 太極的上、下、左、右為乾、坤、離、坎四卦，四個卦形為內(nèi)層兩條迭線為四象。 左圖為 “伏曦八卦圖”

7、,八 卦 小 橫 圖,二、八 卦 與 數(shù) 學(xué),1、八卦體現(xiàn)出了排列組合的思想。 如將陽爻 與陰爻 作為元素： 每次取2個，共有4種不同的取法； 每次取3個，共有8種不同的取法； 每次取6個，共有64種不同的取法； 兩儀到64卦的排列方法相當(dāng)數(shù)學(xué)中的無重復(fù)排列:,2、64 卦表現(xiàn)出等比級數(shù)觀念及無窮大與無窮小的觀念： 即從第二項(xiàng)起，每項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值是一常數(shù)，即公比。M的發(fā)展趨勢可無限大，也可無限小：,3、伏曦八卦在數(shù)學(xué)上的對稱性與穩(wěn)定性,若將八卦太極圖的數(shù)字畫一條曲線，則： 1與8 2與7 3與6 4與5 這些數(shù)字之和都是9。,4、8864，數(shù)字64組成的方陣,64,64,64,64,64,6

8、4,64,260,260,260,260,260,260,260,260,三、八 卦 與 二 進(jìn) 制 數(shù),人類最早發(fā)生 “數(shù)” 的概念是“有”與“無”。 “有”與“無”在卦畫上即為 陽爻： ，陰爻 。 周易系辭上說八卦的形成過程，就是一種二進(jìn)制記數(shù)法： 陽爻： 代表 1； 陰爻： 代表 0。,兩爻組成“四象”：（由下向上讀） 太陰 少陰 少陽 太陽 00 01 10 11 三爻的不同排列組成 “八卦”： 111 110 101 100 011 010 001 000 這是二進(jìn)制數(shù)記數(shù)中 0、1、2、3、4、5、6、7 中的八個數(shù),64卦相當(dāng)于二進(jìn)制數(shù) 0 到 63 這 64 個數(shù)。 坤卦 (

9、0 ) 000000 乾卦 (63) 111111 列一表格對比說明：,二進(jìn)制發(fā)明者: 德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646-1716） 萊布尼茲在我國的八卦圖中悟出了聞名于世的二進(jìn)制數(shù)學(xué)。 萊布尼茲對八卦圖評價： “易圖是流行于宇宙間的科學(xué)中 最古老的紀(jì)念物”,沈宜甲在科學(xué)無玄的周易 一書中說：,“周易之?dāng)?shù)學(xué)為數(shù)學(xué)、數(shù)字之最高峰，在近代數(shù)學(xué)中，亦無法與之相比，其最不可思議者即由單一課題，以求奇、偶、陰陽爻之?dāng)?shù)，而有幾百種定律、周期性，包括十進(jìn)、二進(jìn)、排列組合、極大極小、可能率等，可云集數(shù)學(xué)之大成。而成書于三千年前，乃人類至高智慧之表現(xiàn)。又有不可解者，即三、四千年前之中國古人與其他各國古人，何能至此。

10、”。,，,從周易看中國古代數(shù)學(xué)，則全為高深、抽象，全憑理想之作，繁雜多多。世界史學(xué)家皆由周易開始承認(rèn)中國古代數(shù)學(xué)造詣甚深。 至今為止，全世界仍未見到比易經(jīng)數(shù)學(xué)更為高深偉大的，令人嘆為觀止，其高深、周密、廣闊、巧妙、繁復(fù)，可諶稱絕無僅有，應(yīng)列人世界數(shù)學(xué)史中之最高位置。,周易系辭未將 “兩儀生四象，四象生八卦，”。這一數(shù)學(xué)思想繼續(xù)演繹下去，卻接著說：“八卦定吉兇，吉兇生大業(yè) ” 將易經(jīng)完全引向另一方面。 而 “易數(shù)” 就成了占卜算卦的依據(jù)了。,四、周易筮法中的數(shù)論問題,周易是一門很難看懂的書。 筮法是一種迷信活動，但若你不懂筮法，你就根本不會懂得周易這本書在講什么，也就很難去洞察其中一些科學(xué)的、文

11、化的東西。所以即便我們和普通人一樣也將周易看作是遠(yuǎn)古傳下來的一部用來占筮的書，那么我們來認(rèn)識一下筮對數(shù)學(xué)的依賴性。,事實(shí)上，筮是一種與數(shù)有關(guān)的活動，而筮法確實(shí)是一種計算活動。筮法有多種形式，現(xiàn)在我們來分析一種筮法。,1、筮法：用蓍草的操作來占卜。,“一變”： 將49根蓍草隨機(jī)的分為兩堆，然后在其中一堆中取出1根不用，把兩堆余下的蓍草分別4根一組地分組，去掉不夠4的余數(shù)（無余數(shù)則算余4），這樣加上已經(jīng)取出的那根，共去掉 5 根或 9 根蓍草，余下 44 根或 40根，這個過程叫 “一變 ”；,“二變”： 用“一變”余下的蓍草再重復(fù)上述的過程， 余下 40、36、或 32 根蓍草，叫“二變”； “

12、三變”： 用 “二變” 余下的蓍草再重復(fù)上述過程，余 下36、32、28 或 24 根蓍草，叫“三變”； 用4除“三變”余下的蓍草數(shù)，可得 9、8、7、6四個數(shù)之一。 如果得9或7，叫陽爻，用“”表示； 如果得8或6，叫陰爻，用“”表示。 這樣“三變”決定一個爻。,這一過程重復(fù)六次，得到6個爻，6 爻確定一個卦。就完成了筮的操作。 這時可由出的卦，利用周易中的卦辭預(yù)測所占卜的行為的吉兇悔吝等。 6個陽爻,稱為乾卦。乾卦的卦辭為： 乾、 元、 亨、 利、 貞。 乾：卦名； 元：萬事萬物根本，又解做大；亨：通達(dá)無礙；利：祥和而無害；貞：潔凈而清正。 白話為：乾卦，具有原始的、偉大的、亨通的、祥和的

13、、貞潔的德性。,每卦有六個爻辭，爻辭通過搖卦的方法獲得，并且規(guī)定只能搖一次，定初卦為主，不再進(jìn)行第二、第三次搖卦。 乾卦分別有初九、九二、九三、九四、九五、上九、用九（只有乾卦有）。 順序從下而上依次為序。,如果你抽到簽為初九，則可解釋為： *初九：潛龍勿用。（乾卦第一爻） 白話：乾卦第一爻，象征潛龍，以不用為佳。 *九二：見龍在田，利見大人。 白話：乾卦第二爻，象征出現(xiàn)在田地上的龍一樣，可以見到高明偉大的人物了。 ,坤卦 ： 從下而上分別為，初六、六 二、六三、六四、六五、上六、用六。 損卦 ： 從下而上分別為，初九、九二、六三、六四、六五、上九。 若得到 “六三” 簽，則六三爻辭解釋是：,

14、“ 三人行，則損一人；一人行，則得其友?！?意思是說：三人結(jié)交，意見難一致，終會丟掉一個朋友。一人獨(dú)行，感到孤獨(dú)，就會尋找一個伴友。,“周易筮法”（成卦法）和一次同余式的關(guān) 系,周易的成卦法和一個同余式有關(guān)。同余式理論屬于 “數(shù)論” 的范疇，它是關(guān)于數(shù)的可除性的一種符號語言。生活中的應(yīng)用舉不勝舉，如： 今天是星期一，是本學(xué)期的第一天，第100天后是星期幾？1007，商14余2，余2就是星期2。,現(xiàn)在是零點(diǎn)，100小時后是幾點(diǎn)？10024，商4余4，余4就是4點(diǎn)種。 推而廣之，若 m7 與 n7 都是星期 r ，(1r6) 如果 r =0，即除盡，則第 m 天與 n 天都是星期日。 可見同樣的余

15、數(shù)代表某種相同的性質(zhì)。,同余定理：（孫子定理） 若m為一自然數(shù)，若（ab）為m之倍數(shù)，則稱 a、b 對于 m 同余，記作 a b（modm），意即： ab m k （ k為一整數(shù)）。 周易成卦法的機(jī)巧在于將 49 根蓍草三變二十一演，得到下列4種可能的策數(shù)之一： 49=36， 48=32， 47=21， 46=24。 這一定是周易作者通過精密的數(shù)學(xué)運(yùn)算和反復(fù)試驗(yàn)才得到如此機(jī)巧之構(gòu)思。這種機(jī)巧，從數(shù)學(xué)上看正是數(shù)論同余式理論的思想。,周易成卦法的機(jī)巧在于將49根蓍草三變二十一演,得 4種可能的策數(shù)之一： 49=36，48=32, 47=21，46=24。 周易占筮就是不斷重復(fù)以下兩種運(yùn)算： 運(yùn)算1

16、： 運(yùn)算2：,我們可以認(rèn)為周易的成卦法是同余式的基礎(chǔ)，孫子定理發(fā)展了這一理論。孫子算經(jīng)中的物不知數(shù)問題引導(dǎo)了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法 “大衍求一術(shù)”。 現(xiàn)代文獻(xiàn)中往往把求解一次同余的定理稱我 “ 中國剩余定理 ” 或直稱 “孫子定理”。,國際上認(rèn)可這一定理最早來自中國。它比西方國家內(nèi)容相同的 “高斯定理” 早問世1500年左右。 對于“孫子定理”，古人將這一算法神秘化，宋元時稱它為 “鬼谷算”、“隔墻耳” “韓信點(diǎn)兵” 等。,2、周易中神奇的思維方式,八卦是一種思維模型。它以概念、判斷、推理等思維形式組成圖象、圖形、圖式，作為反映客觀事物相互關(guān)系的理論體系。那么，這個理論體系是以什么

17、的方式去分析世界的呢？ 八卦思維方式的一個重要特點(diǎn)是以綜合并包的方式，容納多種思維，其中至少包含了三種思維方式 ：,（1） 抽象的思維方式,邏輯思維在八卦中的出現(xiàn)，應(yīng)該說是一大進(jìn)步。 八卦通過象、辭、占三者構(gòu)成自己的體系，而在象的設(shè)立和辭的陳述中都表現(xiàn)出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫞w現(xiàn)了某種抽象的觀念。,“坤，初六” 說：“履霜，堅冰至”. 意為已經(jīng)踏著了霜，結(jié)冰堅固的日子也就要到了. 而這個爻辭依據(jù)的象是初六爻，陰爻， 陰的開始，往上五個爻全是陰，正是陰氣滋盛的起點(diǎn)，這正說明天氣將越來越冷了。坤的八卦之論正是人們重復(fù)無數(shù)次經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)陳述，變成具有普遍意義的邏輯聯(lián)系。,卦象之間的邏輯聯(lián)系： 人們研究發(fā)現(xiàn)，更有

18、趣味的是，八卦以至六十四卦，卦卦之間都以邏輯聯(lián)系起來，而每卦六爻，爻之間也都是用邏輯溝通起來，形成一個完整的邏輯體系。 以六十四卦的推演為例：,第一卦“乾”（為天），陽極生陰，所以第二卦為坤； 第二卦“坤”（為地），有天地后萬物滋生，故三卦為屯； 第三卦“屯”（盈萬物），物生必幼小，故四卦為蒙； 第四卦“蒙”（幼稚），物稚必需養(yǎng)，故五卦為需； 第五卦“需”（飲食），飲食必有爭吵，故六卦為訟； 第六卦“訟”（爭執(zhí)），訟會有眾議，故七卦為師； 第七卦“師”（為眾），眾起必有所比，八卦為比； 第八卦“比”（親比），比必有所畜，九卦為畜； 第九卦“畜”（積累），物畜然后有禮，十卦為履； 第十卦“履”（

19、道義），履而泰，后安，十一卦為泰； 第十一卦“泰”（太平），泰者通也，物不可終通，故十二卦為否； 第十二卦“否”， ；,如此邏輯推演，直到 “物要窮盡”。 所以出現(xiàn) “既濟(jì)” 卦，但事實(shí)上 “物不可以窮盡”，所以“既濟(jì)”卦后為第六十四卦（最后一卦）為 “未濟(jì)”。 事物是發(fā)展的，“未濟(jì)”卦是末卦，但又不是事物的終結(jié)，末卦用這個“未”字，絕妙說明事物到處結(jié)束，但又重新開始，由乾、坤、屯、蒙、需、松 再來演進(jìn)。,依此看來，八卦作者已經(jīng)遵循著邏輯思維過程，企圖用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸绞綐?gòu)成世界圖式。 盡管這種推理只是一種依據(jù)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系的推理過程，但畢竟已經(jīng)開始上升到必然過程的高度了。,（2）準(zhǔn)宗教的神秘主義思維。

20、,準(zhǔn)宗教的神秘思維表現(xiàn)了以體察卦象背后的神秘啟示為目標(biāo)的思維特點(diǎn)，它主要體現(xiàn)在八卦的卦、爻辭當(dāng)中。,我們知道，占是八卦的最初功能。作為卜筮之書，它原來就是用以占問吉兇，從而指導(dǎo)人們趨利避兇的。 后來人們將它作為哲理書來讀，象、辭、占之間的關(guān)系就被解釋為某種內(nèi)在的邏輯關(guān)系結(jié)構(gòu)了。但占本身仍具有獨(dú)特的思維方式。,筮是用蓍草占卦，而用蓍草占卦的原因是人們相信它有特殊的神異，“舌蓍成數(shù)”，數(shù)以定象，數(shù)也被認(rèn)為有特異的功能。 所以占的思維過程首先是占筮的工具蓍草和數(shù)字的崇拜為前提的。 其次，舌蓍草而得的數(shù)字，純粹是一種偶然， 由它所定的象也是偶然的混合。,卦爻辭與數(shù)也是偶然的聯(lián)系。 后來筮方式改良，使占

21、卜過程獲得數(shù)字規(guī)范化，固定在 六、七、八、九 這四個數(shù)范圍內(nèi)，但這種規(guī)范化畢竟還是一個純數(shù)學(xué)問題，與占問吉兇之間并無必然聯(lián)系。,八卦的卜筮中卻把這種偶然聯(lián)系看作必然的因果關(guān)系. 這是由于它本身就意味著對神秘功能的崇拜，進(jìn)而將偶然聯(lián)系當(dāng)作神的預(yù)示，從而又將偶然的聯(lián)系當(dāng)作必然的關(guān)聯(lián)，這就是占筮的思維過程。,八卦這種思維方式最初起源于原始思維，是前邏輯階段的東西，它的前提是萬物有靈。 而依據(jù)感性的、外在的、偶然的現(xiàn)象以決定行動，這是它的重要特征，八卦產(chǎn)生時，這種原始思維方式仍然保留下來。與其他思維匯聚一體，構(gòu)成八卦的特有思維特點(diǎn)。,（3）唯 象 思 維,八卦與一般典籍不同的地方，在于它以卦象統(tǒng)領(lǐng)全數(shù)

22、，這樣就形成了它以卦象、物象為工具的唯象思維方式。每一卦象必然象征著某類事物或幾類事物，這樣它就企圖用象來概括、模擬天下事物。 卦象統(tǒng)物象，又不限于一事一象，它在實(shí)際的思維過程中，可以隨時轉(zhuǎn)變物象。如八卦象征著天、地、雷、風(fēng)、水、火、山、澤，這是最基本的物象，而每卦又限于這一象，它可推演出“天、圜、父、玉”“坤、地、母、器”等等其他事物來。,卦象統(tǒng)物象，又不限于一事一象，它在實(shí)際的思維過程中，可以隨時轉(zhuǎn)變物象。 如八卦象征著 天、地、雷、風(fēng)、水、火、山、澤 這是最基本的物象，每卦又限于這一象，它可推演出 “天、圜、父、玉” “坤、地、母、器” 等等其他事物來。,八卦是簡樸的，寓意卻十分廣泛。有

23、人從物象學(xué)的角度將八卦分成8大部分： 乾卦為總功能； 坎卦為液 態(tài)； 坤卦為總物質(zhì)； 離卦為光子態(tài)； 震卦為高能態(tài)； 艮卦為固 態(tài)； 巽卦為氣 態(tài)； 兌卦為物 態(tài)。,五、河圖、洛書的數(shù)學(xué)神秘,周易中關(guān)于 “天垂象” “河出圖，洛出書，圣人則之?！?都來自遠(yuǎn)古史前時期的神話傳說。 （古時人們常將一些科學(xué)知識和數(shù)理常識通過神化傳說和 “神道設(shè)教” 的方式傳下來）,1、“ 河 出 圖 ” 的 來 歷：,關(guān)于“河出圖”相傳是伏羲氏得天下，黃河龍馬馱了一張圖作為禮物獻(xiàn)給他。 天數(shù)（白）： 1、3、5、7、 9 地數(shù)（黑）： 2、4、6、8、10 天地數(shù)之和為55。,（河圖）,（ 河 圖 ）,（ 河 圖

24、數(shù) 字 圖）,東西南北都是奇偶（陰陽）數(shù)相配，構(gòu)成天地生成之?dāng)?shù)。天地數(shù)之和為55，八卦中稱此數(shù)為大衍之?dāng)?shù)。 河圖的外層數(shù)字6、7、8、9與八卦筮法的6、7、8、9也正好吻合。 在6、7、8、9 四個數(shù)中陽爻9與7；陰爻8與6，陰陽爻相配： 9+6、 8+6 和都是15， 15是一個神秘數(shù)字。,2、“洛出書” 的 來 歷：,相傳大禹治水時，洛水中躍出一頭神龜，馱著一張圖獻(xiàn)給大禹 這張圖叫 “洛書”，有數(shù)九個，大禹因之以成九疇，為天下大法。 “河圖”是用青色書寫的 “洛書”是用紅色書寫的,“河圖” “洛書” 后來人研究，由于要用十進(jìn)制取代二進(jìn)制計數(shù)是很大變革，必須借 “神” 意來推廣使用 所以，產(chǎn)生了“河出圖” “洛出書” 這些美麗的傳說。,黃河出現(xiàn)圖，洛水出現(xiàn)書，圣人把它們當(dāng)作天賜，作為治理天下的準(zhǔn)則。,（ 洛 書 ）,白點(diǎn)代表陽： 1、3、5、7、9。 黑點(diǎn)代表陰： 2、4、6、8。,（ 洛 書 ）,（九宮數(shù)字圖）,數(shù)字特色：縱、橫、斜相加都是15。 15為神秘數(shù)字，九宮為九格。,九宮數(shù)字圖又叫縱橫圖，西方人叫它幻方。開始時純粹是一種游戲，看不出有多大實(shí)用價值，在歷史上它還夾雜著迷信的色彩。 近代研究發(fā)現(xiàn)，縱橫圖也就是幻方與組合分析有某種關(guān)系，電子計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，給這個古老的題材注入了新鮮的血緣。目前，它在程序設(shè)計、圖論、人工智能、對策論、組合分析等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用