1、第三章：積分變換法,深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,3.5 積分變換法舉例,第三章：行波法與積分變換法,一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式 三維波動方程的定解問題 拉普拉斯變換法 傅立葉變換法 積分變換法舉例,本章內(nèi)容提要:,參考了顧樵教授和孫秀泉教授的課件,把函數(shù) 經(jīng)過積分的手段變?yōu)榱硪?類函數(shù): 稱為象函數(shù)， 稱為原函數(shù)， 稱為積分變換的核。,什么是積分變換？,(求解微分方程) 原空間：常微分方程 偏微分方程 象空間： 代數(shù)方程 常微分方程 求解象空間的代數(shù)方程或常微分方程，得到象函 數(shù)，再將它 “反演” 成原函數(shù)(即為所求的解）。 積分變換法在求解常微分方程和偏微分方程的定 解問題中有非常廣泛的應(yīng)用

2、。,什么是積分變換法？,Fourier 積分變換法 Laplace 積分變換法 混合變換法,用來解常微分方程,將未知函數(shù)的常微分方程，化成 象函數(shù)的代數(shù)方程，達(dá)到消去對自變量求導(dǎo)運算的目的。,用來解偏微分方程,通過選取積分變換,在工程力學(xué)、電磁場理論、光學(xué)、熱學(xué)、無線電學(xué)、通訊理論、微電子學(xué)、核科學(xué)與技術(shù)、地震資料數(shù)據(jù)處理等方面，均有廣泛的應(yīng)用。,在偏微分方程的兩端，對某個變量取變換，消去未知函數(shù)對該自變量求偏導(dǎo)的運算，得到象函數(shù)的較為簡單的微分方程。如果原來的偏微分方程只包含兩個自變量，通過一次變換就能得到象函數(shù)的常微分方程。,Fourier 積分變換 Laplace 積分變換,數(shù)學(xué)中的變換

3、手段，旨在化繁為簡.,傅里葉變換與拉普拉斯變換的 最重要的用途是求解微分方程,傅里葉變換 拉普拉斯變換,關(guān)于x的傅氏變換 關(guān)于t的拉氏變換,關(guān)于x的傅氏反演 關(guān)于t的拉氏反演,慣用表示,解：對（1）兩邊關(guān)于 x 進(jìn)行傅里葉變換（將 t 視為參數(shù)）,（1）,例題1：無界波動方程1,（零速度的達(dá)朗貝爾公式）,反演(解1):,位移性質(zhì):,反演(解2):,例題2：無界波動方程2,解：利用傅立葉變換的性質(zhì)，兩邊對x取變換,解：對（1）兩邊關(guān)于 x 作傅里葉變換 （2）是關(guān)于 t 的常微分方程，兩邊關(guān)于 t 作拉普拉斯變換,（1）,（2）,例題3：有源熱傳導(dǎo)方程,拉氏反演： 傅氏反演：,（查表）,現(xiàn)在反演

4、：,求解常微分方程的定解問題： 解：對方程兩邊取拉普拉斯變換，并利用初始條件： 這是象函數(shù)的代數(shù)方程（初始條件已含其中） 將初始條件的取值代入：,例題4：常微分方程,解出：,反演：,求解半無限長細(xì)桿熱傳導(dǎo)的定解問題： 解：對(1)和(3)兩邊取 t 的拉氏變換，并利用(2) ： 這是象函數(shù)的常微分方程的邊值問題。,(1) (2) (3) (4) (5),例題5：半無限熱傳導(dǎo)問題,(4)的通解為： 自然邊界條件： 再利用條件（5）： 反演：,(4) (5),（查表）,變量 x 變化范圍： ，原則上可以對 x 用拉普拉斯變換，這樣(1)變成： 這是關(guān)于 t 的常微分方程，但條件不夠，無法求解。,(

5、1) (2) (3),未知,討論：可否對 x 作拉氏變換？,解：對x作付氏變換：,(3)和(4)的通解為： 自然邊界條件： 再利用條件（4）：,（1） （2）,（3） （4）,例題6：上半平面的拉氏方程,現(xiàn)在反演： 利用 原函數(shù)：,？,一個公式：,如何給出邊界函數(shù)？,求解非齊次波動方程的定解問題 解：對 t 求拉氏變換并利用初始條件得： 上式對 x 求傅氏變換：,例題7：非齊次波動方程,上式取非零值的條件是 進(jìn)行拉氏和傅氏變換的反演，結(jié)果為：,解出：,求解有界細(xì)桿熱傳導(dǎo)的定解問題： 解：對(1)兩邊取 t 的拉氏變換，并利用(3) ： 這是象函數(shù)的常微分方程的邊值問題。,(1) (2) (3)

6、 (4) (5),例題8：有界桿熱傳導(dǎo)問題,反演,變量 x 變化范圍： ，對x用傅里葉變換 例如無界弦 2. 變量 x 變化范圍： ，對x用拉普拉斯變換 例如半無界熱傳導(dǎo) 3. 時間變量的變化為 ，只能用拉普拉斯變換,傅里葉變換與拉普拉斯變換比較,1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值問題，不需要考慮 方程是否齊次，解題步驟都是一樣的。象函數(shù)是代數(shù) 方程（包含了初始條件），容易求解，比經(jīng)典的方法 （先求通解，再利用初始條件確定常數(shù)）更優(yōu)越。 2.用拉普拉斯求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問題，不管方程 與邊界條件是否齊次，不管方程定義在無界還是有界 區(qū)域（見例題6），都可以求解。對于偏微分方程,既 可以對 t 求拉氏變換，也可以對 x 求拉氏變換 (如果有 )。,拉普拉斯變換(法)的優(yōu)點,根據(jù)變量x的變換范圍選擇傅氏變換或拉氏變換: 變換后得到象空間的常微分方程和定解條件。 2. 求解象空間的定解問題，得到象函數(shù) 3. 對象函數(shù)反演后得到原定解問題的解。,：傅氏變換 ：拉氏變換,時間變量 t 的變化范圍為 ，只能取拉氏變換。,積分變換法求解定解問題的步驟,掌握達(dá)朗貝爾公式的