1、 用超級畫板探究圓錐曲線中的動點軌跡問題 圓錐曲線是高中課標中的重要內容，也是高考的重要考點之一，每年高考中幾乎都有一道舉足輕重的解答題，常常作為壓軸題出現(xiàn)，尤其是曲線軌跡問題的探求問題更是令考生頭疼的問題，他需要考生綜合運用解析幾何的各項內容 ，因為考察全面使這類題型問題成為高考的熱點問題之一。這類題型出題類型往往變化多，題型的綜合性程度高成為廣大高考生的比較畏懼的題型那么我們能不能借助超級畫板這款優(yōu)秀的數(shù)學軟件來幫助我們認識和學習這類問題呢？今年暑假我接受一個高二的家教，那個學生問我一道大體是這樣的題目：說拋物線的一條焦點弦與拋物線有兩交點，過著兩交點的切線會有一個交點，他問在這條焦點弦變

2、化的時候，這個交點的軌跡是什么，當時自己雖比較順利的幫他解決了這個問題，但感覺方法比較麻煩在接觸到超級畫板，知道了用超級畫板解這種題目的方法之后，我特意把這個軟件拷過去，安裝在他家的電腦了，具體演示給他看，當時他真是興奮，直叫絕，我當然也很興奮了。我還順帶發(fā)揮了一下，將橢圓和雙曲線的情況也給他拓展演示了一下，在此基礎上給他講了具體的書面解法，這樣一來，這一類的問題就解決了。之后他還嚷嚷著讓我叫了他一些其他的超級畫板的基本操作，說他以后要自己用。我也就順水做了個人情，將我所知道的和盤推出，后來他媽跟我說，他孩子挺佩服我的，說我太強了。我當時聽著心里頭真是爽啊，很自豪很有成就感。（這里面當然很大一

3、部分是彭老師您教導有方的結果）正好這次作業(yè)要做一個這樣的題目，我就順便把這些問題拓展豐富一下，完成一個比較系統(tǒng)的思路和方法。從高中關于圓錐曲線的定義，我們顯然可以看到很深的動點運動軌跡的痕跡，根據(jù)我們高中老師的講授和我們所學習到的知識，求解這類試題的基本方法是利用求軌跡方程的一般方法：建系，設點找等量關系式代入坐標得方程化簡方程，求得動點的軌跡方程首先我們舉個例子來看一下有平面解析幾何的方法怎樣來解這樣的題目。例：（1999年高考題）如圖，給出定點和直線B是直線上的動點，BOA的角平分線交AB于點C求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系常規(guī)方法解題思路是：解：依題意，記，則直線

4、OA和OB的方程分別為設點，則有，由OC平分AOB，知點C到OA、OB距離相等，根據(jù)點直線的距離公式得： 依題設，點C在直線AB上，故有：由，得 將式代入式得：整理得：若，則；若y=0，則b=0，AOB=，點C的坐標為（0，0），滿足上式綜上得點C的軌跡方程為：當a=1時，表示拋物線的一段；當a1時， 由此可知，當0a1時，方程表示雙曲線一支的弧段 可以看到解題思路是相當繁瑣和復雜的，主要思路就是上面所說的設點，根據(jù)題設給出的條件列出等式，然后對等式進行化簡，求得軌跡方程。下面我們是這樣超級畫板這個工具解決這個問題試試看。在超級畫板中作出相應的點線，之后使用LOCOU命令便可得到圖像，之后改變

5、點A的位置，重復locus命令，得到不同的軌跡圖像（a=2.581)（SuperSketchpad20-21）a=1時a=0.74時 通過上面的三個圖我們很容易在a的值變化時，看出點C的軌跡變化情況。正好符合上面的書面證明。下面我們來解決一下文章剛開始所提到的問題： 已知一橢圓方程，點A為其一焦點（c,0),，點C為橢圓上的一動點，直線CD為橢圓過A點的焦點弦，交橢圓于CD兩點，分別過這兩點做橢圓的切線，兩條切線相交于點H，試求點C在橢圓上運動時，H點的軌跡類型及方程。一，圓錐曲線為橢圓時這樣將動點的軌跡一畫出來，軌跡當然是很顯然就看出來是一條直線。而如果只憑大腦中的主觀想象，是很難由此直觀想

6、象得出的。二，我們再拓展延伸一下在圓錐曲線變成雙曲線和拋物線時，動點的軌跡會是個什么樣子。在圓錐曲線為雙曲線時，同樣在超級畫板中，畫出動點的軌跡很顯然，這使得動點軌跡仍然是一條直線。那么這時候我們是不可以直接猜想，在圓錐曲線是條拋物線時，軌跡仍然是一條直線了。下面我們就來實驗一下看看結果。三，在圓錐曲線為拋物線時，答案證明我們的猜想是正確的。 我們再來看一道例題看一下超級畫板解這種題目的綜合應用（1995年高考題）已知橢圓如圖，直線P是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線（1） 調用文本命令“ConicOfEquati

7、on(x2/24+y2/16=1, );”，生成一橢圓；在調用文本命令“LineOfEquation(x/12+y/8=1, );”生成直線的圖像，任意選取點P，接著將相應的點標注在圖上；最后調用文本命令“CircleOfRadius(1,m000*m000/m001 , );”生成相應的圓形。測量線段OP，OR，OQ的長。之后使用文本命令“Locus(7, 14, , , , , );”，做出軌跡，或直接做點P的動畫，找出Q點的軌跡。下面是所做的截圖： 我們很容易看出這是一個橢圓，不放心的話，我們還可以使用復雜的平面解析幾何的方法加以書面證明，這里就不加贅述了。 【結語】超級畫板作為數(shù)學的一種專業(yè)軟件，它的的知識性，智能性，資源性等特征